Prohibido conmutar I


Uno de los hechos más característicos de la mecánica cuántica es la imposibilidad de determinar simultáneamente con toda precisión algunos pares de observables. Esta es la base del principio de indeterminación de Heisenberg.

Seguramente que cada uno de nosotros ha leído y/o estudiado eso de que no se puede conocer a la vez la posición y el momento (producto de masa por velocidad) de una partícula cuántica.

¿Qué pasaría si esto ocurriera con las coordenadas de un espacio? ¿Qué pasaría si por ejemplo en el plano no pudieramos determinar simultáneamente la coordenada x y la coordenada y con total precisión?

Si esto ocurriese nos enfrentaríamos a tener geometrías no conmutativas. Este tipo de geometrías han sido desarrolladas por los matemáticos y han sido empleadas en teorías físicas. El ejemplo que podríamos poner es la teoría de cuerdas, sin embargo, en esta entrada veremos que hay situaciones físicas mucho más cotidianas donde esta idea se manifiesta de manera natural. Así que aprovecharemos las siguientes entradas para hablar un poco de geometría no conmutativa, esencialmente de su idea principal y presentaremos un ejemplo nada exótico donde se pone de manifiesto (en la siguiente entrada). Espero que os interese.

Hoy nos toca hablar de indeterminación y de no conmutatividad.

Principio de Indeterminación

Para empezar veamos la famosa expresión del sacrosanto principio de indeterminación de Heisenberg para la posición y el momento.

Lo que significa esta expresión es lo siguiente:

  • Cuando determinamos la posición de una partícula cuántica, extrayéndola del estado cuántico de la misma, generalmente no nos da un valor exacto sino que viene acompañada con una indeterminación asociada. Esta indeterminación, un intervalo en el que puede estar la partícula, está representada por \Delta x.
  • Si en vez de la posición intentamos determinar el momento de la partícula nos encontramos en una situación análoga. La indeterminación en el momento viene representada por \Delta p.
  • El principio de indeterminación nos dice que el producto de ambas indeterminaciones tiene que ser mayor o igual que una determinada cantidad, en este caso \hbar/2.

Si uno mejora la indeterminación en la posición aumenta la misma para el momento y viceversa de forma que el producto siempre es igual o mayor a \hbar/2.  Recordemos que la constante \hbar es la constate de Planck dividida por 2\pi, es la llamada constante reducida de Planck.

Una visión geométrica

Supongamos que estamos estudiando una partícula que se mueve en una dimensión, una línea recta por ejemplo. Para determinar la forma en la que la partícula se mueve, en física clásica, determinamos sus posiciones y sus momentos de forma exacta y simultáneamente.

Si uno construye un espacio donde en un eje dispone las posiciones y en el otro eje dispone el momento de la partícula que estamos moviendo, en la mecánica clásica está perfectamente permitido determinar un punto en este espacio:

Para una partícula moviéndose en una dimensión podemos construir un espacio de dos dimensiones, donde un eje es para las posiciones y el otro eje es para los momentos. A este espacio se le denomina espacio de fases.

Para una partícula moviéndose en una dimensión podemos construir un espacio de dos dimensiones, donde un eje es para las posiciones y el otro eje es para los momentos. A este espacio se le denomina espacio de fases.

 

Según la física clásica podemos determinar simultáneamente posiciones y momentos así que en el espacio de fases podemos identificar puntos.

Según la física clásica podemos determinar simultáneamente posiciones y momentos así que en el espacio de fases podemos identificar puntos.

La mecánica cuántica, a causa del principio de indeterminación, lo que nos dice es que en este espacio uno no puede localizar este punto en un área menor que \hbar/2.

indeter

Dicho de otra forma, el área dada por el producto de indeterminaciones en posiciones y momentos, tiene que ser mayor o igual a esa cantidad. Así que, si uno disminuye la indeterminación en la posición, la del momento necesariamente tiene que aumentar.

indeter2Por supuesto que uno puede hacer medidas de la posición con indeterminación nula, pero entonces, el principio de indeterminación nos dice que el momento de la partícula está totalmente indeterminado.

indeter3Aquí hay una ‘magia’ matemática, cuando tengo el producto de dos factores, acotado por abajo, y quiero llevar uno de esos factores a cero manteniendo el producto acotado, el otro factor necesariamente se hace infinito. El punto está en que matemáticamente el producto 0\times \infty puede ser mayor o igual a una constante elegida, es lo maravilloso de los límites.

