Para ser un Rindler de primera… acelera… acelera…


Wolfgang Rindler

Vamos a ver qué le pasa a un observador con aceleración uniforme en el espacio de Minkowski. Aunque relatividad especial está construida sobre la elección de unos “observadores privilegiados” que son observadores inerciales (se mueven a velocidad constante) eso no impide que podamos estudiar en este contexto lo que ocurre con observadores con aceleración. En este caso vamos a estudiar que pasa cuando tenemos un observador con una aceleración constante.  Nos vamos a concentrar en cómo ve el espaciotiempo a su alrededor.

Espaciotiempo de Minkowski

Minkowski entendió perfectamente la relatividad especial y dedujo que lo que implicaba es que la estructura geométrica donde se desarrollaba la física no era un espacio tridimensional donde parametrizamos las coordenadas con un tiempo. (En forma matemática esto sería un espacio afín de 4 dimensiones donde únicamente las hipersuperficies espaciales tienen una métrica, la euclidea, asociada). En lugar de eso se introduce un espacio vectorial de 4 dimensiones con una métrica dada, la métrica de Minkowski.  Esta métrica es la misma para todo observador inercial. Esta métrica, que ya hemos introducido en varias ocasiones, es:

ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2

Esto se puede escribir como:

ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu

lo que nos da la distancia espaciotemporal entre dos sucesos cuyas diferencias de coordenadas viene dada por dx^\mu. La métrica \eta_{\mu\nu} es la métrica de Minkowski. El espacio de Minkowski luce de este modo:

Aquí tenemos un observador con su sistema de referencia (el observador está en el (0,0,0,0)).  Además indicamos el cono de luz, que es la línea de mundo de una partícula que se mueva a la velocidad de la luz.

Hemos hablado de estas cosas en las siguientes entradas:

Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos

El cono de luz

Revisión de Relatividad Especial 1

Un observador con aceleración constante: El espacio de Rindler

Supongamos un observador que se mueve con aceleración constante a en el sentido positivo del eje X.

No pretendemos entrar en los detalles de los cambios de coordenadas, algo farragosos. Lo que queremos es hacer una descripción en base a los diagramas del espaciotiempo.

Concentrémonos en las características deseadas:

1.- La primera cosa que hemos de pensar es que ningún sistema acelerado puede llegar a la velocidad de la luz.

2.-  Lo que queremos hacer es pasar de las coordenadas de un observador inercial (en Minkowski, nos concentraremos sólo en la parte t-x)  (t,x) a las coordenadas de un observador acelerado con aceleración a en el eje X.  A estas coordenadas las denominaremos (\eta, \rho)

3.-  Evidentemente esta transformación no es una transformación de Lorentz porque estas transformaciones sólo conectan observadores inerciales.

El espacio de Rindler se ve de este modo:

Las líneas hiperbólicas son líneas de aceleración constante, o de \rho constante ya que:

\rho=\dfrac{1}{a}

El cono de luz corresponde con el valor \rho=0.  Está claro que para llegar a este valor tendríamos que tener una aceleración a=\infty, así que jamás se llegará a la velocidad de la luz.

Las líneas rectas que salen del origen de coordenadas son líneas de \eta constante.

Esto quiere decir que de todo el espacio de Minkowski un observador acelerado sólo puede tener información de una porción, lo que se denomina la porción de Rindler. De hecho, nunca puede llegar al cono de luz, así que esa superficie se presenta para el observador acelerado como un horizonte.

La métrica en Rindler

La métrica que describe un observador en el espacio de Rindler (que no es más que una porción de Minkowski de la cual no puede escapar) tiene esta forma:

ds^2=-\rho^2 d\eta^2 -d\rho^2

Notemos que ahora la parte d\eta^2 tiene un coeficiente que depende de las coordenadas (de hecho es \rho^2), que en Minkowski no pasa (ds^2=-dt^2+dx^2).

Aquí se ve claro que si \rho=0 perdemos la información de la contribución de la coordenada \eta en la métrica, lo cual nos indica que estamos en presencia de un horizonte (en realidad una singularidad).

Está claro que no hay nada especial en el horizonte de un observador Rindler, un observador inercial verá todo el espacio de Minkowski, es el hecho de estar acelerado (intentar llegar a c) lo que provoca que aparezca ese horizonte para esos observadores.

Profundizaremos más en este espacio en entradas futuras.

Nos seguimos leyendo…

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5 Respuestas a “Para ser un Rindler de primera… acelera… acelera…

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  2. Cuidado, ¡la métrica de Rindler tiene un signo erróneo!

  3. Pingback: ¿Vacío? Depende de a quién le preguntes | Cuentos Cuánticos

  4. Podrías especificar el cambio de coordenadas?
    Creo que podría quedar algo más claro.
    Gracias

  5. Pingback: Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos cerca… | Cuentos Cuánticos

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