De aquí a allí, infinitas trayectorias… ¿qué chulo no?


Cuando uno abre un libro de divulgación que trata sobre la mecánica cuántica es casi inevitable encontrar eso de:

En la mecánica cuántica hay que contar con todas las trayectorias posibles para ir de un punto al otro.

Esta es la base de la formulación de Richard Feynman de la mecánica cuántica.  Sin embargo, esta idea no es única de la mecánica cuántica.  Ya en la clásica aparece este concepto.  Por supuesto hay matices entre las visiones clásica y cuántica.  En esta entrada procuraremos dar una imagen sencilla de todo esto a nivel clásico.  Más adelante ampliaremos esto al caso cuántico, que es muy sorprendente.

Pero antes de ir a la cuántica debemos de entender que esto ya tiene origen en el mundo clásico y ahí vamos…

De aquí a allí, la visión clásica

Supongamos que queremos ir de un punto (aquí) hasta otro punto (allí).  En principio todas las curvas que pueden conectar esos dos puntos son aceptables.

La posición en el tiempo que generalmente la identificamos por x(t) ahora la identificaremos por q(t).  Esto es porque lo que entendemos por posiciones en realidad se puede generalizar, podemos usar ángulos, distancias, etc para describir la posición de un sistema.  Por ejemplo en un péndulo usamos preferentemente ángulos.  Esta q(t) es lo que se conoce como coordenadas generalizadas, pero no tienen mucho misterio.

Pero el tema está en que para ir de aquí a allí, en los fenómenos físicos, las partículas siguen una única trayectoria, no todas ni una extravagante o extraña.

¿Qué selecciona la trayectoria física que sigue una determinada partícula?

Esta es una pregunta muy interesante, porque es un problema de los gordos.  Si en principio tenemos infinitas posibles trayectorias y la naturaleza selecciona una de ellas, nosotros tenemos que descubrir cómo se las apaña para hacer eso.

Y la respuesta está en… ¿preparados?….

LA ENERGÍA

Sí, otra vez, como ya vimos en la entrada sobre el secreto de la energía, la energía encierra mucho más de lo que parece a primera vista.

Ya definimos el tema del Hamiltoniano, en la entrada mencionada, que consistía en una suma de la energía cinética K y la energía potencial V de un sistema:

H=K+V

Ahora podemos ser espectacularmente originales y formar otra combinación, ¿la adivináis?… Vamos a restar la Energía Cinética y la Energía Potencial de la partícula que estamos estudiando.

L=K-V

Dado que esta combinación sale una y otra vez se le pone un nombre:  El Lagrangiano.

Y ahora el procedimiento para saber qué trayectoria es la trayectoria real es supersencillo y rápido:

  • Calculamos el valor del Lagrangiano en todos los puntos de una curva que conecte los puntos aquí y allí y sumamos sus valores. Eso nos da un número. A este resultado lo llamaremos acción, ahora volveremos sobre él.
  • Y volvemos a repetir el proceso para todas las posibles curvas.  Es decir, cada curva tiene un valor para la acción.
Por lo visto no parece tan corto el procedimiento. Tenemos que hacer infinitas sumas de los infinitos valores del Lagrangiano en cada curva (hay infinitos puntos en una curva y tenemos que calcular posición y velocidad de la partícula en cada uno de ellos).  Y luego tenemos que calcular el valor de la acción obtenido para las infinitas curvas posibles.  Un jaleo vamos!!
Afortunadamente los matemáticos nos proveen de un mecanismo para hacer eso de manera simple.  Y es haciendo integrales.
S(q_{aqui},q_{alli})=\int_{t_i}^{t_f}L(v(t),q(t))dq(t)
Describamos esta expresión:
  1. q(t) representa una trayectoria.  Una trayectoria completa.
  2. v(t) es la velocidad en cada punto de cada trayectoria.
  3. dq(t) es la variación de la posición en una trayectoria dada, entre dos puntos fijos dados.  

                  4.  L(v(t),q(t))  Es el valor del Lagrangiano para cada punto de una                         trayectoria dada.
                  5.  El símbolo  \int_{t_i}^{t_f} es lo que te dice que estamos sumando todos los puntos en cada trayectoria y para cada trayectoria  entre los instantes inicial y final.  Y eso equivale a entre todos los  puntos entre q(t_i) y q(t_f) que son nuestro aquí y  nuestro allí.
Con esto podemos calcular todas las cosas enumeradas anteriormente.
A la cantidad obtenida se la denomina ACCIÓN  representada por $latex S(q_i,q_f)$.  Cada curva tiene un valor de la acción.
Ahora la clave está en un secreto:
La trayectoria física es aquella que hace que el valor de la acción sea el mínimo de entre todas las posibles trayectorias.
Por eso, se suele decir que para calcular la trayectoria física hay que calcular el mínimo de la acción.  Sin embargo hemos de explicar algo, depende de la situación la trayectoria física puede ser aquella de valor mínimo para la acción o de valor máximo.  Eso es lo que los físicos y matemáticos llaman un valor extremal (máximo o mínimo). Ya entraremos en más detalles sobre esto, pero baste decir que en relatividad general, las soluciones físicas de la teoría son un máximo de la acción y no un mínimo.  Pero tiempo al tiempo…
Esperamos haber podido transmitir un poco de la belleza de este asunto.
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2 Respuestas a “De aquí a allí, infinitas trayectorias… ¿qué chulo no?

  1. Pingback: Yo confieso. Mis problemas con el principio de acción. | Cuentos Cuánticos

  2. Pingback: La perversión de Feynman | Cuentos Cuánticos

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