Conceptos Métricos II


En Conceptos Métricos I se estableció que los conceptos métricos, también llamados conceptos cuantitativos o magnitudes, son una creación original de los lenguajes científicos y que están asociados a los estadios más avanzados de la ciencia.

Hablamos de tres aproximaciones al concepto de magnitudes:

  1. Medimos habitualmente cuando ya sabemos comparar
  2. Asignamos un número real a cada uno de los objetos que componen un dominio
  3. Establecemos un homomorfismo de un sistema empírico en un sistema numérico homólogo.

Ahora veremos diferentes tipos de magnitudes.

Escalas ordinales

Las escalas ordinales son las más pobres desde el punto de vista de la información que nos suministran. Se limitan a asignar números, conservando el orden de un sistema comparativo dado.

En mineralogía se dispone de un concepto comparativo de dureza. Siempre que asignemos números a los minerales, de tal manera que a dos minerales les corresponda el mismo número o a uno de ellos un número menor que el otro según que coincidan en cuanto dureza o el uno sea menos duro que el otro, tendremos una escala ordinal de dureza. La escala de Mohs, por ejemplo, se limita a expresar numéricamente el hecho de que un mineral es más o menos duro que otro, pero no nos dice cuánto más o menos duro es que el otro. No mide diferencias de dureza. Precisamente por ello, son muchas las transformaciones permisibles, es decir, las transformaciones del homomorfismo dado que dan lugar a homomorfismo del mismo tipo.

Si en vez de asignar 1 al talco, 2 al yeso, 3 a la calcita, etc., como hacía Mohs, asignamos 0 al talco, 500 al yeso, 500,5 a la calcita, 507 a la fluorita, etc., esa asignación sigue siendo uno escala ordinal de dureza. Precisamente esta indeterminación es la que impide que pueda haber una fórmula general para pasar de una escala ordinal a otra (correspondiente al mismo concepto).

Escalas proporcionales

Las escalas proporcionales son las más ricas desde el punto de vista de la información que suministran. No sólo nos dicen que un objeto es más o menos que otro respecto a alguna característica, sino que nos señalan en qué proporción exacta el uno es más o menos eso que el otro.

Para fijar una escala proporcional se elige un objeto cualquiera de A y se le asigna convencionalmente un número cualquiera. Así, en la escala métrica decimal se elige un determinado cilindro de platino e iridio (el “kilo patrón”) que se conserva en el museo de pesas y medidas de Sèvres y se le asigna el número 1.000. Con esto queda fijada la escala de masa en gramos.

A diferencia de lo que pasaba con las escalas ordinales, no todas las transformaciones monótonas de escalas proporcionales dan lugar a escalas proporcionales. Supongamos que un frasco destapado tiene 200 gramos de masa, y su tapa, 100 gramos. Por tanto, el frasco tapado tendrá 300 gramos de masa. Una transformación monótona de la escala métrica decimal en gramos podría asignar al frasco el número 2, a su tapa, el 1, y al frasco tapado el 9. Pero esa función no sería un homomorfismo.

Un homomorfismo f de un sistema empírico en un sistema numérico constituye una escala proporcional si y sólo si cualquier transformación similar de f es también un homomorfismo del mismo sistema empírico en el mismo sistema numérico. De aquí se sigue que para pasar de una escala proporcional a otra basta siempre con multiplicar por un número fijo, así, para pasar de una escala en kilos a otra en gramos basta con multiplicar por 1.000.

Magnitudes extensivas e intensivas

Los conceptos de masa o de longitud son homomorfismos de un sistema empírico que contiene una operación binaria de combinación de objetos en un sistema numérico que contiene la adición. Las magnitudes de este tipo se llaman magnitudes aditivas o extensivas.

La masa de un objeto compuesto de dos partes es igual a la suma de las masas de sus partes. La longitud del objeto resultante de colocar dos objetos en línea recta uno a continuación de otro es igual a la suma de sus longitudes. Lo mismo ocurre con el tiempo. No me seais pejigeras.

