Mecánica Cuántica, una introducción absurda I: Conceptos Matemáticos


Dado que el nombre de este sitio se llama Cuentos Cuánticos vamos a hacer una explicación de la mecánica cuántica.  Los requisitos matemáticos ser reducirán al mínimo, lo único que vamos a asumir de conocimientos previos es hacer derivadas y algunas integrales simples así como trabajar con vectores y números complejos (no es mucho ¿a que no?).  Por lo demás, vamos a intentar introducir el formalismo cuántico, en la versión estándar, lo más simplemente posible.  No discutiremos sutilezas relacionadas con espacios de Hilbert, teoría de operadores, y temas punteros de cuántica.

Lo que pretendemos es introducir cierta nomenclatura y ver como funciona esto en casos simples para tener estas entradas de referencia a la cual acudir cuando tengamos que usar estos conceptos en otras entradas.

Así que leyendo esto no nos haremos expertos en cuántica, pero al menos sabremos de qué va.

Nota:  Lo que vamos a presentar aquí está dirigido a todos aquellos que quieran saber como funciona la cuántica y nunca la han estudiado.  Lo que vamos a dar son reglas y veremos como con esas reglas se pueden aprender muchas cosas.  La mayoría de las definiciones matemáticas son eso definiciones, uno se las aprende y aprende a manejarlas.  No hay que entender nada, sólo conocer las reglas.  Yo no entiendo el parchís, pero lo juego… cuestión de conocer las reglas.

Conceptos Matemáticos

 

 

Vamos a enfrentarnos al estudio de la Física Cuántica. Evidentemente la primera cuestión que debemos plantearnos es cómo representar matemáticamente los conceptos que describe esta teoría. Descubriremos que la matemática involucrada en la descripción de los fenómenos cuánticos no es la que usualmente se estudia en los cursos de Física General.

Un buen entendimiento de los objetos y operaciones que vamos a describir a continuación asegura un manejo solvente del resto de temas que presentaremos en distintas entradas.  Por ello haremos una presentación muy elemental, intentando justificar en cada momento las definiciones empleadas y desarrollando explícitamente las expresiones con las que trabajaremos.

A lo largo de la entrada iremos señalando todos los puntos esenciales que hay que recordar.

Objetos básicos de la Física Cuántica

De todos es bien sabido que la física clásica (y si no lo sabíamos ya lo sabemos), la que no es cuántica, se describe en base a funciones.  De dichas funciones podemos extraer cualquier tipo de información que nos interese, posiciones, velocidades, energías, etc. Sin embargo en la Física Cuántica posterior, esto no es posible.  Al decidir estudiar una cierta magnitud sobre un sistema cuántico hace que otras magnitudes no estén determinadas, (¿quién no ha oído hablar de la posición y la velocidad?).

Para empezar hemos de definir qué vamos a entender por estado cuántico.  Más adelante representaremos dichos estados mediante objetos matemáticos denominados funciones de onda, pero en este punto daremos una idea general.

Estados cuánticos: Un estado es todo conocimiento que es posible obtener de un determinado sistema a través de las medidas que podemos realizar sobre él.

Como veremos, un punto esencial de un tratamiento cuántico es que no es posible extraer el valor de cualquier magnitud arbitraria, es decir, aparecen incompatibilidades entre distintos observables (cosas que podemos medir).  Esto se refleja en el hecho de que el conocimiento de uno de estos observables impide el conocimiento de otro, más adelante veremos como se implementa este hecho en el formalismo que estamos presentando.

Un estado cuántico se representa por funciones complejas, (las funciones de onda que describiremos más adelante). Estas se consideran vectores en un espacio vectorial denominado espacio de Hilbert. No entraremos a describir esta formulación  empleando los mencionados espacios de Hilbert porque es muy formal.  Pero si hemos de recordar lo siguiente:

Dado que los estados cuánticos se consideran vectores emplearemos con ellos todos los conceptos asociados a vectores.

Hablaremos de estados ortogonales, de estados propios, de producto escalar interno, etc.

