Hablemos de Relatividad General


Este es uno de los temas estrella de la divulgación.  Y casi siempre acabamos con el ejemplo de la sábana que se deforma porque pongo un peso en ella, esto sirve de analogía para eso que se comenta tanto de:

Relatividad General nos dice que la gravedad es la manifestación de la geometría del espaciotiempo.

Sin embargo, muchas veces nos quedamos con la impresión de que no sabemos de dónde surge esta idea y de cómo se llega a ella.  Las preguntas que personalmente me hago cuando leo eso son las siguientes:

¿Por qué la gravedad es geometría del espaciotiempo y el resto de interacciones no? ¿Qué implica eso de que la geometría interactúe con el resto de campos? ¿Qué información tienen las ecuaciones de Einstein?

Bueno, pues en esta entrada voy a intentar explicar estas cosas lo más sencillamente posible.

Esta entrada está especialmente dedicada al amigo osguk que nos puntualizó que este tema no estaba claro.  Esperamos que le sea de utilidad.

Detalles sobre Fuerzas

Gracias a Newton tenemos una descripción operativa de qué es una fuerza.  La cosa es bien conocida, según Newton (y confirmado experimentalmente a diario) cuando aplicamos una fuerza del tipo que sea se produce una aceleración:

F=ma

Es evidente que para una masa dada, a mayor fuerza mayor aceleración producida.

Pero aquí hay algo sutil que me gustaría puntualizar, la famosísima F=ma es una fórmula vacía de contenido.  Esto lo que significa es que únicamente nos informa de que cuando hay una aceleración es que está producida por una fuerza.  Pero para dotar a esta fuerza de un significado concreto hemos de estudiar los distintos tipos de fuerza.

Por ejemplo:

1.- Si estamos con un muelle con una masa m en su extremo tenemos una fuerza de recuperación cuando deformamos el muelle y esta fuerza viene dada por:

F=-kx

  • k es la constante elástica del muelle.
  • x es la deformación producida en el muelle.
  • Aparece un signo menos porque la fuerza se opone a la deformación.
2.-  Cuando tenemos dos cargas eléctricas de valores q_1 y q_2 aparece una fuerza entre ellas:
F=K\dfrac{q_1 q_2}{r^2}
  • K es la constante que controla la intensidad  de la fuerza entre las dos cargas.
  • r es la distancia que separa las cargas.  A mayor distancia menor es la fuerza.
3.-  Según Newton la fuerza gravitatoria se da entre dos masas m_1 y $m_2$ tiene la siguiente forma:
F=-G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}
  • G es la constante que controla la intensidad de la fuerza gravitatoria entre dos masas.
  • r es la distancia que separa las masas.  A mayor distancia menor es la fuerza entre ellas.
  • El signo menos (dado que las masas siempre son positivas) nos indica que la fuerza es atractiva.
Ahora cuando aplicamos la segunda ley de Newton:  F=ma a cada caso podemos determinar la aceleración de una de las partículas que están sometidas a una determinada fuerza.

En los anteriores casos tendríamos:

ma=-kx  donde m es la masa acoplada al muelle.

Si en el caso de las dos cargas nos preguntamos cuanto acelera la carga q_1 tenemos que conocer la masa de dicha carga, llamemosla m_1. Por tanto podríamos calcular su aceleración empleando:

m_1a=K\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

Igualmente podríamos calcular la aceleración de la segunda carga.

En el caso de las dos masas, si nos preguntamos cuanto acelera la masa m_1 pues aplicamos la siguiente fórmula:

m_1a=-G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}

Ahora hemos dotado de significado la segunda ley de Newton.

¿Por qué la gravedad no es una fuerza?

Aquí hay un punto esencial, la gravedad no es una fuerza se lee por ahí muchas veces.  ¿En qué sentido no es una fuerza? ¿En qué sentido es una manifestación geométrica del espaciotiempo? ¿Por qué el resto de interacciones no son de origen geométrico (espaciotemporal)?

Pues bien, el origen de esta idea es la siguiente:

Volvamos a tomar la fuerza eléctrica entre dos cargas:

F=K\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

Ahora calculemos la aceleración de la carga 1 (para lo cual tendremos que introducir su masa)

m_1a=K\dfrac{q_1 q_2}{r^2}

¿Pero cuál es la aceleración?

a=K\dfrac{q_1}{m_1}\dfrac{q_2}{r^2}

Hemos querido aislar el factor q_1/m_1 porque ahí está la clave.  ¿Por qué?  Bueno supongo que no es difícil darse cuenta de que si tengo una carga q_1=10C la masa m_1 puede valer 1kg, 10kg, 1000kg, o cualquier otra cosa.  Es decir, que podemos tener sistemas con la misma carga pero distinta masa.  Así que sufrirán distintas aceleraciones.

¿Pero qué pasa con la gravedad?

