Háblame de cuerdas, dimensiones y supercosas. Vol I.


En esta entrada nos disponemos a dar unas breves impresiones sobre la teoría de (super)cuerdas.  Esta es una teoría ciertamente complicada a nivel matemático, así que procuraremos no “mentir” demasiado en nuestras explicaciones y no “equivocarnos” mucho en nuestras opiniones.  Ala, a lo que toca.

Partículas puntuales y cuerdas

En la teoría que tenemos comprobada experimentalmente que define las partículas y sus interacciones, el nunca bien ponderado modelo estándar, dichas partículas se consideran puntuales.  Es decir, las partículas fundamentales como los leptones (electrones, neutrinos y demás) y los quarks, se consideran sin estructura interna.  Sin embargo nada nos impide construir una teoría de “perqueños” (luego precisaremos esto) filamentos sin grosor, es decir cuerdas de una dimensión, vibrando y consistentes con las leyes de la relatividad especial y la mecánica cuántica.  Y si lo hacemos encontramos estas sorpresas:

1º  Las cuerdas tienen que oscilar para ser estables.  Si no oscilaran la tensión de dicha cuerda haría que colapsará. Pero resulta que los distintos estados de vibración de las partículas nos dan información de:  masas, cargas, espín.  Así que, cada estado (modo) de vibración de una cuerda puede representar a una determinada partícula.

2º En teoría de cuerdas aparecen de forma natural interacciones del mismo tipo que se dan entre nuestras partículas (interacciones gauge).  Así que en cierto sentido contiene a las mismas.

3º Teoría de cuerdas, además, recupera la Relatividad General (RG) (con correcciones dependientes de la energía) por debajo de una escala propia de la teoría.  Es decir, RG  es una teoría que recuperamos en el límite de bajas energías para la teoría de cuerdas. (Para una discusión breve sobre escalas y teorías de baja y altas energías ver —- jerarquías).

En este sentido, cuerdas nos dan interacciones gauge (del tipo de las teorías electromagnética, débil y fuerte) y la teoría de Einstein (la gravedad), las cuerdas son una descripción unificada de todas las interacciones.

Un poco de motivación histórica.

Evidentemente todo esto no es un capricho, hay razones históricas que condujeron a pensar en formular la teoría de partículas en términos de cuerdas y no puntos. No revisaremos la historia aquí, aunque es muy interesante, pero daremos una motivación:

Cuando se descubrieron los hadrones y se vió que interactuaban bajo la interacción fuerte, no había medio de describirlos. Pero Gabriele Veneziano se dió cuenta, estudiando datos experimentales que dichos objetos hadrónicos se entenderían si estuvieran conformados por cuerdas. La idea cayó en el olvido por un tiempo porque al poco se formuló la cromodinámica cuántica que es la teoría que explica la interacción fuerte entre quarks. Pero Green y Schwartz siguieron trabajando en ella y podemos decir que son los verdaderos padres de la teoría.

¿Cuántas cuerdas?

Hablemos de los tipos de cuerdas que podemos tener.  En principio la clasificación es fácil:

a) Podemos tener cuerdas abiertas.

b) Podemos tener cuerdas cerradas

Bueno, no es nada espectacular ¿verdad?

Sigamos clasificando:

  1. Podemos tener cuerdas bosónicas:  Estas cuerdas son aquellas que sus vibraciones sólo dan lugar a partículas con espín entero (los llamados bosones).
  2. Podemos tener cuerdas fermiónicas:  Estas cuerdas tienen vibraciones que dan lugar tanto a bosones como a fermiones (que son partículas de espín semientero).  

Esto va a mejor, porque nos permite comentar que en la primera versión de la teoría de cuerdas (lo que emplea cuerdas bosónicas) no aparecían fermiones. El problema es que a esta clase clase de partículas, los fermiones, pertenecen los electrones, neutrinos, quarks. Entonces es malo que la teoría no los contenga, porque esas partículas están a nuestro alrededor.

Pues bien, lo mágico de esto es que tenemos que sacar fermiones de la cuerda y eso llevó a los investigadores de cuerdas a introducir la supersimetría.  No explicaremos aquí la supersimetría porque es largo y merece muchas entradas aparte, pero si diremos que la supersimetría es tan super porque es capaz de relacionar bosones y fermiones.  Así que dado un bosón tenemos un fermión asociado y veceversa.  Por tanto una teoría supersimétrica contiene por definición bosones y fermiones.  Fantástico, porque además, como ya veremos, la supersimetría es una posible solución al problema de la jerarquía y es por eso que se busca en el LHC.