Por ejemplo, se verificarán las propiedades elementales de los vectores:

Si f y g son dos funciones complejas que representa un estado, (f+g) es otra función que representa otro estado.  (la suma de vectores da otro vector, ¿recuerdas?)

Si f es una función compleja que representa un estado y a es un número complejo, af es otra función que representa un estado. (el producto de un vector por un escalar da otro vector)

Notación de Dirac: Esta notación es ideal para expresar y aligerar la escritura de las distintas operaciones que iremos definiendo a lo largo de este curso. (Generalmente los estados se representarán por letras del alfabeto griego)

Una función \psi se expresará como |\psi\rangle, que denominaremos ket.  Dado que estas funciones en general serán complejas, definiremos la función complejo conjugada \psi^* como \langle\psi|, que denominaremos bra.

Producto interior

El producto interior definido entre estados, (equivale al producto escalar), es una operación que toma dos funciones de estado y nos devuelve un número, en general complejo.

La definición del producto interior tiene la forma:

\langle\phi|\psi\rangle=\int_V{\phi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)}dV

donde la integral está evaluada en un determinado volumen espacial, y hemos expresado las funciones con la dependencia en el espacio y el tiempo.

Nota:  Insitimos, hemos puesto esta fórmula porque es la definición correcta del producto interior (o escalar) pero no hace falta preocuparse, la mayoría de las operaciones que vamos a hacer son como un juego, sólo hay que conocer ciertas reglas.  No dejes de leer, que empieza lo bueno 😛

 Propiedades:

1.- \langle\phi|\psi\rangle^*=\langle\psi|\phi\rangle

2.- \langle a\phi|\psi\rangle=a^*\langle \phi|\psi\rangle

3.- \langle \phi|a\psi\rangle=a\langle \phi|\psi\rangle

4.- \langle \phi|\psi_1+\psi_2\rangle=\langle \phi|\psi_1\rangle+\langle \phi|\psi_2\rangle

5.- \langle \psi|\psi\rangle\geq0 donde \langle \psi|\psi\rangle=0\Leftrightarrow\psi=0

En estas propiedades, $a$ es un número complejo.  Además si observamos la propiedad 5. y usamos la definición de producto interior veremos que es producto interior de una función de estado por sigo misma da como resultado un número real.

El producto interior tendrá una interpretación física muy bien establecida.  Pero desde un punto de vista matemático se ha de entender como la proyección de la función \psi sobre la función \phi.

Posible Ejercicio:  Demostrar estas propiedades usando la definición de producto interno.

Hay una serie de conceptos y notación que hemos de conocer, son los siguientes:

a) Diremos que un estado, o función de onda, está normalizado si cumple:  \langle \psi|\psi\rangle=1

b) Diremos que dos estados, o funciones de onda, son ortogonales si cumplen: \langle \phi|\psi\rangle=0

c) Diremos que un conjunto de funciones \{\psi_i\}, forma un conjunto ortonormal si cumplen:  \langle \psi_i|\psi_i\rangle=\delta_{ij}

La última propiedad se ha de entender del siguiente modo:

El producto de funciones iguales da 1, el producto de dos funciones distintas da cero.

(ni más ni menos)

Operadores

Sobre un sistema físico en un estado descrito por una función podemos actuar, bien haciendo medidas del mismo, bien modificando alguno de sus parámetros. Para la representación de las actuaciones que podemos efectuar sobre un sistema emplearemos los objetos matemáticos conocidos como OPERADORES.

Un operador es un objeto matemático que actuando sobre una función nos da otra, según una cierta regla matemática.

Pensemos que tenemos un sistema en un estado definido por la función f, y ahora supongamos que tenemos un operador \hat{A}, (generalmente los operadores se denotarán con una letra en mayúscula y un gorro).  La actuación del operador se expresa:

\hat{A}f=g  ,

donde g es una nueva función que representa otro estado del sistema.

