Preparando el terreno para Einstein, Podolsky y Rosen


Se habla mucho de la “paradoja” EPR (Einstein, Podolsky y Rosen), de su relación con los estados entrelazados y de la teleportación (que no teletransporte).  Como el compañero Arsemex ha sugerido en un comentario que tratemos el tema del teletransporte vamos a empezar por el principio.  Vamos a intentar discutir el argumento de Einstein, Podolsky y Rosen (en lo que sigue EPR) para mostrar qué es lo que significa de verdad. Y para hacer eso necesitamos introducir algunos elementos previos para que luego la discusión sea mucho más sencilla.

Einstein tenía en mente que todo objeto (conceptualmente hablando) de una teoría física tenía que tener una correspondencia con el mundo físico.  Es decir, que si una teoría definía la posición de una partícula, eso habría de corresponder con algo medible en todos los casos.  Es decir que representara un aspecto de la realidad física de la partícula descrita por dicha teoría.  Igual pasaría con su momento, su espín, etc.

Sin embargo, Einstein estaba un poco molesto con la cosa de que la mecánica cuántica no parece seguir este argumento. Así que Einstein estudió esto con dos amigos Podolsky y Rosen. Y escribieron un artículo donde concluían lo que vamos a exponer en las siguientes entradas.  Pero antes de empezar a destripar este argumento EPR y temas relacionados hemos de revisar ciertas características de la mecánica cuántica que serán esenciales para lo que sigue.

Espín y cantidades conservadas

Las leyes de conservación son algo que todo el mundo he encontrado aquí y allí cuando hablamos de física.  El ejemplo más característico es la energía, en los procesos físicos la cantidad inicial de un sistema se mantiene constante aunque haya transformaciones de energías y distintas distribuciones de las mismas.  Lo interesante que la energía total inicial y final son las mismas.

Ahora bien, hay otras cantidades conservadas, y la que nos interesa aquí es el espín.  Ya comentamos en la entrada sobre bosones y fermiones lo que era el espín y luego daremos más información.  Aquí, en este apartado, diremos simplemente que es una cantidad conservada.  Es decir, en un proceso físico el espín total inicial y final es el mismo.

Esto es muy importante para nosotros porque el argumento EPR fue traducido a un ejemplo con espines por Bohm y es la forma más fácil de entender todo esto.

Cuando hablamos del espín de una teoría en realidad siempre hablamos de dos cosas, una determina el valor absoluto del espín, se representa por S y la otra se denomina tercera componente, y se representa por S_z.

Existe una relación entre los valores de S y los posibles valores de S_z.

Si S=1/2 –> S_z puede valer -1/2 o +1/2 (todos estos valores están multiplicados por la constante de Planck que no pondremos por no sobrecargar la escritura.  En la figura se ve reflejado este hecho)

El electrón tiene un espín de 1/2. Sus proyecciones en el eje Z serán de +1/2 y de -1/2.

Si S=1 –> S_z puede valer -1,0 ó +1
Si S=3/2 –> S_z puede valer -3/2, -1/2, +1/2 ó +3/2

– Es decir, S_z tomará valores entre -S,\dots ,S en saltos de 1.

Ahora imaginemos que tenemos en un punto una partícula de espín 0, por tanto su tercera componente valdrá 0 únicamente.

Esa partícula se descompone en dos partículas de espín S=1/2.  Para que el espín se conserve las terceras componentes de las mismas han de verificar que sumen 0.  Como el momento (p=mv) también se conserva, dado que la partícula inicial estaba en reposo su momento total es nulo (P=0) las partículas resultantes de la descomposición saldrán despedidas en direcciones opuestas una con momentos opuestos p y -p.  Así el momento inicial y final es igual P=p-p=0.

Por tanto si luego medimos la tercera componente del espín, cuando las partículas están alejadas, una de las partículas saldrá con S_z=-1/2 y la otra S_z=-1/2, por conservación del espín (usualmente esto se representa con una flechita apuntando hacia arriba (+1/2) o una flechita apuntando hacia abajo (-1/2).  Pero no sabremos cual lleva cual hasta que no midamos.  Es decir, en principio hasta que no medimos el espín de cada partícula no está determinado.

Alice an Bob hacen referencia a dos observadores (A y B) separados.

Indeterminación

Bueno, ya sabemos que Heisenberg enunció el famosísimo principio de indeterminación.  Este principio establece que hay pares de magnitudes físicas que no tienen valores determinados en los sistemas físicos simultáneamente.  Es decir, si tenemos dos magnitudes (A y B) que verifican el principio de indeterminación el sistema físico no tiene valores determinados para las magnitudes físicas correspondientes si la intentamos medir simultáneamente.

