El secreto de la energía.


La energía es una cosa que está ahí.  Todo el mundo habla de energías, que si se conserva, que si se transforma, que energía eléctrica, que si energía cinética, que si energía potencial.  ¿Pero por qué es tan interesante este concepto? ¿Qué es la energía?

En esta entrada nos proponemos hablar de esto, y siempre bajo nuestro punto de vista que posiblemente no sea ni el mejor ni el más acertado, así que el debate está abierto.  Lo que queremos poner aquí es por qué los físicos adoran este concepto y lo veremos aplicado a un ejemplo muy simple.

Aviso:  Es muy recomendable que antes de leer esta entrada leas la correspondiente al oscilador armónico.

Generalidades sobre la energía

La energía tiene una cosa muy buena y es que es un escalar, es decir, no tiene dirección, no tienen sentido, sólo tiene el valor que tiene.  Muchas veces es desesperante trabajar con vectores para resolver problemas de física. Aún en los problemas más simples nos vemos rápidamente desbordados con tantos vectores representando fuerzas:

Así que tener una cosa que llamamos energía y que no es un vector sino un simple número (con sus unidades, eso sí) pues en principio es una buena cosa.

Lo mejor de todo es que los físicos han llegado a la conclusión de que esa cantidad, la energía de un sistema se conserva (considerando que el sistema está aislado y no hay flujos de energía ni salientes ni entrantes). Es decir, que si un sistema tiene 5 unidades de energía (Julios en el sistema internacional), da igual lo que hagamos en el sistema que acabará teniendo 5 unidades de energía.

Y esto no es simplemente un capricho o una casualidad, el que esta cantidad se conserve manifiesta una propiedad intrínseca de nuestro universo.  La cantidad denominada energía se conserva porque la física es la misma ahora, antes y después.  Es decir, que si yo hago un experimento hoy y me da un resultado, si lo hago mañana a cualquier hora me dará el mismo resultado.  (Esto es consecuencia directa de un magnífico teorema probado por la matemática alemana Emmy Nöther, si buscáis información sobre ella es mejor escribir el apellido como Noether).

En caso de tener salidas y entradas de energía en un sistema pues posiblemente la energía del mismo no sea constante, pero si contamos además de la energía propia del sistema lo que ha salido y lo que ha entrado nos llevaremos la sorpresa de ver que la cosa es constante.

¿Para qué vale eso de la energía?

Pues vale para mucho, pero para ahondar en el tema es casi mejor empezar con nuestro sistema elemental donde iremos desgranando las virtudes de este concepto.  Y dicho sistema es:  El Oscilador Armónico. Y por razones de simplicidad nos restringiremos a presentar dos tipos de energías aquí:

La energía cinética y la energía potencial.

Energía cinética:

Un cuerpo en movimiento a una velocidad v le asignamos una energía cinética que valdrá:

E_{c}=K=\dfrac{1}{2}mv^2

Existe un concepto muy potente en física, también conservado por otros motivos y que explicaremos en su momento, que es el momento lineal:

\vec{p}=m\vec{v}

Este momento lineal años atrás era llamado cantidad de movimiento. ¿Por qué? Pués la razón es simple, supongamos que salimos de casa y notamos que se nos ha olvidado la llave de la cochera.  Vivimos en un 2º piso.  Diligentemente nos vamos al portero automático, tocamos, y pedimos que nos tiren la llave por la ventana.  Así lo hacen, y nosotros con reflejos felinos, cogemos la llave al vuelo. Sin embargo, otro día nos pega por forjar espadas toledanas, y salimos de casa pero al llegar al coche nos damos cuenta de que se nos ha olvidado el yunque.  Vamos al portero y pedimos que nos tiren el yunque por la ventana. ¿Por qué no paramos el yunque con la mano? Porque sería poco inteligente.

Pero un momento, el yunke y la llave tienen la misma velocidad al llegar al suelo, ¿cuál es el problema entonces?  Pues sí, el problema está en la masa y es información la condensa muy bien el momento lineal.

¿Hay relación entre el momento lineal y la energía cinética?

Efectivamente, la hay, basta con tomar el módulo del momento lineal, p=mv, y ver que la energía cinética se puede escribir como:

K=\dfrac{p^2}{2m}

A ojos de la energía cinética igual le tiene si te mueves hacia adelante o hacia atrás, derecha o izquierda, arriba o abajo, lo único que le interesa es el valor del módulo de tu velocidad y tu masa.

Energía potencial:

La energía potencial es un concepto un tanto más sutil, menos evidente, que el de energía cinética.  La energía potencial, pedestremente hablando, es la manifestación de que estamos obligando al sistema a hacer algo. Por eso hablamos de energía potencial gravitatoria, energía potencial eléctrica, energía potencial de tal o cual tipo, etc.  Lo importante de la energía potencial es que nos indica que el sistema está sometido a una interacción de algún tipo, gravitatoria, electromagnética o de cualquier otra interacción.  Y en los sistemas aislados (donde no hay escapes de energía ni entradas de la misma) este concepto es muy útil porque nos da directamente la fuerza aplicada sobre el sistema (siendo estrictos esto es válido en los llamados sistemas conservativos, pero como aquí vamos a tratar únicamente con estos sistemas no entraremos en detalles más escabrosos).