Ejemplo:

Imaginemos que tenemos un operador que denominamos \hat{D}  , y que se nos dice que actúa sobre las funciones siguiendo esta regla:  \hat{D}f(x)=\frac{df(x)}{dx}  .  Ahora tomemos una función por ejemplo $f(x)=sen(x)$  , y actuamos con el operador \hat{D} y por tanto:

\hat{D}f(x)=\frac{d}{dx}sen(x)=cos(x)  ,

con lo que se hace evidente que en general la actuación de un operador sobre una función cambia a esta última.

Variable Dinámica:  Nuestro objetivo es describir la física a niveles cuánticos. Lo que nos interesa es definir como medimos posiciones x, energías E, momentos p, etc, sobre los sistemas cuánticos.  A un operador que represente una magnitud que podemos medir lo denominaremos Observable.  Más adelante diremos como se describen estos observables de forma matemática.

Operadores: Propiedades

Hemos visto que los operadores representan lo que podemos hacer sobre un sistema.  Además,  vemos que actuar sobre un sistema, en general, cambiará su estado cuántico. Esto es muy importante, por ahora no es más que una consecuencia de la elección de operadores para referirnos a las acciones sobre los sistemas, más adelante veremos que esto tiene muchas implicaciones físicas. Es preferible que no continuéis hasta que hayáis asumido este punto.

Propiedades generales de los operadores

1.- (\hat{A}\pm\hat{B})f=\hat{A}f\pm\hat{B}f

2.- \hat{A}(\hat{B}\hat{C})=(\hat{A}\hat{B})\hat{C}=\hat{A}\hat{B}\hat{C}

3. \hat{A}^2f=\hat{A}\hat{A}f

En este punto pasaremos a describir una operación con operadores que es básica para la cuántica, el Conmutador.  Hemos de aprender que no podemos obtener el valor de cualquier observable arbitrario sobre un sistema.  Esto es debido a que los operadores, en general no conmutan, es decir, la aplicación sucesiva de dos operadores sobre una misma función en distinto orden de actuación no nos dará el mismo resultado final, por regla general.

Conmutador

Es una regla matemática que establece si dos operadores conmutan o no.

[\hat{A},\hat{B}]f=\hat{A}(\hat{B}f)-\hat{B}(\hat{A}f)

Notas:

a) El conmutador siempre ha de ser calculado usando una función de prueba.  Aunque el resultado del conmutador es independiente de la función elegida para calcularlo.

b) Cuando [\hat{A},\hat{B}]=0, diremos que los operadores conmutan.  Si recordamos lo anteriormente comentado, esto implicará que la modificación que producen sobre el estado cuántico, no depende del orden con el que hagamos actuar a los operadores.

c) Cuando [\hat{A},\hat{B}]\neq0, diremos que los operadores no conmutan.  Esto implica que el estado cuántico al que llegamos a partir de la función de prueba, $f$ en nuestro caso, depende del orden en el que hagamos actuar los operadores.  Esta situación es nueva en física, en la física clásica uno podía medir posiciones, velocidades, energías,etc, en cualquier orden porque el estado no se vería modificado.  En cuántica, sin embargo, el orden es crucial si los operadores no conmutan.  Veremos que esto está relacionado con el Principio de Indeterminación.

Propiedades de los conmutadores:

1.- [A,A]=0  Todo conmutador conmuta consigo mismo, obviamente.

2.- [A,B]=-[B,A]

3.- [A,F(A)]=0  Cualquier operador conmuta con cualquier función de dicho operador.

4.- [A,B+C]=[A,B]+[A,C]

5.- [A,BC]=B[A,C]+[A,B]C

6.- [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B

Propiedades exigidas a un operador:

Evidentemente el término operador es un término matemático. Nosotros queremos hacer física, y es más, queremos representar las actuaciones físicas sobre un sistema empleando operadores.  ¿Son válidos todos los operadores para describir magnitudes observables?.