Las magnitudes que no son extensivas se llaman intensivas. Así, respecto a la operación de combinar dos economías nacionales para formar una unión económica, los conceptos de producto nacional bruto o de población son extensivos o aditivos, mientras que los conceptos de renta per cápita o de tasa de natalidad son intensivos. Respecto a la operación de vaciar el contenido de dos recipientes en un tercero el concepto de volumen es extensivo o aditivo, pero no los de temperatura o de densidad.

Decimos que un homomorfismo de un sistema empírico en otro numérico es una escala de intervalos si y sólo si toda transformación lineal positiva de ese homomorfismo es otro homomorfismo entre los mismos sistemas. Así como los conceptos métricos extensivos dan lugar a escalas proporcionales, los conceptos métricos intensivos dan lugar a escalas de intervalos. Las escalas de temperatura, por ejemplo, son escalas de intervalos.

Metrización fundamental y derivada

En la práctica la metrización suele realizarse simplemente mediante una definición en función de otras magnitudes previamente introducidas.

Así, podemos introducir el concepto métrico de densidad mediante la definición:

densidad(x)=masa(x)/volumen(x)

suponiendo que ya disponemos de los conceptos de masa y volumen. Cuando introducimos un concepto métrico en función de otros previamente introducidos, decimos que se trata de una metrización derivada. La mayoría de las metrizaciones son derivadas.

Este procedimiento no puede seguirse en toda metrización. Con algunos conceptos métricos hay que empezar, algunas magnitudes han de ser introducidas sin presuponer la previa introducción de otras. En estos pocos pero importantes casos hablamos de metrización fundamental. La introducción del concepto métrico de masa constituye una metrización fundamental, pues no presupone ninguna otra magnitud previa.

Ventajas de los conceptos métricos

Las ventajas de los conceptos métricos respecto a los clasificatorios o comparativos son evidentes. El vocabulario científico resulta mucho más simple, claro y manejable. Con un solo concepto métrico tenemos infinitas posibles situaciones ya descritas y ordenadas. Si pretendiésemos sustituir un concepto métrico como el de temperatura por una serie de conceptos clasificatorios (gélido, frío, fresco, tibio, etc.), no sólo descendería considerablemente el nivel de precisión, sino que cargaríamos nuestra memoria con gran cantidad de términos distintos, subjetivos. Otra ventaja es la de facilitar la búsqueda de leyes científicas.

La razón profunda de todas las ventajas que se pueden aducir estriba en que los conceptos métricos constituyen un puente entre el mundo real y el mundo ideal de la matemática. El mundo real es un mundo poco manipulable intelectualmente. El mundo de la matemática, por el contrario, es un mundo perfectamente estructurado y ordenado. Por eso, en cuanto los problemas que se plantean en el mundo real resultan demasiado complicados e inabarcables, la mejor estrategia para su solución suele consistir en representarlos como problemas matemáticos.

Filotecnóloga. Internauta Sin Pauta

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13 Respuestas a “Conceptos Métricos II

  1. Juan Manuel Aguilar

    Sin dejar de aceptar que en el plano subjetivo, la vida consciente es una maravilla y un misterio impredecible. Hay aspectos cuantificables de la vida y de la sonrisa que son perfectamente medibles. De la sonrisa la cantidad de feromonas que produce, así como el enojo o el miedo producen adrenalina. Y en cuanto a la vida, el registro civil guarda mediciones precisas de ese acontecimiento. O en las estadísticas actuariales de las compañías de seguros, que en el colmo de la irreverencia, llevan registro de cuanto vive un hombre, cuanto una mujer, y a partir de cuándo son más suceptibles de enfermarse, y por lo tanto, o no son asegurables, o la prima a pagar debe ser mayor.

  2. Juan Manuel Aguilar

    Los conceptos de magnitud son instrumentos de los lenguajes científicos los cuales son abstracciones de objetos reales. El concepto de número se deriva de la abstracción de un conjunto de objetos.

    • Otro ejemplo al de “una sonrisa”: La vida no es hasta el momento una magnitud que podamos medir y burdamente solo podemos identificar una variable dicotómica, es decir, tenencia o ausencia de la misma.
      Pero esto es solo una clasificación y no es una medición en la que podemos asignar unos valores a unas cantidades identificadas.
      La vida es aún un objeto por definir…. ¡que misterioso y maravilloso es todo!