La energía potencial no tiene una fórmula única, como en el caso de la energía cinética, en cada situación, para cada interacción la energía potencial tendrá una forma u otra.

Así que para ir aclarando ideas pues empecemos a trabajar con nuestro amigo el oscilador armónico.

Energía Cinética y Potencial para el oscilador armónico:

La energía cinética para el oscilador armónico está chupada:

K=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{p^2}{2m}

ale, todos contentos.

La energía potencial la vamos únicamente a presentar y no a deducir, porque es un pestiño grande y porque tampoco nos aclararía mucho, baste saber que se puede deducir formalmente y que se obtiene:

V(x)=\dfrac{1}{2}kx^2

donde esa k es la constante elástica del muelle que presentamos en la entrada anterior, en definitiva una característica propia del oscilador.

Para los sistemas donde la energía se conserva, la fuerza que hace que el sistema se mueva se puede deducir de la energía potencial.  De hecho, el cociente de la variación (en negativo) de la energía potencial (dV) con respecto a la variación de la posición del sistema (dx) corresponde con la fuerza ejercida.

En este caso es muy simple porque nuestro ejemplo sólo está en una dimensión espacial (la cosa se pone más seria cuando vamos a dos o tres dimensiones, pero eso por ahora no nos preocupa).

Por tanto, siguiendo las indicaciones podemos decir:

F=-\dfrac{dV}{dx}

Y eso resulta en nuestro caso:

F=-\dfrac{dV}{dx}=-\dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{2}kx^2)=-\dfrac{1}{2}k\dfrac{dx^2}{dx}=-\dfrac{1}{2}k(2x)=-kx

En la entrada sobre el mecanismo de Higgs explicamos como se hacen estas derivadas.  Y en la del oscilador armónico precisamente presentamos esta fuerza como la causante de la oscilación, todo cuadra!!!!

Reto:  Si estáis interesados es muy bueno que partiendo de la solución x=Asin(\omega t) presentada en la entrada anterior obtengáis las expresiones correspondientes a la energía cinética y potencial, así como a la suma de ambas, lo que llamaremos por ahora energía total.  Os dejamos las soluciones y si queréis detalles lo podemos hablar en el foro.

Solución del reto (sin detalles):  K=\dfrac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t), V(x)=\dfrac{1}{2}kA^2 y la energía total, que llamaremos E, E=\dfrac{1}{2}kA^2.  Mostrar también que la energía total E se puede escribir de manera equivalente como E=\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2

¿Qué información podemos sacar de la energía?

Centrandonos en el ejemplo del oscilador, lo primero que vamos a hacer es graficar el potencial (por abuso del lenguaje y economía muchas veces diremos potencial en vez de energía potencial):  En el eje X pondremos las x, y en el eje Y pondremos el valor del potencial V(x).

V(x)=\dfrac{1}{2}kx^2

Para la gráfica elegimos k=4.

Entonces veamos:

Tenemos un oscilador que sabemos que tiene una energía total constante E.

Dicha energía constante es la suma de la energía potencial (la de la gráfica) y la energía cinética.

Pongamos un valor de energía total E en dicha gráfica:

Interpretemos esto:

El sistema tiene una energía total E. Así que la suma de energía cinética K y energía potencial V no puede sobrepasar el valor E.  Por tanto si una sube la otra tiene que bajar y viceversa.

Observamos que en la posición de equilibrio x=0, la energía potencial vale 0, por tanto la energía cinética ahí vale K=E.

Sin embargo, cuando llegamos a los valores máximos (dados por los valore -A y A, que en la gráfica está en minúsculas), la energía cinética tiene que valer 0, porque la masa se para en ese punto para volverse hacia el otro lado.  Por tanto, en los puntos extremos V=E.

En cualquier otro punto, la energía cinética la podremos calcular como K=E-V.  Es decir, nos fijamos cuanto vale V(x) en el punto que queramos, calculamos el numerito, y se lo restamos a la energía total, y eso nos da la energía cinética en ese punto.

Está claro que si aumentamos E pues el oscilador podrá llegar a valores extremos A y -A más elevados, y eso es consistente con el hecho de que E=\dfrac{1}{2}kA^2 como hemos puesto en el reto.

(Si estiro más o menos el muelle le estaré comunicando más o menos energía, el círculo se cierra)

Por lo tanto, a nivel cualitativo la energía te permite deducir como será el movimiento de un sistema.

Un nuevo amigo

Lo interesante de esto es que la agrupación

K+U(x)

es imprescindible para la física, pero por ahora es un secreto no desvelado, así que le vamos a poner un nombre, el Hamiltoniano:

H=K+U(x)

O mejor:

H=\dfrac{p^2}{2m}+U(x)

Que a partir de este momento formará parte de nuestras vidas 😉

Nos seguimos leyendo…

P.D.: Lo sabemos, no hemos dicho casi nada de para qué sirve la energía… impacientes…

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4 Respuestas a “El secreto de la energía.

  1. Orale! Ésta web definitivamente está EXCELENTE! Siento que es una versión aumentada de Feynman quien escribe éstas notas! Les felicito y les agradesco. Si hubiera manera de donar a ésta web lo haría. Saludos.

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