Entre el amor y el odio. Cuántica y Relatividad (Especial claro ;) )


Hay cierta confusión acerca de si la mecánica cuántica y la relatividad especial son compatibles.  En esta entrada vamos a ver que sí lo son pero no en la forma en la que uno esperaba.

La ecuación de Schrödinger

Como hemos visto en otras entradas () para estudiar como evoluciona en el tiempo un sistema cuántico no relativista (y aquí por no relativista nos referimos a que no sigue la relatividad especial, porque la relatividad Galileana sí que la sigue, recordemos que toda la física es relativista en uno u otro sentido) empleamos la ecuación de Schrödinger.

\hat{H}\psi(\vec{r},t)=\hat{E}\psi(\vec{r},t)

La ecuación de Schrödinger no es más que el Hamiltoniano traducido a las correspondientes variables cuánticas que representan las magnitudes que podemos medir, los observables.

Clásicamente el Hamiltoniano es la suma de la energía cinética más la energía potencial que tiene el sistema cuántico bajo estudio, para fijar ideas una partícula.

La energía cinética de una partícula de masa m es:

K=\dfrac{\vec{p}^2}{2m}

Y su energía potencial vendrá dada por una expresión que por ahora supondremos que sólo depende de la posición de la partícula

V(\vec{r})

la forma de este potencial dependerá de la interacción que estemos considerando.

Por lo tanto el Hamiltoniano será:

H=\dfrac{\vec{p}^2}{2m}+V(\vec{r})

que no es más que la energía total:  H=E

Ahora usamos la correspondencia entre las cantidades clásicas y los operadores cuánticos que representan los observables:

\hat{\vec{r}}=\left(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\right)

Las posiciones actúan multiplicando el estado cuántico (representado por la función de onda \psi(\vec{r},t) por su posición:

\hat{\vec{r}}\psi(\vec{r},t)=\vec{r}\psi(\vec{r},t)

El momento clásico, no relativista:

\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)=(mv_x,mv_y,mv_z)

Se traduce por:

\hat{\vec{p}}=(\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z)

Esto actúa derivando el estado cuántico representado por la función de onda \psi(\vec{r},t) respecto a la coordenada indicada:

\hat{p}_x=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}
\hat{p}_y=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}
\hat{p}_z=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}

Si agrupamos, tenemos lo siguiente:

\hat{\vec{p}}=(-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}, -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}, -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z})

Por no escribir mucho nos inventamos una notación para simplificar esto:

\hat{\vec{p}}=-i\hbar\nabla

Por lo tanto la energía cinética será:

\hat{K}=\dfrac{\hat{\vec{p}^2}}{2m}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2

Donde \nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}

Por último la energía total clásica E cuánticamente es:  \hat{E}=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}.

Poniendo esto todo junto en la ecuación de Schrödinger:

\hat{H}\psi(\vec{r},t)=\hat{E}\psi(\vec{r},t)

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r},t)+V(\vec{r})\psi(\vec{r},t)=i\hbar\dfrac{\partial\psi(\vec{r},t)}{\partial t}

Y llegó la relatividad

Ahora en vez de tomar la ecuación de la energía total como suma de la energía cinética más la potencial, tomemos la relación relativista de la energía:

E^2=m^2c^4+\vec{p}^2c^2

Haciendo las sustituciones anteriores:
-\hbar^2 c^2 \nabla^2\psi+m^2 c^2\psi=-\hbar^2\dfrac{\partial^2\psi}{\partial t^2}

Aquí estamos en relatividad, así que las coordenadas espaciales y temporales están en pie de igualdad.  Podríamos agrupar por tanto la cosa de esta forma:

\left(-\hbar^2\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}+\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi + m^2c^4\psi=0

La cantidad \left(-\hbar^2\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}+\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\hbar^2c^2\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\right) la denotamos por \partial^2  con lo que queda:

\partial^2 \psi +m^2c^4\psi =0

Esta es la conocida como la ecuación de Klein-Gordon.  De hecho esta es la ecuación más evidente para unir la cuántica con la relatividad especial.  Lo curioso es que históricamente Schrödinger llegó a esta ecuación antes que a la que lleva su nombre pero debido a ciertos problemillas de interpretación no se decidió a publicarla.

Problemas de interpretación.