Esta discusión se puede realizar de manera análoga para el momento.

No eres torpe es que está indeterminado

Hay una idea muy extendida acerca del principio de indeterminación que nos induce a pensar que las indeterminaciones en las magnitudes físicas de la cuántica están asociadas a nuestra torpeza experimental. Es muy cierto que en todos los experimentos cometemos errores que nos proporcionan indeterminación en nuestras medidas. Sin embargo, en este contexto hay que recalcar lo siguiente:

El principio de indeterminación es una característica inherente a los sistemas cuánticos. No es que no podamos determinar experimentalmente de forma simultánea posiciones y momentos por incompetencia o falta de medios técnicos.

Lo que nos dice este principio es que ESTE PAR DE MAGNITUDES NO ESTA DEFINIDO SIMULTÁNEAMENTE.  Y no podríamos mejorar esta situación aunque tuvieramos metodologías experimentales perfectas que no introdujeran errores ajenos a esta circunstancia.

El origen de la indeterminación: No conmutes

En matemáticas elementales la propiedad conmutativa parece universal. Luego uno va creciendo y se encuentra con cosas que no conmutan cuando se opera con ellas de determinada manera. Si te has encontrado con las matrices en tus estudios estarás sonriendo ahora mismo, (no te preocupes tu cam está apagada, creo).

Se puede definir un objeto llamado conmutador que justamente pone de relieve si un par de magnitudes conmutan o no.  El conmutador se define del siguiente modo:

\left[A,B\right]=AB-BA

Evidentemente si el par de magnitudes A, B cumple que: \left[A,B\right]=0 se dice que conmutan y si \left[A,B\right]\neq 0 se dice que no conmutan.

El principio de indeterminación recibe ese nombre por razones históricas, porque en realidad es un teorema, es decir, se puede probar que es cierto dentro de las hipótesis iniciales de la teoría (confirmadas experimentalmente hasta la fecha.

El teorema nos dice que el producto de la indeterminaciones a la hora de calcular las magnitudes A y B, \Delta A, \Delta B verifica lo siguiente:

\Delta A \Delta B\geq \dfrac{1}{2}|\langle\left[A,B\right]\rangle|

En el blog tenemos un par de entradas más formales sobre este tema de conmutadores e indeterminaciones: Mecánica Cuántica I y II.  Si alguien está interesado en una demostración formal de este teorema: THE UNCERTAINTY PRINCIPLE: A BRIEF SURVEY.

Aquí es donde se pone de manifiesto la relación entre indeterminación de observables y su conmutación.

Debería de estar claro que si trabajamos con un par de observables que conmuten esta expresión sería:

\Delta A\Delta B\geq 0

Lo que implica que podríamos hacer cero, simultáneamente, ambas indeterminaciones.

Toda la raíz del principio de indeterminación se encuentra en la no conmutatividad de algunas magnitdes físicas.

Posición y momento

En cuántica la relación de conmutación entre x y p viene dada por:

\left[x,p\right]=i\hbar

Para una prueba pedestre de este resultado: Cuantización Canónica.

Dado que no conmutan entre sí tendremos:

\Delta x\Delta p \geq \dfrac{1}{2}|i\hbar|

  • El valor absoluto de |i\hbar|=|i||\hbar|.
  • \hbar es una cantidad positiva así que |\hbar|=\hbar.
  • El valor absoluto de la unidad imaginaria es |i|=|\sqrt{-1}|=+\sqrt{|-1|}=\sqrt{1}=1.

Por tanto obtenemos el resultado famoso:

\Delta x\Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}

La no conmutatividad es más común de lo que podemos imaginar

Todo esto puede parecer un poco abstracto, lo es, pero no es menos cierto que hay operaciones que no conmutan y que las puede ver en cosas que uno puede tener a mano.

¿Tienes un libro a mano?

¿Ya?