Las más famosas de estas magnitudes son la posición y el momento.  Es muy famoso eso de que si medimos la posición de una partícula no sabemos que velocidad (momento) tiene y viceversa, si mido su momento no sé su posición.

¿Por qué hay pares de magnitudes que verifican este principio de indeterminación?  La respuesta es simple, recomendamos leer los minicursos relacionados con la cuántica (están justamente arriba en el apartado minicursos), las magnitudes físicas observables vienen representadas en mecánica cuántica por operadores.  Y tenemos definida una operación ente operadores que se llama el conmutador. La posición y el momento verifican:  [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar es decir, no conmutan.  Dos operadores se dicen que conmutar cuando su conmutador da 0. Y esta es la razón por la que no pueden ser medidos simultáneamente.

Así pues, todas aquellas magnitudes tales que los operadores que las representan no conmuten verficaran el principio de indeterminación de Heisenberg.

Una aclaración importante es la siguiente, el principio de indeterminación no está relacionado con nuestras capacidades técnicas.  Es decir, no es un problema de hacer mejores y más precisos experimentos para poder medir esas cosas simultáneamente.  Lo que nos dice el principio es que sencillamente no están determinadas a la vez.  La naturaleza es así de puñetera.

Espín e indeterminación

La cosa de la indeterminación tiene su miga, estudiemos el espín un poco mejor.  El espín es un vector con tres componentes \vec{S}=(S_x,S_y,S_z).  Usualmente cuando tenemos un vector lo determinamos dando sus tres componentes. Y también puedo calcular el módulo de dicho vector:

S^2=S_x^2+S_y^2+S_z^2

Pero la cuántica de nuevo nos vuelve a mostrar que nuestras ideas clásicas no son universalmente válidas para la naturaleza.

Si quiero estudiar cuánticamente el espín tengo que introducir los correspondientes operadores.  Uno por cada componente del espín (\hat{S_x},\hat{S_y},\hat{S_z}) y uno por el módulo \hat{S}^2.

Como operadores que son tenemos que calcular su conmutador y ver si conmutan o no. Calculemos el conmutador del cuadrado del espín con cada una de las componentes (no daremos todos los pasos, si alguno está interesado podemos dar todos los detalles):

[\hat{S}^2,\hat{S}_x]=0

[\hat{S}^2,\hat{S}_y]=0

[\hat{S}^2,\hat{S}_z]=0

Eso quiere decir que podemos dar el módulo del vector de espín y una de las componentes (x,y o z) ya que conmutan entre sí.

Ahora si calculamos el conmutador entre las componentes entre sí encontramos:

[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar \hat{S}_z

[\hat{S}_y,\hat{S}_z]=i\hbar \hat{S}_x

[\hat{S}_z,\hat{S}_x]=i\hbar \hat{S}_y

Aquí lo importante es que dos componentes cualquiera no conmutan, es decir, que no podemos determinar las tres componentes del vector simultáneamente.

Por lo tanto, únicamente podemos determinar el módulo del vector espín \hat{S}^2 y una sola de las componentes y generalmente tomamos la tercera componente (en el eje Z) \hat{S}_z.

El módulo \hat{S}^2 es el que determina el valor S del espín, que es 0, 1/2, 1, 3/2,…  y la tercera componente \hat{S}_znos determina el valor de la tercera componente del espín S_z que toma valores desde -S hasta S en pasos de uno, como hemos explicado antes.

Ultimas anotaciones

Aquí hemos querido poner de manifiesto ciertas características cuánticas que emplearemos extensamente en nuestra discusión del artículo EPR, del entrelazamiento de estados cuánticos, del teorema de Bell y por último del teleporte cuántico (todos los temas relacionados entre sí).

Hemos decidido hacer esta discusión porque muchas de las veces que se habla de estos temas a nivel divulgativo se introducen muchos conceptos que son un poco oscuros.  Los que tienen formación en física cuántica pueden entender lo que hay detrás de las analogías e imagenes divulgativas, pero por lo general no queda claro para los no expertos.  Por eso hemos querido empezar desde la base, explicando esto de la indeterminación y las particularidades del espín.  Esperamos que os haya resultado interesante.

Cualquier duda, comentario o crítica, ya sabéis…

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6 Respuestas a “Preparando el terreno para Einstein, Podolsky y Rosen

  1. Hola! Cuando hablas de una partícula de spin 0, que se descompone en 2 de spin 1/2, al medir la tercera componente del spin una deberia ser positiva mientras que la otra negativa, verdad?

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  5. Voy a leerme todo el blog entero que todavia estoy muy verde, y luego releere este post, muchas gracias por aclarar mis dudas.
    Un saludo!!

  6. Pingback: Elemental querida Partícula | Cuentos Cuánticos

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