El problema con la ecuación de Klein-Gordon es que dado un estado cuántico de una única partícula representado por una función de onda \psi(t,x,y,z) la energía de dicha partícula será:

E=\pm\sqrt{m^2c^4+\vec{p}^2c^2}

Es decir, la partícula tendría energía positiva o negativa.  Uno podría decir, bueno pues las energías negativas no las consideramos, es simplemente una solución matemática pero que no tiene sentido físico.  Sin embargo esta postura no es adecuada por diversos motivos:

Para que la teoría cuántica tenga sentido hemos de aceptar ambas soluciones.  Si no consideramos las soluciones con energías negativas perdemos la posibilidad de resolver la ecuación de Klein-Gordon.
Sin embargo, la energía de las partículas que nos rodean siempre son positivas.  Así que tenemos un problema gordo a la hora de aceptar dichas energías negativas.
Además una teoría con energías negativas es fundamentalmente inestable.  Una teoría ha de tener un mínimo de energía. ¿Por qué?  Porque los sistemas tienden a ir a su estado de menor energía, pero si permitimos energías negativas, no tenemos tal mínimo.  Un sistema podría empezar a ir de un estado de energía E a estados de energía cada vez menor.  Pero recordemos que cuando pasamos de un estado de energía E a un estado de energía E’, E>E’, la diferencia de energía se emite en forma de radiación E-E’.  Si la partícula cada vez pasa a un estado de menor energía veríamos una emisión continua y sin final de energía por todos lados, de hecho moriríamos abrasados (no moriríamos porque la vida no sería posible ;)).

El problema es la soledad.

Este problema en realidad no es tal, evidentemente, nuestro universo no es así.  ¿Entonces esto quiere decir que la relatividad especial y la cuántica no son compatibles?  En absoluto, el problema es simplemente interpretativo.

Estamos pensando en una partícula descrita por la ecuación de Klein-Gordon.  Esta ecuación combina la relatividad especial y la teoría cuántica, y por tanto dicha partícula se está moviendo a velocidades cercanas a la de la luz en el vacío.  Pero claro, resulta que aquí entra en juego la famosa ecuación:

E=mc^2

Esta ecuación representa una equivalencia (más que una igualdad).  Es decir, la masa de una partícula no es más que otra forma de energía y por tanto uno puede transformar energía en masa (transformación de energía) igual que podemos transformar energía cinética en calor o en energía potencial.  Sin simplemente transformaciones de energía en distintos formatos.
Entonces resulta que si la partícula alcanza el régimen de velocidades relativistas puede tener la suficiente energía como para crear (sí, crear literalmente) nuevas partículas siempre que se respeten las leyes de conservación (energía, momento, carga, etc).  Por lo tanto, la ecuación de Klein-Gordon no puede describir una única partícula.  De hecho, lo que describe tal ecuación es un campo (una característica que toma un valor en cada punto del espaciotiempo) y que puede tener excitaciones que se presentan como partículas (recordemos que en este contexto una partícula es algo con masa definida, carga definida y espín definido, no es una pelotita).

Y si uno toma este punto de vista, las “energías negativas” no son tales.  Los estados que parecen tener “energías negativas” en realidad representan antipartículas.  En virtud de lo anteriormente comentado, podemos crear partículas, pero pueden ser de materia o de antimateria y resulta que el signo ese que nos traía de cabeza simplemente nos dice si estamos hablando de una partícula de materia o de antimateria.  Y así, se resuelve el problema.

Así que, una de las cosas más asombrosas de la unión entre relatividad especial y teoría cuántica es que:

No podemos hablar de una única partícula sino que tenemos que pensar en términos de campos.  Lo cual nos lleva a la teoría cuántica de campos.
Para que la teoría sea consistente hemos de aceptar la existencia de antimateria.

Esperamos haber podido explicar el inicio, la necesidad y el origen de la teoría cuántica de campos, que es el marco donde conviven los principios de la relatividad especial y la cuántica.  Eso nos lleva a que existe la antimateria (que se puede considerar un producto relativista) y que en esos niveles no podemos hablar de una única partícula.

Nos seguimos leyendo…

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14 Respuestas a “Entre el amor y el odio. Cuántica y Relatividad (Especial claro ;) )

  1. cienciayarteengeneral

    Creo que hay un signo equivocado:
    h^2*d^2*fi/dt^2 – h^2*c^2*Nabla^2*fi + m^2*c^4*fi = 0