Ok, pues dispongamos el libro en una mesa en su sentido de lectura natural:

primera

Ahora gíralo 90º hacia la izquierda.

segunda

Giramos una vez más 90º hacia arriba:

tercera

Aquí hemos hecho dos operaciones matemáticas, girar hacia la izquierda y girar hacia arriba. Cambiemos el orden, giraremos primero hacia arriba y posterior mente hacia la izquierda, la secuencia queda:

Original:

primera

Girado hacia arriba:

cuarta

Girado hacia la izquierda:

quinta

El resultado, parece evidente que no es el mismo que en el caso anterior. Por tanto estas operaciones, que como véis se pueden realizar en casa, no conmutan entre sí. (En este proceso, el libro no ha sufrido ningún daño).

¿Que pasa si imponemos que las coordenadas no conmuten?

Uno puede hacer la pirueta matemática de imponer que sean las propias coordenadas de un espacio las que no conmuten entre si. Es un concepto sutil, su estudio da lugar a lo que se conoce como geometría no conmutativa.

En principio, uno puede imponer que el conmutador entre la coordenada x y la coordenada y de un plano no conmuten:

\left[x,y\right]=i\theta

Esto se puede hacer por simple imitación de la no conmutatividad de la mecánica cuántica, donde en este caso \theta es una constante.

Pues bien, en la próxima entrada veremos como este caso de hecho se da en física. Y no, no vamos a hablar de física especulativa, de teorías de gran unificación, de supercuerdas, es un caso muy simple y fácil de conseguir donde las partículas de interés, que constituyen el sistema, viven de forma efectiva en un plano no conmutativo. No te pierdas la próxima entrega de este tema.

Nos seguimos leyendo…

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31 Respuestas a “Prohibido conmutar I

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  6. nicolas hernandez

    No comparto su interpretación, me inclino por la interpretación estadística de la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre me dice que no puedo preparar un estado tal que las distribuciones de posición y momento tengan varianzas que violen dicha relación matemática, estas varianzas son sobre el estado no sobre el aparato, cuando yo haga una detección de UNA SOLA partícula la puedo hacer con una precisión que no se ve limitada por el principio de incertidumbre. Hay que recordar que en la interpretación estadística no hay colapso de la función de onda, es decir, una detección no me prepara auto estados.

    • Aquí hay dos cuestiones:

      a) La indeterminación está en el estado y no en el procedimiento experimental.

      Esto es justamente lo que se dice en la entrada y en la entrada no he hablado de interpretación alguna. Es evidente que la dispersión del estado aparece cuando hacemos medidas sobre muchos sistemas preparados en la misma forma, en ese sentido estoy de acuerdo con la interpretación estadística o ensemble de la cuántica.

      b) Cuando yo haga una detección de UNA SOLA partícula la puedo hacer con una precisión que no se ve limitada por el principio de incertidumbre

      Aquí es donde no estoy de acuerdo, principalmente porque es una afirmación vaga. ¿Puedes medir simultáneamente posiciones y momentos? ¿Hay algún dispositivo experimental que te permita hacer eso?

      Esto no depende de la interpretación, así que sí, si yo tengo N sistemas preparados de forma idéntica y en N/2 mido posiciones y en N/2 mido momentos, cuando calcule sus varianzas y sus valores esperados todo será compatible con el principio de indeterminación, pero porque es algo inherente al estado.

      Vamos, que lo que yo he tratado de decir son dos cosas:

      1.- El principio de indeterminación es una característica de la cuántica.
      2.- No tiene nada que ver con incapacidades técnicas experimentales, sino con el estado.

      Ahora, para acomodar estos hechos, uno puede elegir la interpretación de la mecánica cuántica que más le guste, pero eso son los hechos netos.

      • nicolas hernandez

        Pero aunque no tenga un aparato que pueda detectar al tiempo posición y momento, la mecánica cuántica no me dice que hacer esto sea imposible. lo cierto es que en la detección de una sola partícula yo no puedo ver el principio de incertidumbre, es en la detección de muchas que yo puedo decir algo de la varianza, y allí es en donde esta mi divergencia, porque lo que se suele decir es que a una partícula no se le puede medir momento y posición de tal forma que en esa única medición las incertidumbres violen la relación matemática que todos conocemos, y es que esas incertidumbres de las que habla el principio no se pueden detectar en una única medición.

        • No se pueden detectar en una única medición porque el principio de indeterminación te dice que no están definidas y a su vez no hay ningún experimento que mida posiciones y momentos simultáneamente porque no es posible hacerlo. Y de ser posible, se verificaría el principio de indeterminación en una única medida. El punto clave está en que toda la demostración del teorema solo implica un estado, no es un efecto estadístico, es un efecto inherente al propio estado del sistema.

