La constante de Boltzmann y la Temperatura


El señor Ludwig Boltzmann

Existe una confusión acerca de los conceptos de calor y trabajo. Nosotros creemos que tal confusión viene motivada por la amalgama de definiciones e ideas axiomáticas y empíricas que se entremezclan cuando a uno le explican termodinámica.

En esta entrada, que será una de las que compondrán un minicurso llamado Reflexiones sobre la termodinámica, vamos a discutir y dar nuestra opinión sobre el carácter de la constante de Boltzmann que está siempre presente en estas cuestiones.  Hemos elegido este tema porque queremos dar los argumentos por los cuales la temperatura es simplemente una medida de la energía (de algún tipo) de un sistema.

La temperatura

La temperatura es la medida del promedio de una clase de energía, energía cinética traslacional.

Es decir, las moléculas tienen diversas componentes en su energía. Las moléculas por regla general pueden hacer tres cosas:

1.-  Una moléculas puede trasladarse. Así que tendremos que su energía cinética será  \dfrac{1}{2}mv^2 (energía cinética de su centro de masas).

2.-  Una molécula puede girar.

Las moléculas en general tiene estructuratridimensional y pueden tener rotaciones diferentes en las distintas direcciones del espacio lo que contribuye energéticamente.

3.-  Una molécula puede vibrar.

Las moléculas son conjunto de átomos unidosmediante enlaces químicos.  Estos enlaces no son rígidos sino que se comportan como “muelles” y la molécula puede sufrir vibraciones.

Lo que medimos con la temperatura es el promedio de energía cinética traslacional de un conjunto de moléculas.

Unas moléculas tendrán mayor energía cinética que otras, pero lo que mide la temperatura, es justamente su energía cinética en promedio.

La temperatura no da cuenta del resto de componentes, por eso la medida de temperatura no equivale a medir la energía interna de un sistema.  O dicho de otro modo, dos sistemas con la misma temperatura no han de tener la misma energía interna.

¿El promedio del número de manzanas se expresa en manzanas?

Cuando hacemos promedios generalmente el resultado tiene las mismas dimensiones y unidades que el concepto promediado, y aquí “generalmente” está usado irónicamente.  Entonces, ¿no deberíamos medir la temperatura en unidades de energía?  La respuesta es sí, pero históricamente no nos dimos cuenta de que la temperatura era una medida de una componente energética de los sistemas hasta hace relativamente poco (desde los trabajos de Boltzmann y Gibbs).

En definitiva, que tenemos un problema histórico con las unidades de temperatura y es aquí donde entra de lleno la constante de Boltzmann (K_B) que no es más que el factor de conversión adecuado para pasar la temperatura de grados (el que sea), que es una medida “antinatural”, a unas unidades de energía como los Julios por poner un ejemplo.

La constante de Boltzmann vale: 1.380 6488(13)×10−23 J/K (en el sistema interancional y con la escala absoluta de temperaturas).

La constante de Boltzmann

Como hemos visto la constante de Boltzmann es simplemente un factor de proporcionalidad entre la temperatura medida en unidades “de temperatura” y unidades de energía.  Es decir, que dicha constante en realidad lo que hace es corregir el malentendido de las unidades que le asignamos a la temperatura.  Si midieramos la temperatura en unidades de energía la constante de Boltzmann valdría 1 sin unidades.

Veamos que esto que estamos diciendo es correcto con diversas expresiones físicas:

La ecuación de los gases:

Desde el colegio aprendimos que un gas ideal cumple con una ecuación muy simple que relaciona las presión, el volumen y la temperatura del gas con el contenido del mismo en número de moles.

PV=nRT

En esta ecuación tenemos una constante empírica (determinada por métodos experimentales), la constante de los gases R.  Dicha constante no es más que la constante de Boltzmann multiplicada por el número de Avogadro.

R=K_B N_A

Es decir, que la constante de Boltzmann y la de los gases son esencialmente lo mismo, sólo que una está referida a un mol y la otra no.