  2. Pingback: Cuántica y Relatividad | Ciencia y Arte

  3. Pingback: Partículas, una persistente ilusión | Cuentos Cuánticos

  4. …análisis de los GRB polarizados están demostrando que no existe tal gravedad quántica. Es increíble que en tan poco tiempo las físicas paramétrica tengan que correr sus fronteras a nuevos limites para sostenerse y esto esta empezando.
    La relatividad especial, es eso; un limite especial de la TRG, de la cual se deduce. Al ser único el universo es por lo que no pueden haber dos teorías generales para el, ni los candidatos a unificarlas o hacerlas sus subconjuntos, depender de tantos parámetros dudosos, el universo es un hecho, y su estabilidad leyes; no un montón de suposiciones. El universo es amigable no porque podemos vivir en el ¡ni un niño…! sino físicamente hablando, porque podemos predecir a través de analices como los espectrales cual es su constitución, sin tener que esperar por ir y tocarlos, además casi todos sus constituyentes existen, los reproducimos, usamos, aquí en la tierra; los tocamos (Ver el polvo que trajo la sonda Hayabusa blog de Francis…).
    Le explico como podría ser no amigable el universo. El universo no seria amigable si todos los constituyentes de la tierra fueran como son hoy en día y si lo que vemos y no vemos halla afuera estuviera constituido por 92 átomos de diferentes materias y energías oscuras, (tan famosa y gastadora de dólares), mas una física paramétrica, con mas de 20 parámetros dudosos, para describirla si es que llegamos a entenderla, porque para eso tendríamos que tocar con nuestras manos y laboratorio cada rincón del universo, y conocemos las dificultades que tiene el hombre para viajar fuera de su escafandra terrestre, creo que nunca podríamos conocer mucho de lo poquito que hoy conoceríamos si para eso tuviéramos que tocar cada punto del universo. Recemos para que el universo siga siendo único, amigable, no cambie sus credenciales y toda su complejidad mas elemental que unos 20 aminoácidos.

    • En todo caso lo que están demostrando los estudios de GRB’s es que no hay una rotura Lorentz que implique distintas relaciones de dispersión (pedestremente hablando, distintas velocidades) para distintos colores de fotones, es decir, para distintas frecuencias.

      La cuestión de rotura Lorentz es delicada, porque muchos dicen que una teoría de gravedad cuántica ha de violar dicha simetría (es decir que la relatividad especial no es exácta). Sin embargo, aunque puede ser natural dicha postura aún no hay resultados concluyentes al respecto. Y de todas formas hay muchas formas de romper la simetría desde forma exacta hasta de forma efectiva. Con lo cual, la gravedad cuántica no está en absoluto descartada.

      Afortunadamente el universo es amigable en el sentido que dices, y eso es así porque la física es la misma para todo el mundo, da igual dónde esté y cuándo mire al universo. De hecho, como hemos explicado brevemente en este blog eso es lo que proporciona la posibilidad de encontrar cantidades conservadas que son las que nos permiten estudiar los procesos físicos.

      Un saludo y gracias por el comentario.

  5. Para mí hay un problema de principio matemático en el trato de toda raíz. Por lógica, la raíz, como toda operación concreta, simple y directa, da un único resultado. En lo que hay que profundizar es en el significado de la signación cuando entramos en la pérdida de referencias, que es lo que ocurre con la raíz de un signo.

    En este caso también. Y es ese resultado el que describe el campo. El campo carece de referencia alguna desde la que signar su energía.

    Mi opinión personal es que también la Relatividad debe tomarse como una estructura matemática y geométrica de naturaleza compleja.
    Es verdad que se basa en valores relativos a referencias definidas; pero este marco desaparece cuando aplicamos fórmulas referidas a valores entre Sistemas Referenciales Inerciales, incluso vamos más allá cuando tratamos con momentos.

    Al margen de esto, está el hecho de que la Relatividad Especial no representa la realidad de los sucesos mecánicos en un marco espaciotemporal. Solo nos muestra las propiedades del tejido de dicho marco, pero no su dinámica de cambio, no representa las propiedades de esa dinámica de cambio en la que entra en juego el intercambio y transformación de energía y de Estados de las referencias.
    Estudiar esta dinámica en un marco espaciotemporal con valores concretos y referencias concretas llevó a la Relatividad General. Y hoy por hoy, y con estas matemáticas, no se pueden conciliar la RG y la MQ. Al menos es mi opinión.

    Gracias por el artículo, y por el blog.

    Saludos.

    • Muchas gracias por el comentario.

      No entiendo eso de la raiz: Si tu me dices cuál es la raíz cuadrada de 4 está claro que puede ser 2 (2*2) o puede ser -2 (-2*-2). Así que no hay ningún problema para que te de dos signos posibles. Tampoco entiendo eso de la pérdida de las referencias, la raíz de 1 está bien definida y la raíz de -1 también, no sé de qué referencias hablas.

      Como se dice en el post, el problema de los signos no es tal, cuando uno interpreta la cosa como una teoría de campos únicamente tiene energías positivas de manera natural, el que se obtengan de forma naiv dos signos es por un malentendido del formalismo, a día de hoy eso está superado y no tenemos ese problema.