Bueno, creo que de todos será conocido eso de que todos los cuerpos caen con la misma aceleración (en el vacío para evitar el rozamiento).  En el vídeo se ve una bola metálica y una pluma:

¿Y esto por qué?

Cada interacción está generada por una determinada carga.  La interacción eléctrica es debida a la carga eléctrica.  La interacción débil es debida a la interacción de sabor.  La interacción fuerte es debida a la carga de color.  Así que llamemos a la carga gravitatoria g.

Por tanto la fuerza gravitatoria debería de ser:

F=-G\dfrac{g_1g_2}{r^2}

Aplicando la segunda ley de Newton a la carga gravitatoria $g_1$, deberíamos de determinar su masa m_1 y obtendríamos:

m_1 a=-G\dfrac{g_1g_2}{r^2}

Y por tanto la aceleración será:

a=-G\dfrac{g_1}{m_1}\dfrac{g_2}{r^2}

Pero un momento… la carga gravitatoria es la propia masa m_1.  Esto que parece poco natural, el haber metido una carga gravitatoria, llevó de cabeza a los físicos durante muchos años.  Es la base del principio de equivalencia.

Digamos algo al respecto, la masa que aparece en la fórmula F=ma mide la inercia de un cuerpo.  Es decir, mide lo que cuesta cambiar su velocidad, su estado de movimiento.  A mayor masa más difícil acelerarlo.

Sin embargo, en la fórmula de la gravitación universal es una coincidencia que las cargas gravitatorias sean iguales (o proporcionales para ser precisos) a la característica que mide la inercia y que denominamos masa:  g_1=m_1

Esto sólo pasa con la gravedad, ya hemos visto que en la fuerza eléctrica esto no es así.

Entonces resulta que da igual si aumento o disminuyo la masa 1.  Siempre siente la misma aceleración en presencia de la masa 2.  Por lo tanto, el sentido de la fuerza (como generadora de aceleraciones) desaparece.

¿A qué es debida la gravedad?

Los cuerpos se atraen, eso no es discutible.  Pero si no hay fuerza de por medio ¿qué produce la gravedad?

Fijemonos en esta imagen:

Si dejo una pelota en el punto más alto de este perfil de una montaña es evidente que seguirá el camino dado por dicho perfil.  Es decir, la geometría condiciona la forma de moverse de la pelota.
Pues la Relatividad General es precisamente esto llevado a su máxima expresión. Las bases de la Relatividad General son las siguientes:
  • Masa y Energía son las cargas gravitatorias.  Es decir, son las características de los sistemas físicos que hacen posible generar y sentir la gravedad.
  • La gravedad es una manifestación de la geometría del espaciotiempo.  Su configuración le dice a la materia como ha de moverse.
  • Dicha geometría no es algo estático.  Cuando la materia y la energía cambian, se mueve, evoluciona, la geometría cambia de la forma correspondiente, siguiendo las Ecuaciones de Einstein.
  • Relatividad General es una teoría de la estructura geométrica del espaciotiempo y de cómo esta interactúa con el resto de partículas y campos (a través de la  masa y energía de los mismos)
Espero haber aclarado el tema un poquitín, como siempre estamos abiertos a críticas y sugerencias.  
Nos leemos…
Nos gustaría recomendar el siguiente libro:
Es ciertamente un libro delicioso donde las explicaciones sobre estos temas son abundantes y muy bien presentadas.  En cierto sentido su nivel es avanzado pero sin duda una lectura profunda del mismo puede aclarar mucho sobre este tema.
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13 Respuestas a “Hablemos de Relatividad General

  1. Pingback: Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity I | Cuentos Cuánticos

  2. Soy Maraxus,

    Post genial, como todos. Me he vuelto un adicto a Cuentos Cuánticos.

    Una preguntilla… ¿donde encaja el gravitón dentro de este post?, ¿si es una manifestación del espacio-tiempo (geométrica), porque tiene un corpúsculo y su onda asociada como el resto de fuerzas?. Me refiero al ámbito teórico, ya que no ha sido detectada experimentalmente.

    Supongo que el gravitón es la aproximación cúantica de la gravedad, pero me resulta difícil entender que ambas teorías puedan ser compatibles. Dios… cuanto más cosas me explica Cuentos Cuánticos más inculto me siento!!! 😛

    • 🙂 Genial tener adictos, ahora sólo falta el saltito de que los adictos que vayamos captando se decidan y escriban entradas de lo que les plazca… No nos cansaremos de insistir de que esto es muy cansado y cansino si sólo escribimos los mismos.

      Respecto a lo del gravitón, y eso se merece otra entrada que apuntamos en la lista, te puedo decir lo siguiente como aperitivo. El gravitón surge de la idea de que las interacciones son debidas a intercambio de partículas llamadas bosones mensajeros. Así pues uno puede diseñar una teoría que sea “gravitatoria” a través del intercambio de partículas mensajeras. Por las características de la gravedad sabemos que dicha partícula tiene que tener las siguientes características:

      – Tiene que ser de masa nula — La gravedad tiene alcance infinito.
      – Tiene que tener espín 2 — Esto asegura que puede interactuar con cualquier otra forma de materia (independientemente de su espín y carácter) ya que la gravedad interactúa con otro. Y además asegura que la interacción siempre es atractiva que hasta la fecha es lo que sabemos. Habría que ver como se entiende la energía oscura en este contexto.