Por lo tanto la ecuación de los gases ideales se puede escribir:

PV=nN_A (K_B T)

El número de moles n por el número de Avogadro N_A es una cantidad adimensional que te dice simplemente el número de partículas que tienes en el gas.  Un mol equivale a un Número de Avogadro de constituyentes, en realidad el mol no es una unidad como tampoco lo es el radián, sólo es un nombre útil para simplificar los conceptos.

Si ahora estudiamos las dimensiones del factor PV y del factor K_B T veremos como ambas tienen dimensiones de energía, y todo es consistente dimensionalmente hablando (ver la entrada de las constantes universales o fundamentales para recordar el tema de las dimensiones de las magnitudes).

Entropía en termodinámica y en mecánica estadística

¿Qué pasaría con la entropía si midieramos la temperatura en las unidades de energía?

La entropía se puede definir de varias formas:

a) Entropía en termodinámica:

La entropía en termodinámica se suele definir como:

S=\int \dfrac{\delta Q}{T}

Por tanto la entropía tendrá (unidades de energía/unidades de temperatura).

b) La entropía en mecánica estadística nos dice el número de estados microscópicos compatibles con un estado macroscópico dado (de hecho el logaritmo de el número de microestados). Para recordar esto es bueno repasar la entrada de la entropía.

Entonces S=lnW donde W es el número de microestados para un macroestado dado. Pero entonces este concepto no cuadra con la entropía termodinámica, curioso, demasiado curioso, porque teóricamente tiene todas sus propiedades.  Entonces está claro, hay que meterle unidades, y para ello se multiplica por la constante de Boltzmann.

S=K_B ln W

Y así cuadran todas las unidades y la entropía termodinámica coincide con la que extraemos de la mecánica estadística.

Si midieramos las temperaturas en unidades de energía, entonces la entropía sería una cantidad adimensional en ambos casos, termodinámica y estadística y todo sería igualmente consistente.  Otra vez vemos que la mala elección de unidades “complica” las cosas.

Podríamos seguir dando ejemplos para afianzar esta idea, pero creemos que ya es suficiente. Por ejemplo uno puede hablar del factor de Boltzmann en mecánica estadística que nos da la probabilidad de ocupación de un estado del sistema.  Este factor viene dado por e^{-E_i/K_BT} y evidentemente el argumento de la exponencial no puede ser dimensional. Y así suma y sigue…

Con esta entrada hemos querido poner de manifiesto que en nuestra opinión la constante de Boltzmann no es una constante universal en el sentido de revelar una característica general del universo como la velocidad de la luz o la constante de Planck.  Esta constante únicamente es un artefacto de una mala elección de unidades para la temperatura.

Existe mucha confusión acerca de los conceptos termodinámicos, esperamos ir aclarándolos en esta serie de entradas “térmicas”.

Nos seguimos leyendo…

About these ads

13 Respuestas a “La constante de Boltzmann y la Temperatura

  1. Fernando Hernández-Sánchez

    Yo creo que esta explicación esta un poco complicada. Recuerdo que mi profesor de termodinámica me decía, la temperatura está relacionada con el número de choques de los átomos, ya sea gas, líquido o sólido. Esta relación, es el intercambio de energía cinética entre dos átomos que chocan. Claro que este intercambio de energía durante el choque, depende de varios factores, por ejemplo, del ángulo de choque, de los valores de la magnitud de la velocidad que traía cada átomo, etc. Por lo tanto, la temperatura es un promedio del intercambio de energías del total de choques que hay en el sistema de átomos. La constante de Boltzmann no es otra cosa más que la constante de cambio de unidades de grados Kelvin a Julios. En otras palabras, los grados Kelvin son unidades de energía. Por ejemplo, la temperatura ambiente (25 ºC= 298.15 K) expresada en Julios es igual a 215.96 x ×10^(−23)J.