Escalas y longitudes cuerdísticas:

Como dijimos en la discusión del problema de la jerarquía las teorías son válidas a partir escala de energía, así que en teoría de cuerdas hemos de tener una determinada escala que llamaremos \Lambda_c.  Esta escala se relaciona con la longitud de la cuerda de este modo:

 L_c=\dfrac{1}{\Lambda_c}

 Lo que implica esta escala es lo siguiente:

Por debajo de \Lambda_c no hay suficiente resolución para ver la cuerda, así que a todos los efectos lo que percibimos es una partícula puntual.  Esto se puede ejemplificar del siguiente modo, supongamos que tenemos una pelota de pin-pong, de cerca claramente esta pelota tiene un volumen, pero si nos vamos a Andrómeda (por exagerar que no quede) la pelota aparecerá como un punto.

En general, la escala de la cuerda se relaciona con la masa de Planck (10^{18}GeV), lo que quiere decir es que el tamaño o longitud de la cuerda será del orden de la escala de Planck (10^{-33}cm).  Esto es muy pequeño, y necesitamos mucha energía para ver tales distancias, recordemos que en jerarquía (enlace) se explicó que para ver una distancia L hemos de tener una energía E=1/L.  Dado que los experimentos pueden ver hasta el orden del TeV, estamos muy lejos de “ver” cuerdas en los experimentos de forma directa.

Háblame de dimensiones

Es bien conocido que la teoría de cuerdas se formula en un número de dimensiones mayor que cuatro.  ¿Y esto por qué?¿Se ponen a mano las dimensiones?

Esta es una pregunta muy interesante, así que intentemos explicar de qué se trata.

Hay varias formas de llegar a estas dimensiones en las distintas versiones de la teoría de cuerdas, y todas ellas dan los mismos valores expuestos, que se denominan la dimensión crítica.  La razón subyacente siempre es la misma, la teoría ha de respetar la teoría de la relatividad especial (invariancia Lorentz del vacío para ser exactos) y esto sólo se puede dar en las respectivas dimensiones denominadas críticas.

  • La cuerda bosónica únicamente es consistente si la dimensión crítica del espaciotiempo es 26.
  • La supercuerda únicamente es consistente si la dimensión crítica del espaciotiempo es 10.

Por otro lado, las cuerdas a nivel clásico tienen una simetría muy fuerte, la simetría conforme (no entraremos en detalles). Y las simetrías se han de respetar cuando se formula una teoría cuánticamente.  Pues ocurre que cuando uno hace la teoría cuántica esta simetría no se respeta (aparece una anomalía), lo cual hace que la teoría sea inservible , pero, oh sorpresa de nuevo, sí que se respeta cuando la dimensión espaciotemporal es la dimensión crítica.  Así que hemos visto varias opciones para ver que la teoría exige la dimensión del espaciotiempo.

Como estamos poniendo pocas fórmulas hoy pongamos una, da igual de donde viene, confiar en que son esas :P.   Para que la teoría de la cuerda bosónica respete la invariancia Lorentz se tiene que verificar esta fórmula:

\left[J^{i-},J^{j-}\right]=-\dfrac{1}{(p^{+})^2}\sum_{m=1}^{\infty}\Delta_m(\alpha_{-m}^i\alpha_m^j - \alpha_{-m}^j\alpha_m^i)

 Nos da un poco igual lo que signifiquen estos simbolos, pero para asegurar el respeto de la cuerda bosónica por la relatividad especial, la parte de la derecha de la ecuación ha de ser cero.  Para que sea cero basta con que:

 \Delta_m=0

Pero resulta que:

\Delta_m=\dfrac{26-D}{12}m+\left(\dfrac{D-2}{12}-2\right)\dfrac{1}{m}

 donde D es la dimensión del espacio tiempo, es fácil ver que si D=26 todo se anula. Un cálculo similar se puede hacer para la supercuerda.

Esto es algo nuevo en física, en general las teorías se formulan con una dimensión del espaciotiempo impuesta.  Sin embargo, en teoría de cuerdas hay un requerimiento de consistencia interna.  La teoría no puede ser correcta si no se formula en la dimensión espaciotemporal adecuada.

El problema es que si dichas dimensiones fueran grandes veríamos sus efectos en los experimentos, y por el momento no hay ninguna evidencia experimental de su existencia. Por lo tanto, las dimensiones extras tienen que ser muy muy pequeñas, y necesitaremos mucha energía para verlas.

Final y Continuación:

Para no hacer esta entrada muy larga pararemos aquí, lo que nos queda es hablar de taquiones en cuerdas, de los tipos de teorías de cuerdas y de otras cositas.  No os perdais el próximo capítulo.

Continuará…

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8 Respuestas a “Háblame de cuerdas, dimensiones y supercosas. Vol I.

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  8. Para complementar con humorismo a las cuerdas, la Teoría M:
    http://wp.me/p1Bnwz-ca

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