La respuesta es no, para que un operador represente un observable hay que exigirle las siguientes propiedades:

1.- Linealidad:  Diremos que un operador \hat{A} es lineal si cumple simultáneamente:

\hat{A}(f+g)=\hat{A}f+\hat{A}g

\hat{A}(cf)=c\hat{A}f donde c es un número complejo.

2.- Hermiticidad:  Dado un operador \hat{A}, podemos calcular su operador hermítico o adjunto asociado, \hat{A}^*.

No vamos a exponer aquí la forma de determinar el hermítico asociado a un operador. Por ahora simplemente hemos de conocer que dado un operador encontraremos otro asociado a él que denominamos hermítico asociado}). Ahora bien, si se cumple \hat{A}^*=\hat{A}, diremos que \hat{A} es un operador Hermítico.

Hay que llevar cuidado con esto de los operadores hermíticos porque empleamos la misma palabra para dos cosas distintas:

Dado un operador podemos encontrar su hermítico asociado.  Si un operador y su hermítico asociado coinciden, se dice que el operador es hermítico.  Cosas del lenguaje.

Nota Evitable: Hermítico de un operador

Debido a que en principio podemos tener problemas para captar este concepto voy a procurar describir como hemos de actuar para calcular el hermítico asociado a un operador paso a paso:

1.- Dado un operador \hat{A}, que actúa sobre funciones complejas, podemos definir un operador asociado, SU OPERADOR HERMÍTICO, \hat{A}^*

2.- Supongamos que tenemos una función de estado \psi.  Sobre esta función de estado actuamos con el operador \hat{A}, obteniendo \hat{A}\psi.  Por supuesto, esta es una nueva función de estado, denotemosla por \hat{A}\psi=\chi.

3.- Ahora vamos a calcular el producto interior de la función \chi con una función \phi.

\langle\phi|\chi\rangle=\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle=\int\phi^*\hat{A}\psi dV

4.- Para calcular el operador hermítico asociado a \hat{A}, calcularemos:

\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{A}^*|\phi\rangle,

es decir, calculamos el complejo conjugado de la integral anterior, y ese resultado nos dirá cuál es el operador hermítico asociado al original.

5.- En el caso de que se cumpla: \langle\psi|\hat{A}|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle^*,  diremos que el operador es hermítico.

Fin de la nota evitable.

Formas de algunos operadores relevantes en Cuántica. Principio de Correspondencia

Hasta ahora todo ha sido muy genérico, nos estamos dotando de un lenguaje que explotaremos durante todo el curso y no dudar con estos términos y con las propiedades hará que la cuántica aparezca natural.  En este punto vamos a expresar cómo son algunos de los operadores que empleamos en cuántica.

a) Posición x\rightarrow \hat{x}.

\hat{x}\psi(x,t)=x\psi(x,t), actúa multiplicando la función por $x$.

\b) Momento: p=mv\rightarrow \hat{p}.

\hat{p}\psi(x,t)=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi(x,t),  actúa derivando la función en la coordenada indicada, con los factores multiplicativos indicados.

c) Energía total: E\rightarrow \hat{E}.

\hat{E}\psi{x.t}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)

El resto de los operadores  que vamos a encontrarnos combinaciones de estos dos.  Por lo tanto, a medida que los encontremos los iremos definiendo.

Problemas de Valores Propios o Autovalores

Como ya hemos señalado, al hacer actuar un operador sobre una función de estado obtenemos otra función.  Sin embargo, para cada operador podemos encontrar un conjunto de funciones que responden de una forma muy característica a su actuación.  A saber, dichas funciones responden al operador devolviendo la misma función multiplicada por un número, en general complejo.

A este conjunto de funciones se las denomina Funciones Propias (Autofunciones). A los números que multiplican dichas funciones propias tras la actuación del operador los denominaremos,Valores propios (autovalores).

