Estados, observables… ¿me explicas de una vez lo que son?


Muchas veces abusamos de la terminología, y eso en divulgación suele ser negativo.  En cuanto hablamos de física, especialmente de la cuántica, aparecen cosas como estados, funciones de onda, operadores, observable, etc.

¿Pero qué es un estado y un observable? ¿Por qué estos conceptos aparecen una y otra vez? ¿Hay diferencia entre la clásica y la cuántica respecto a estos conceptos?

En esta entrada vamos a procurar aclarar un poco estos conceptos, tanto en la física cuántica como en la cuántica y además puntualizaremos que precisamente estos conceptos, y sus diferencias a esos niveles, son los que condensan la diferencia en el comportamiento físico de los sistemas que se rigen por las leyes clásicas y cuánticas.

¿Qué es un estado en la perspectiva de la física clásica?

Imaginemos que tenemos un sistema que es del siguiente tipo:

Tenemos una caja rectangular de un volumen dado (da igual cuanto valga) y tenemos un tubo en mitad de la caja.  Dentro de dicha caja ponemos una partícula de masa m.

El estado de la partícula vendrá dado por:

1.- La identificación de su posición.  La posición de dicha partícula estará dada por un vector (respecto a algún sistema de referencia) que indica dónde está la partícula en cada instante \vec{r}(t)

Eso es tanto como decir que podemos identificar tres componentes en cada instante de tiempo:

\vec{r}(t)=\left(x(t), y(t), z(t)\right)

Si graficamos las distintas posiciones para los distintos instantes tendremos una curva que será el camino que recorre la partícula durante su movimiento, su trayectoria.

2.-  La identificación de la velocidad en cada instante (recordemos que la velocidad se calcula como la derivada de la posición respecto al tiempo, y por tanto indica la dirección tangente a la trayectoria en cada instante, para más detalles ver la entrada del mecanismo de Higgs).  Es decir:

\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}

Pero como comentamos, es mucho más interesante identificar el momento lineal, que no es más que \vec{p}=m\vec{v}.  Para una explicación de la importancia de este momento lineal ver:  El secreto de la energía.  Entonces, para saber cómo se mueve la partícula hay que dar la posición que tiene y el momento que lleva:  \left(\vec{r},\vec{p}\right).  Si escribimos las componentes tenemos:

\left(x(t),y(t),z(t);p_x(t),p_y(t),p_z(t)\right)

3.- Pero puede pasar que la partícula esté girando alrededor del tubo, y en física los giros (su sentido y su velocidad de giro) se describe con un vector denominado momento angular \vec{L}.  (No describiremos ahora este vector pero baste decir que mide los giros y que se calcula a partir de posiciones y momentos lineales \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p})

4.- A lo mejor también nos interesa calcular la energía cinética de la partícula.  Pero la energía cinética viene determinada por el momento lineal y la masa de la partícula.

5.- También podemos dar el valor de la energía cinética, pero en los sistemas que estamos tratando es función de la posición, V(\vec{r}).

Es decir, que si damos posiciones y momentos, todo lo demás lo podemos calcular a partir de ellos.

Así el estado de un sistema es la especificación de las posiciones (y su dependencia temporal) y sus momentos lineales (y su dependencia temporal).

Una vez conocido eso, podemos decir que la partícula se encuentra en un estado con tal posición, con tal momento, con tal energía, con tal momento angular (si está girando, alrededor de qué, con qué velocidad, etc)

Entonces un estado es la especificación de todas las propiedades de una partícula.

¿Qué es un observable?

Un observable es todo aquello que podemos medir, posiciones, momentos, energías, etc..

Entonces, a primera vista, en física un estado está dado por los valores de todos los observables.  Si una partícula tiene un estado con energía E y medimos su energía nos dará E.

Por tanto, la división observable/estado parece un poco artificial y un poco innecesaria.  Pero la cosa se complica un poco cuando la cuántica entra en juego.

¿Qué es un estado en cuántica?

La cuestión en cuántica es ciertamente sutil.  En cuántica el estado viene representado por un objeto abstracto al que llamamos “estado” y lo vamos a representar así:

|Estado\rangle

Este objeto contiene toda la información acerca del sistema en un determinado instante.  Sabe acerca de las posiciones, momentos, momentos angulares, energías, y algunas cosas puramente cuánticas como por ejemplo el espín. Sin embargo la información no es aparente, está escondida dentro de: |Estado\rangle de forma que hay que obtenerla de algún modo.

La principal diferencia respecto a la clásica es esta, en clásica los estados se identifican por los valores de todos los observables.  Todos y cada uno de ellos.  En cuántica, por contra, el estado viene descrito por un objeto matemático (que de hecho es un vector en un espacio de Hilbert) que no tiene la información sobre los valores de los observables de forma visible, a la vista, está oculta y la teoría te dice como se puede obtener los valores de los observables a partir de estos estados.