  3. Una sonrisa.
    Te recomiendo que vuelvas a leer la primera parte.

  4. Juan Manuel Aguilar

    Dame un ejemplo.

  5. Todo lo real no es cuantificable.

  6. Juan Manuel Aguilar

    Estimada Filo:
    Ah, claro. La sonrisa es real y tiene una magnitud, desde el esbozo hasta la carcajada, dependiendo que tanto se dilaten los labios y qué tanto se curven, es esbozo o carcajada. ;) De hecho podríamos establecer una función y a partir de ella establecer si un sujeto, aprueba, sonríe o se carcajea.

  7. Las matemáticas no estudian los objetos de la realidad, las matemáticas establecen modelos que se aplican a la realidad, pero partiendo de abstracciones. Ahí radica su belleza.
    No todos los elementos de la realidad son cuantificables mediante magnitudes. Una sonrisa es algo real ;)

    • Juan Manuel Aguilar

      Estimada Filo:
      Los modelos son abstracciones de la propiedad magnitud de los objetos reales, de otro modo los modelos serían invenciones de nuestra imaginación.
      Saludos,

    • “Con algunos conceptos métricos (es inevitable desde lo natural) hay que empezar, algunas magnitudes han de ser introducidas sin presuponer la previa introducción de otras”

      “Por que afirmo:
      ¡Es decir o medimos espaciotiempo juntos o nos quedamos sin variables fundamentales en física!
      Y no digo que solo nos queda la masa como variable fundamental; o no incluyo la masa, que hasta el día de hoy es una variable fundamental. Pues según mi modelo de la interacción Luz-Luz y algunas “entrelineas” que saco por suspicacia física de los cinco anteriores paradigmas físicos y de la relación entre la energía de una partícula masiva y la de su electromagnético confinado (ella misma); la masa que le medimos a las partículas no es una magnitud fundamental. Y ahora expongo de forma escueta, en que razonamientos me baso para decir esto…”

      http://www.cienciakanija.com/2012/10/05/observatorio-infrarrojo-de-la-nasa-mide-la-expansion-del-universo/comment-page-1/#comment-43858

      • Aquí el tema amigo Tom es solo lo “métrico” en su aspecto “conceptual”, y cómo la matemática se desarrolla a partir de la propiedad magnitud de los objetos reales, aclarando que esa propiedad es real y que la matemática solo abstrae esa propiedad para correlacionarla con otras magnitudes y de ese modo explicar la realidad; pero la condición es que la propiedad magnitud corresponda efectivamente a un objeto real, que no sea un invento de la imaginación.

        Entiendo tu desacuerdo con el concepto de espaciotiempo en que supuestamente se basa la Teoria de la Relatividad. Yo estoy de acuerdo que no hay tal deformación del espacio tiempo sino que la fuerza de la gravedad afecta a los cuerpos o a la luz que inciden en un campo gravitacional. Pero la física oficial se mantiene en la deformación del espaciotiempo.

        Que dos objetos en sistemas inerciales diferentes no compartan el mismo espacio y el mismo tiempo, contradicen el principio de identidad. El muon tiene su espacio y su tiempo en su sistema inercial y a la vez fuera de ese sistema inercial tiene otro espacio y otro tiempo. Una cosa es y no es al mismo tiempo; o el muon vive en dos dimensiones, tiene dos vidas, una en cada sistema inercial.

  8. Juan Manuel Aguilar

    De acuerdo, una de las propiedades de los objetos reales es la magnitud; luego, los conceptos de magnitud (cuantitativos) hacen posible la comparación entre los objetos que componen la realidad; las matemáticas son la expresión más acabada de la aplicación de los conceptos de magnitud al análisis, comparación e interrelación de los objetos reales. Pero las M. no estudian los objetos en si, sino únicamente su propiedad de magnitud, a partir de la magnitud de otro objeto o conjunto de objetos del mundo real.

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