      Sobre si se puede unir Relatividad General y Teoría Cuántica la respuesta es que sí, se puede, pero nadie dijo que fuera fácil. Como tú dices la matemática es un problema, pero así nos divertimos más y nos inventamos nueva matemática. Nadie dijo que fuera directo pero no hay ni una sola prueba de que no se puedan unir teóricamente. De hecho hay varias formas posibles de unirlas, unas más desarrolladas que otras a nivel teórico. Lo que pasa es que aún no podemos dilucidar cuál es la mejor forma porque ni están terminadas las distintas teorías de gravedad cuántica ni podemos comprobarlas experimentalmente.

      Un saludo.

      • Me refiero a que la raíz cuadrada de 4 debería ser (+ -)2 como único resultado, no +2 o -2; entendiendo que (+ -) representa un signo fuera de las opciones + y -, al igual que lo hace “i”.

        Respecto a las referencias se entiende fácil con un ejemplo geométrico. Si tomas una referencia 0 como centro de eje de coordenadas de un espacio, puedes concretar para cada coordenada una métrica que te dé diferenciales y módulos positivo o negativo dependiendo del sentido del vector o vectores. Para definir un “sentido” debemos compararlo tomando un sentido o vector unidad como referencia y desde un sistema concreto.
        Pero la comparación es unicamente unidireccional. Las raíces de cualquier nº son valores fuera de la recta con la que podríamos representar dicho nº, debido a que el sentido del valor resultante, no sería ninguno de los dos posibles a aplicar en dicha recta. Nos salimos del marco.
        Y creo que esto es general para todo tipo de raíces y de manera abstracta.

        No creo que el campo tenga energías negativas, pero tampoco positivas, si no que se definen las características de su energía en referencias o partículas interaccionando, pero no como campo.

        Podría argumentar largo y tendido respecto a que las raíces deberían tener un único resultado posible y como esto ayudaría bastante a reinterpretar la Relatividad y así entender mejor el espaciotiempo. También creo que sería el camino para unificar RG y MQ; pero igualmente, me puedo estar equivocando en la base de mis argumentos y ser todo un sin sentido, aunque yo no lo vea así.

        Solo lo dejo caer y animo a geómetras que se lo cuestionen.

        • No entiendo eso de que “la raíz cuadrada de 4 debería ser (+-)2 como único resultado”.

          La definición de los conjuntos numéricos es consistente y está bien construida. Y esto no es cuestión de que deba de ser una cosa u otra es que está construido de esta forma y no de otra. Y lo mágico es que funciona perfectamente en la construcción de las teorías físicas, químicas, económicas, etc. Uno no puede introducir un signo, los signos están vinculados al comportamiento de los elementos de los conjuntos numéricos respecto de determinadas operaciones, no es un capricho, en cierto sentido es una necesidad.

          Lo de la métrica dependiendo del sentido de vectores que de resultados negativos o positivos tampoco lo entiendo. La métrica da cosas positivas o negativas en función de cómo actúa sobre módulos de vectores y no sobre sentidos.

          Lamentándolo mucho no podemos ni estar de acuerdo ni en contra de lo que dices porque no entendemos a qué te refieres. ¿Podrías reformular tu comentario en términos matemáticos más usuales?

          • …………..
            Dices Cuentos Cuánticos: “No entiendo eso de que “la raíz cuadrada de 4 debería ser (+-)2 como único resultado”.”
            …………..

            Es muy sencillo. Se trata de literalmente eso, al igual que (+2)^2=+4, (-2)^2=+4, ([+ -]2)^2=+4, y ([+ -]2·i)^2=-4. En el caso de “la raíz de…”, sin más, no tenemos historial del proceso; con lo que solo deberíamos asumir un resultado que valide simultáneamente las dos opciones primeras (+) y (-) en una común (+ -).
            El proceso es muy simple: operando, operador y resultado. Todos ellos únicos en su aridad, así como el resultado. Debemos reconocer que admitir opciones en el resultado es poco exacto.

            …………..
            “La definición de los conjuntos numéricos es consistente y está bien construida. Y esto no es cuestión de que deba de ser una cosa u otra es que está construido de esta forma y no de otra.”
            …………..

            De la misma manera que podría estar construido de muchas otras formas tan, más, y menos consistentes. ¿Por qué cerrarnos caminos por explorar?.

            ………….
            “Y lo mágico es que funciona perfectamente en la construcción de las teorías físicas, químicas, económicas, etc.”
            ………….

            Precisamente en esto es en lo que discrepo.