Muchas veces se habla de la función de onda, ¿a qué nos referimos?

Pues resulta que, el estado |Estado\rangle se puede escribir como una función que depende de las posiciones de las partículas del sistema:  \psi(\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_n).  Dado que |Estado\rangle es en cierto modo independiente de posiciones, momentos, o cualquier otra cosa que nos resulte familiar, eso es una ventaja porque nos permite encontrar representaciones alternativas, y equivalentes, que se pueden ver como funciones de la posición, funciones de los momentos, etc.

Muchas veces se escribe el estado como |\psi\rangle porque mola usar letras así de guays.  Y la función de onda asociada al estado |\psi\rangle es \psi(\vec{r}).

Observables en cuántica

Un observable es, conceptualmente, lo mismo que antes, toda aquella magnitud que se puede medir.  Posiciones, energías, momentos, etc…

Pero claro, en cuántica dado un estado hay que sacar como sea el valor de un determinado observable.  Y eso lo soluciona la cuántica de esta forma:

Un observable actúa como una maquina que toma un estado, le hace algo para efectuar la medida del observable y te da un resultado de la medida y te devuelve otro estado:

El esquema es el siguiente:

Estado |\psi\rangle –> Medida con observable O –> Resultado = Valor del observable, otro estado |\phi\rangle

Esto matemáticamente se entiende así:  Un observable viene representado por un operador.  Un operador es un objeto matemático, llamémosle \hat{O} que actúa sobre otro tipo de objetos, las funciones. Actuá sobre ellas siguiento una determinada regla (que será conocida en cada caso).  Así podemos definir un operador para la posición \hat{x}, para el momento \hat{p}, la energía \hat{E}, etc.

Aplicando estos observables sobre los estados, iremos obteniendo los valores para la posición, el momento, la energía, etc.

Entonces hay una gran diferencia conceptual entre estados y observables en mecánica cuántica.   Y eso hace que la cuántica sea diferente de la clásica, porque en esta última, la distinción entre estado y observable desaparece.

Todo esto se puede poner más formal y matemático, para los curiosos: Mecánica Cuántica, una introducción absurda I: Conceptos matemáticos.

Esperamos haber aclarado esto un pelín, o haberlo oscurecido todo aún más.

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12 Respuestas a “Estados, observables… ¿me explicas de una vez lo que son?

  1. Hola. En el parágrafo 5 debería decir energía potencial, no energía cinética. Excelente, excelente blog. Gracias, y saludos.

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  7. Tambien a mì me aclarò ciertas dudas esta explicaciòn, gracias CC.

    • There are two goals to modeling and rneaeseptrtion. One is communication. The point is to tell someone else what you saw, where you went, what someone did, how so and so felt and so on. Depending on societal norms, different things were considered more or less important. The ancient Greeks knew a fair bit about perspective. They used an inverse transform to make temple pillars look straight rather than tapered. They just didn’t use it when drawing representative scenes because it didn’t communicate anything of importance.The other goal is prediction. It turns out that it is possible describe certain things symbolically and then manipulate the symbols in a rigorous manner to understand the past, the future or to find analogies. If you only adopt rneaeseptrtions and rules of manipulation that work, then you have a mathematics or logic or method of reasoning or whatever you want to call it.There may be a universe where it is impossible to reason forward or backward in time or to find analogies, but that universe would lack thought.

  8. Hola, es una gran pregunta, esa de por qué en la expresión del momento aparece i\hbar. Y la razón no es simple de explicar, el problema es que los operadores que representan observables han de ser hermíticos (que es una cosa matemática con propiedades muy agradables para la cuántica). Y resulta que la derivada d/dx no es hermítica pero i\frac{d}{dx} sí que lo es. Te recomendaría que leyeras el minicurso de mecánica cuántica porque ahí vienen todos los detalles. En caso de que no lo veas claro podemos entrar en una explicación más profunda.

    El por qué hay que meter la constante de Planck es por cuestión de unidades: La constante de Planck tiene unidades de energía por tiempo (J.s) y la derivada respecto a la posición tiene unidades de inverso de la longitud. Si haces las cuentas esa combinación da unidades de momento.

    Muchas gracias por tus palabras y por tu comentario.

    Un abrazo

  9. Primero decirte que me parece fantástico que exista un blog de este tipo. Soy de los pocos que te pedirán que no dejes de poner ni una ecuación.
    Segundo preguntarte una cosa sobre el operador $\hat p$. ¿por qué va siempre acompañado de ih? ¡¡¡he intentado comprender su estructura y no lo he conseguido de ninguna manera!!!!

    A ver si me ilustras un poco, que andamos cortos de buenos divulgadores.

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