          • nicolas hernandez

            Allí esta el quid del asunto, yo me apego a la posición de que el estado es una propiedad no de un sistema sino de un ensamble de sistemas, por lo tanto las propiedades del estado solo las puedo verificar al hacer muchas detecciones , y de esta manera el principio de incertidumbre si sería una especie de “efecto estadístico”.

            • Si dejas el experimento de la doble rendija por mucho tiempo se pierde el patrón de interferencia (hay simuladores para comprobarlo uno mismo) y se vuelve aleatorio si consideras el tiempo inicial(pero obviamente no a intervalos) la característica probabilistica de la cuantica revela un patrón entre” una prueba” “algunas pruebas” y “demasiadas pruebas” que revelan la emergencia de propiedades ¿es estado una propiedad emergente?¿como saberlo?

  7. No tiene nada que ver pero, ¿alguien podría contestar a mí pregunta del foro? Si no es mucho pedir. XD Por cierto, excelente blog!!

  8. Hola. Leo hace un tiempo este blog y la verdad es que me gusta mucho.

    Esta vez he decido dejar unas sinceras felicitaciones por lo bien que han explicado el Principio de Indeterminación.

    Sobre esto último me gustaría destacar que nombren el principio como “Indeterminación”. Lo usual es encontrarlo como “Incerteza” (tomado del inglés “Uncertainty”), lo cual induce a pensar que se trata de un problema en la medición, cosa que ustedes ya han explicado. Por otro lado el nombre “Indeterminación” sugiere a ojos de cualquiera, que se trata de una propiedad intrínseca de la naturaleza como efectivamente lo es.

    Esperaré la continuación.

    Saludos desde Chile

  9. Os leo desde hace tiempo, y os tengo que decir que cada entrada que hacéis me dejáis con la boca abierta y con ganas de saber más sobre el tema que tratáis. No puedo hacer más que felicitaros. No había oído hablar nunca de la geometría no commutativa y por como lo habéis contado me ha parecido fascinante! Un abrazo!

  10. Pingback: Prohibido conmutar

  11. Me encanta ver a un físico intentando explicar matemáticas…

    PD: En este caso (y como diría mi padre) “no está mal”

  12. Pingback: Prohibido conmutar I

  13. Pues yo siempre pensé que el principio de indeterminación era porque para detectar la posición de la partícula tenemos que modificar su momento y si queremos medir el momento no podemos conocer con exactitud la posición de la partícula. Vamos, que el hecho de tener que usar otras partículas para poder “ver” hace que afectemos al sistema y no podamos determinar posición y momento por encima de un límite. Pero el texto en rojo me ha dejado ojiplático…. me queda mucha carrera por estudiar, que todavía sigo estudiando a los señores con peluca.

  14. Muy claro y muy bueno por cierto. Cuantica explciada de forma sencillisima, hasta para estudiantes de instituto diria yo! Muy bueno

  15. Pingback: Prohibido conmutar I | Cuentos Cuánticos | Ciencia y Arte

  16. Muy clarito. Me ha gustado mucho.

  17. Como en las series, se corta en lo mas interesante.

    • Bueno, la idea era hacer una única entrada, pero había que contar muchas cosas y se podía hacer eterna. Mañana estará el desenlace :)