La representación matemática de este hecho se resume en la siguiente expresión:

Dado un operador \hat{A}, habrá un conjunto de funciones \{f_a\}, donde las $a$ son números complejos que identifican que valor propio toma la función que estamos considerando, de forma que:

\hat{A}f_a=af_a

Propiedades de las funciones y valores propios:

1.- $A\psi_a=a\psi_a$

2.- A^n\psi_a=a^n\psi_a

3.- F(A)\psi_a=F(a)\psi_a

La última propiedad merece una explicación, a veces los operadores aparecen en funciones, por ejemplo, supongamos que tenemos el operador \hat{A}, y que estamos trabajando con una función propia de dicho operador \psi_3.  Esto significa que:

\hat{A}\psi_3=3\psi_3

Ahora nos dicen, que usemos el operador sen(\hat{A}).  Pues bien, la actuación de este operador, que es el seno del operador original, sobre la \psi_3 no es más que sen(\hat{A})\psi_3=sen(3)\psi_3.

Estas propiedades hay que manejarlas con soltura ya que simplifican los cálculos en los que son manejables.

Otra cuestión central en referencia a los problemas de valores propios, es la concerniente a los siguientes teoremas.

Teorema I: Los autovalores de un operador hermítico son reales.

Teorema II}:  Las autofunciones correspondientes a distintos autovalores de un operador hermítico son ortogonales (su producto interno es cero por el teorema).

No demostraremos estos teoremas, en realidad es muy fácil hacerlo, pero basta con saber que existen y emplearlos.

Nota sobre funciones propias:

Las funciones propias de un observable es un conjunto de funciones ortonormales.  Esto implica que se pueden entender como una base de funciones de estado, es decir, cualquier función que represente un estado se podrá escribir como combinación lineal de las funciones propias de un observable.  (Recordemos que un observable es un operador lineal y hermítico).  Vamos a desglosar que significa este comentario:

1.- Tenemos un observable $atex \hat{A}$.

2.- El conjunto de funciones propias de \hat{A} es \{\psi_a\}, es decir, \hat{A}\psi_a=a\psi_a.

3.- Tenemos una función \Phi, que no es propia de \hat{A}, es decir, \hat{A}\Phi\neq c\Phi.

4.- Pero siempre podremos expresar \Phi del siguiente modo:  \Phi=\sum_{a}C_a\psi_a

Aquí se pone de manifiesto algo muy importante:

Lacombinación lineal de funciones propias de un observable no es, en general, función propia del mismo.

Y otra cuestión importante, que nos detendremos en ella en la próxima entrada, es que siempre que dos observables conmuten pueden compartir una base común de funciones propias.

Hasta aquí la introducción a la matemática de la cuántica, espero que aún estéis ahí.

Cualquier comentario o pregunta, corrección o ampliación de algo de lo aquí expuesto será bienvenida.

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26 Respuestas a “Mecánica Cuántica, una introducción absurda I: Conceptos Matemáticos

  1. En el apartado de “Producto interior” , en la parte de “conceptos y notación”, en concreto el apartado c) de conjunto de funciones ortonormales, se define el producto de dos funciones con el mismo subíndice “i” y éste es igual a la delta de Dirac (i,j). Me preguntaba si el subíncide de la segunda función no sería “j”, pues en otro caso, el producto de dichas funciones, con igual subíndice, siempre sería 1. Es decir, debería ser = Delta (i,j). Un saludo.

  2. no entiendo $a$. Gracias por el esfuerzo

    • Es solo “a”
      cuando veas algo entre $ solo ignoralo, es porque el programa que hace que se vean bien las formulas matematicas (latex) no esta interprentandolo de forma correcta.

  3. Excelente proyecto!!! Muchas gracias por estos maravillosos posts tan completos y didácticos… He aprendido muchas cosas con ustedes que realmente han cambiado casi por completo mi visión como estudiante…
    En mi opinión, tienen un gran talento para explicar tópicos avanzados de física teórica de forma sencilla y concreta, sigan así. ¡Felicitaciones!

    Saludos Cordiales!

  4. Saludos desde Colombia. Mil gracias por el curso que si bien, requiere un nivel decente de conocimientos matemáticos pone al alcance de casi cualquiera un mundo de conocimiento que debería ser obligatorio.