            …………..
            “Uno no puede introducir un signo, los signos están vinculados al comportamiento de los elementos de los conjuntos numéricos respecto de determinadas operaciones, no es un capricho, en cierto sentido es una necesidad.”
            …………….

            Precisamente por este motivo, sin un marco o historial de una raíz, debe darse la certeza de un único signo que represente la incertidumbre de las opciones + y -.

            ……………
            “Lo de la métrica dependiendo del sentido de vectores que de resultados negativos o positivos tampoco lo entiendo. La métrica da cosas positivas o negativas en función de cómo actúa sobre módulos de vectores y no sobre sentidos.”
            ……………

            Yo no creo que sea estrictamente así. Puedes representar el vector con sus características intrínsecas, sin un Sistema Coordenado con su métrica en el que desdoblarlo en sus componentes con módulo y sentido (signo comparado con el vector unidad de dicha coordenada) definidos para cada coordenada a tomar como referencia geométrica.

            ¿Qué signo tiene el módulo de un vector libre de todo marco referencial?. Sin comparar su orientación no podemos concretar en él un signo.

            …………..
            “Lamentándolo mucho no podemos ni estar de acuerdo ni en contra de lo que dices porque no entendemos a qué te refieres. ¿Podrías reformular tu comentario en términos matemáticos más usuales?”
            …………..

            No sé si sería capaz, y menos ahora que estoy en fiestas patronales y esto mismo lo he razonado con un positivo no despreciable de alcoholemia. Lo que no quiero que se tome como una falta de respeto a este blog; si no todo lo contrario. He sentido la necesidad imperiosa de no dejar vuestras palabras en el aire a pesar de lo inoportuno del momento.

            Saludos.

  6. El mundo no esta separado ni por dimensiones, ni por velocidades, podemos pasar de las cosas mas chicas que conocemos a las mas grandes casi de forma continua, lo mismo que las velocidades…; y en este paso todo esta concatenado, he interactuando de forma continua, es decir el mundo es único, lo grande esta hecho de lo pequeño… Los análisis espectrales del infinito universo que conocemos nos muestran un universo, amigable en su constitución, y único. Así hasta la persona mas desentendida de lo que le rodea, se da cuenta que es extremadamente insuficiente la conexión entre cuántica y relatividad. Si las dibujamos en un papel como dos círculos y dentro ponemos todo lo que les pertenece, veremos dos grandes conjuntos, u objetos, o mejor operadores que actúan sobre un tercer conjunto, el mundo para revelarnos sus propiedades; pero que se tocan pero no se mezclan, se miran y se dicen: juntas pero no revueltas. Mientras todos los constituyentes del mundo se miran y dicen: juntos y cada día más revueltos. Lo que significa que por más énfasis que hagamos en esos pequeños puntos en los que se tocan las dos teorías esto es insuficiente, nuestro sentido racional nos los esta gritando. Nuestro conocimiento del mundo se multiplicaría por miles si pidiéramos unir esa potencialidad que tienen por separadas, pero al parecer hacer esto de forma natural no es posible y lo que esta surgiendo es una ciencia paramétrica que hasta ahora nunca habían sido las credenciales de la naturaleza. Y pongo como ejemplo lo vivo, su máxima expresión, el hombre y lo mas complejo y misterioso creado por la naturaleza, su conciencia sobre lo que le rodea, hace y transforma…; lo cual le permite hacer cosas que no existen de forma natural, como arte, ciencia, música, política, economía, un auto, un avión…, y ese hombre esta basado en una física-química de pocos ladrillitos.

    • Nadie dice que el mundo esté separado. Pero sí es cierto que hay fenómenos que aparecen en determinados rangos de energías o velocidades y por tanto nuestra forma de describirlos varía. Pero el caso es que las teorías de las que disponemos pasan de “forma” continua de un rango al otro, no hay una compartimentación estricta.

      No hemos entendido eso de que el universo es amigable en su constitución.

      La conexión entre cuántica y relatividad especial no s nada insuficiente, de hecho es una de las teorías más productivas que tenemos y de las mejores confirmadas. La teoría cuántica de campos (mecánica cuántica+relatividad especial) es extremadamente poderosa describiendo la naturaleza en el rango de energías en la que es válida.

      Aquí la teoría cuántica de campos no se ocupa de la conciencia o de la aparición de la vida. De lo que se ocupa es de las interacciones entre partículas consituyentes de la materia y eso lo hace perfectamente y por ahora es la mejor teoría que tenemos para ello.

      En este blog ya hemos dicho que la física ha de emplearse para ayudar a entender la biología pero la teoría cuántica de campos no es para eso. Así que es mejor no mezclar churras con merinas.

      Muchas gracias por tu comentario.

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