  2. Pingback: De la entropía a la cuántica: Max Planck, 14 de Diciembre de 1900 | Cuentos Cuánticos

  3. Pingback: Teoría cinética de los gases ideales | Cuentos Cuánticos

  4. Desde luego que Boltzmann es un señor ;)

  5. Pingback: Permíteme que te informe | Cuentos Cuánticos

  6. Pingback: Entropic War | Cuentos Cuánticos

  7. Por eso a mi me gusta decir, que la velocidad de la luz en el vacío es una constante independiente del estado de movimiento de la fuente que la produce y así queda claro que ella es una propiedad de la naturaleza, “no negociable” en el problema que resolvemos. La constante de Planck las personas la cuestionan menos en ese aspecto. Ella es menos sensorial, mas tranquila, llama menos la atención, es mi experiencia con las constantes.
    Del modelo de la interacción Luz-Luz; en el que trabajo, se deduce una explicación sencilla del por que la velocidad de la luz es una constante, que no depende de la fuente. Y lo vi con claridad tras analizar el efecto Cherenkov, desde el modelo. A mi me gusta hacerle cualquier pregunta a la naturaleza, no me conformo con que las cosas son así, porque son así. Aunque conocía que existía un pelo en la sopa, no había enfocado el modelo hacia este tema, que como usted dijo es curioso, yo agrego misterioso en el fondo, ya que se resuelven los problemas, pero nos queda esa deuda de belleza que nos gusta ver en la física. Esto se comprueba, cuando año tras año las personas hacen las mismas preguntas, a diferentes expositores, en el mismo punto. ¡Excelente síntesis!

  8. Pingback: La constante de Boltzmann y la Temperatura

  9. Me gusto mucho la entrada, en las clases de química en la universidad me preguntaba de donde salia la dichosa constante R, ahora me quedo claro.

  10. Extraordinaria entrada!

  11. Estoy de acuerdo con la entrada hasta la última parte. Me parece que los argumentos presentados para poner de manifiesto que la constante de Bolztmann bien podría haber sido igual a 1 si la historia no lo hubiera prevenido, se pueden aplicar perfectamente a la velocidad de la luz (c).
    ¿Puede ser que la diferencia entre una y otra sea que para c nos encontramos con raices cuadradas de $1-(v/c)^2$, y para $K_B$ no?
    El tema de las unidades naturales siempre me ha dejado intranquilo. Como si fuera un artefacto, todo ello, del que nos cuesta desprendernos porque lo tenemos realmente incorporado en nuestra historia científica.
    A veces lo pienso y me parece que si las teorías fueran realmente discretas no habría necesidad de unidades. Toda magnitud observable sería expresable por un número entero que contase cuantas veces se repite el mínimo elemento de la teoría (el paso en una red discreta). Pero no soy capaz de agarrar el pensamiento y me quedo a oscuras como estaba al principio.

    • Las diferencias entre la constante de Boltzmann y la velocidad de la luz son variadas, y esto es opinión personal:

      a) La constante de Boltzmann es una constante de proporcionalidad para que las unidades cuadren.

      b) La velocidad de la luz, independientemente del sistema de unidades elegido, es una constante para todo observador inercial.

      Es decir, que una es simplemente un artefacto de una mala elección de unidades y la otra es base de un principio fundamental de la física, léase, todo observador inercial describe la misma física.

      Por otro lado, como hemos discutido en la entrada tiene poco sentido asignar unidades de grados Kelvin, Faranheit, o Celsius a la temperatura cuando lo normal desde un punto de vista lógico, y por tanto no histórico, sería hablar en términos de energía simplemente. En física de altas energías esta es la forma en la que se trabaja, todo en unidades de energía y tan amigos.

      Pero no podemos luchar contra la historia, en cosmología tenemos el famoso “parámetro de desaceleración” que tiene ese nombre y… !es negativo!, lo que indica que el universo está desacelerando negativamente, es decir, acelerando. Pero históricamente se pensaba que el universo tendría que frenar en vez de acelerar su expansión, así que arrastramos el nombre ese. Son cosas que pasan.

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s