  5. Javier Sandonís

    En la propiedad 1 de los conmutadores pone “Todo conmutador conmuta consigo mismo, obviamente” y debería poner “Todo OPERADOR conmuta consigo mismo, obviamente”. Por lo demás felicitaciones por el blog.

  6. Cortés Martínez Saúl

    Estaba buscando notas acerca de computación cuántica y leyendo un pequeño artículo, vi referenciada esta página y dije: “¿Por qué no?” y eme aquí. Muy buen blog, los felicito, todo es muy interesante y explicado súper sencillo. Entiendo casi todo bien y eso que estoy en 3er Semestre de Ciencias de la computación xD .
    Excelente trabajo.

  7. ¡Hola! Muchísimas gracias por la aportación. Aún me pierdo en algún paso, pero le daré alguna releída con más “googleografía” de álgebra para rellenar los huecos que me faltan. Sólo pasaba para agradecer la entrada y avisar sobre algunos $a$ y fallos por el estilo que parece que no se han convertido en (o se han desconvertido de) el formato matemático esperado. Te bastará con buscar $ en el texto final para encontrarlos.

    ¡Gracias de nuevo!

  8. Pingback: Prohibido conmutar I | Cuentos Cuánticos

  9. Andrés Quesada

    Encontré esta página buscando unas cosillas de física cuántica, pues tengo examen el martes, y me ha gustado muchísimo. Me quedaría todo el día leyendo posts, están genial. Muchas gracias por hacer un trabajo tan sumamente útil e interesante.
    Me sumerjo de nuevo en los apuntes de cuántica, saludos! 😀

  10. sencillamente bien explicado. “gracias”

  11. Excelente página, estoy en Bachiller y en mi universidad al final de año tengo que elegir continuidad de estudios en ingeniería o en ciencias, yo estaba seguro de elegir ingeniería pero sinceramente estudiar Física me esta llamando cada vez mas la atención. FELICITACIONES!

  12. Pingback: La perversión de Feynman | Cuentos Cuánticos

  13. Hola! Acabo de descubrir esta web y empezado a leer estos cursos y vuestra labor me parece realmente encomiable. Me interesa bastante el tema a pesar de no tener mucho bagaje en física teórica (soy ingeniero civil) y agradezco que además de ser sencillo tenga un mínimo de rigor. Espero de corazón que esta web sea todo un éxito!

  14. Esto me recuerda la càtedra de Fìsica IV que nos daba nuestro profesor Nirto Peña hace 35 años, muy bueno y didactico ese ejemplo del càlculo de la hermiticidad de un operador, era algo que tenìa en el cajòn del olvido y que ahora quiero tener retrotraer. Hay que tener muy presente todo lo expuesto aquì, porque esto es vital para poder realizar los càlculos y para avanzar en el entendimiento de la cuàntica, seguiremos leyendo.

  15. Bueeeeeennnnooooo, pasaba por aquì y me doy cuenta que esto està muy interesante, que la labor que estas realizando es en extremo muy importante, pero tengo que actualizarme porque estoy cogiendo rolatas a manos pelà, asì es que estarè aquì para tratando de entender lo esplicado.

  16. Hola!
    En primer lugar agradecer que exista un sitio como este, que se tome la molestia de intentar explicar conceptos que a veces se enseñan como dogmas.
    Con respecto al artículo, el teorema I de que los autovalores de operadores hermíticos son reales, tiene algo que ver con la interpretación de Born de la función de onda? Para eliminar el problema de un valor complejo, se multiplica por su conjugado haciendo que pase del plano real-imaginario al real exclusivamente.

    Muchas gracias

    • El que los autovalores de los operadores hermíticos sean reales es la característica que permite considerarlos como los representantes de los observables físicos. Las medidas efectuadas con nuestros aparatos nos dan valores reales. Y los valores propios serán reales aunque los estados cuánticos vengan representados por funciones complejas. En principio no está relacionado con la interpretación de Born que es justamente eso, una interpretación de la función de onda.

      Un saludos

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