      • Me ha gustado el lenguaje que has usado para interpretar el principio de incertidumbre. Todo el tiempo te moviste por la cuerda floja, sin caer en los extremos y dogmatismos del fanatismo interpretativo de la quántica. Lo que dice una teoría, es lo que dice, y no más, por mucho que nos guste. Lo primero que no entendemos ha plenitud, o creo que tiene una interpretación mas profunda es “h”. Y como ella esta en esa relación de forma explicita; hay que dejar las ventanas abiertas a nuevas y más ricas interpretaciones. Es que “h” sale en las interpretaciones corpusculares, esta involucrada en los corpúsculos, en las propiedades internas de esas “bolitas”; pero además sale en las propiedades de las ondas electromagnéticas como algo fundamental, como su energía, que es “h” por su frecuencia. Y sin que los anterior sea poco, para colmo, ella es el factor misterioso; que involucra matemáticamente, los corpuscular y lo ondulatorio; según la generalización que de Broglie extrajo de los experimentos de su época y que después se verifico en otros con mas claridad; claro ya bajo la sombra de la filosofía quántica de Bohr.
        Y es que ya, desde la hora en punto en que admitimos que hay una relación entre el micromundo y el macromundo (que la hay), pero que no hemos construido el paradigma, la física, o la teoría, que los explica a los dos juntos: tenemos que admitir que el principio de incertidumbre no es una ley de la naturaleza, sino que de la forma en que hacemos los experimentos, la forma en que hasta ahora hemos hechos las mediciones, la forma (única) que conocemos de hacer las mediciones; es la forma en que Bohr construyó el paradigma quántico. Y es la forma más general y con menos principios que se puede interpretar hasta ahora los experimentos que sabemos hacer. A Bohr se le abrieron los cielos, vio los cielos abiertos; cuando le presentaron, entendió la relación de incertidumbre “de” Heisemberg. Realmente era lo que faltaba para redondear esa teoría en su superestructura filosófica, ese misterio, constructo, o edificio misterioso que envuelve cada uno de los paradigmas físicos, que le dan razón de ser independiente y que ha muchos físicos se les escapa, y por tanto no disfrutan de lo mejor.
        Concretando algunas cosas según mis meditaciones. Repito estas son mis ideas, o parte de ellas que no se han publicado, son ideas física, experimentales, no interpretación puramente matemática.
        De la naturaleza, los experimentos y de la relación de incertidumbre; no se puede extraer la conclusión (no dice eso), de que la posición y la cantidad de movimiento lineal de un foton o un electrón, no se puedan medir por separados. Cuando se interpreta esas relaciones, creo que muchos físicos o divulgadores, se van mas allá de lo que ella nos dice y por tanto, de inicio, matan la curiosidad y la imaginación del estudiante o investigador, y eso es fatal en física. Ahora, si dice que si los haces bajo esa forma, ese producto será mayor que la misteriosa “h”, nunca menor. Y como es un producto, en ese limite de igualdad, y como no puede ser menor, irremediablemente la habilidad experimental que ganes en una variable, la pierdes en la otra, para una misma partícula. Es interesante que esa conclusión se extrajo, de muchas partículas, bajo el mismo ensemble experimental; pero actualmente, las trampas de partículas y las mediciones débiles, confirman lo mismo, aunque prometen otras cosas más allá. Lo que implica; que si no los haces de esa forma (los experimentos), ese producto podría hasta ser menor que “h”. Y en esa interpretación que le doy a ese principio, esta la también la salida del estancamiento y del fanatismo investigativo. Yo mismo tengo varios experimentos, donde creo que se pueden medir por separado, creo que he medido por separado, repito creo, no es fácil distinguir a ese nivel de complejidad. Ahora, la interpretación es complicada, ya que no sabes si lo que ocurre es una interacción Luz-Luz (mi modelo explicativo), una microcurvatura del espaciotiempo (algo que nadie sabe interpretar, explicar, entender bien físicamente, pero para esto si se necesita mas que matemáticas,…) y que de serlo, implica que este tiene una cuantificación, muy rígida y concreta, aunque cuantificación en si o si es un fenómeno topológico no local (otra cosa que nadie sabe explicarse muy bien con palabras humanas). También me sugieren, que la interpretación ondulatoria, es macrovariables (como la temperatura, la presión, en termodinámica) y que en una posible interpretación corpuscular, a nivel fotónico, da las microvariables de las que se deducen esas macrovariables ondulatorias. Con lo que se regresa de cierta forma a la genialidad de Newton y las variables ocultas de Einstein, de Broglie y Schrodinger. Aunque no se diga, creo que hay muchos físicos trabajado estas cosas de forma “oculta”. Y otros mas abiertamente, aunque todos va muy lento, para mi gusto. De todas formas, hay que esperar a que la comunidad física internacional, tome conciencia de los aciertos y los fracasos de los experimentos actuales de las corporaciones investigativas oficiales. Bueno, por ultimo el español que siempre agrádese el niño talentoso, pero pobre, el del tercer mundo
        http://lastmonolith.blogspot.com/2009/04/el-experimento-de-afshar.html
        http://foros.astroseti.org/viewtopic.php?p=77203

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