      El problema es que estos gravitones son partículas que se propagan por un espacio fijo, esencialmente Minkowski que es un espacio plano que describe la relatividad especial. Sin embargo, Relatividad General nos dice que el espaciotiempo tiene que tener una geometría dinámica y no fijada.

      Esta visión de la gravedad fue introducida primordialmente por Feynman y logró demostrar que daba como resultado en su límite clásico la relatividad especial (esto con matices). Es decir, que lo que vemos como espaciotiempo dinámico no es más que distintos intercambios de gravitones. Sin embargo, la teoría no puede ser correcta porque aparecen esos infinitos famosos que tienen las teorías cuánticas de campos y no se pueden eliminar por los procedimientos conocidos como renormalización.

      Además hemos de decir que esta visión de la gravedad tiene otros problemas tanto técnicos como conceptuales que trataremos a su debido tiempo. Pero teoría de cuerdas dice dar una descripción de la gravedad en términos de gravitones, sin embargo esto también es cuestionable.

      Espero haber ayudado algo o al menos haber preparado el camino para una entrada, gracias por la idea.

      Un saludo

  3. Pingback: Guerra y Ciencia. Karl Schwarzschild | Cuentos Cuánticos

  4. Nada más enhorabuena por haberte terminado el libro de Friedman que recomiendas. Yo no pude, eso que tiene muy buena pinta, pero se me hizo un poco lento y la notación me mataba. Debería darle otra oportunidad entonces, ¿no?
    Me interesan bastante los enfoques al espacio tiempo como el de Friedman. Si tienes alguna otra sugerencia tal vez podríamos abrir un hilo en el foro.
    Un saludo.

    • Sí, la notación es bastante matemática y si no estás habituado al formalismo matemático puro de la geometría diferencial se hace un poco duro de digerir. Pero el libro es muy muy bueno.

      Yo recomendaría un librito de Crish Isham: Modern Differential Geometry for Physicists

      Es un librito corto pero absolutamente bien explicado y muy bien organizado. Es una excelente introducción a la geometría diferencial para la física y el estilo de Isham es, sin lugar a dudas, delicioso.

      • No es la geometría diferencial lo que me echaba para atrás, sino el lenguaje más filosófico. No tengo el libro delante y no puedo sacar ejemplos, pero me refiero al tipo de definiciones que introduce.
        De hecho, respecto de la notación matemática, no me gustaba mucho tampoco que utilizara tanto lenguaje de coordenadas, en lugar de objetos geométricos intrínsecos (sin índices para entendernos), porque buena parte de mis quebraderos de cabeza con invarianzas, covarianzas y demás venían por un enfoque demasiado basado en coordenadas.
        Hablando de Isham, ¿qué te parecen sus últimas andanzas con teoría de topos y demás?

        • Ah, sí, jajajajajajajaja, las discusiones filosóficas había que digerirlas bien. Y bueno, yo cuando veo muchos índices me pongo en modo índices abstractos y tiro para adelante, a no ser que la fórmula no sea covariante y sólo valga en determinado sistema de coordenadas que por lo general suele ser evidente.

          En mi opinión, a estas alturas, Isham puede hacer lo que le plazca, topos, marmotas o jabalíes 😛 . Pero sí, los topos son pelín abstractos, aunque la idea es muy atractiva desde el punto de vista conceptual a nivel de hacer cálculos todavía no le he visto la utilidad. La cuestión es que es una generalización muy fuerte de la teoría de categorías y funtores, o eso he entendido, la verdad es que nunca le he prestado mucha atención, aunque tengo algunos conocidos que controlan bastante, les preguntaré a ver que dicen.

      • That’s a smart answer to a tricky qustoien

  5. Muchas gracias, me ayudo a despejar las dudas que tenia

    • Un placer, para cualquier cosa, ya sabes… aquí estamos…

      Por cierto ¿cómo terminaste con lo del reto matemático? ¿reprodujiste todos los cálculos?

      • Si, llegue al final sin problemas despues de la ayuda que me dieron en el foro. En total fueron 5 hojas en blanco para reproducirlo todo con todas sus deducciones, me resulto bastante entretenido.

        Van a haber mas retos en el futuro?

        • Seguro que sí habrá más retos.

          Además la semana que viene verás que el reto que has seguido tiene mucha miga y por supuesto mucho significado en física. Digamos que has seguido una explicación que generalmente se estudia en los últimos años de licenciatura o en un master (con el nuevo plan) de física teórica. Ya verás 😉

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