Orbitales atómicos, una mentira de instituto


Todos hemos visto las imágenes de los orbitales atómicos. Y siempre se nos ha dicho que estas son las regiones donde hay una probabilidad de más del 90% (o el 99% depende del libro) de encontrar al electron.

Esto es una mentira gorda ;).

En esta entrada trataremos de explicar por qué empleando argumentos fáciles de seguir (vamos a intentarlo).

El átomo de Hidrógeno según la cuántica

Nos centraremos en el átomo más simple de todos, el Hidrógeno. Entenderemos por Hidrógeno en este caso un protón y un electrón que están interactuando eléctricamente.   Un protón tiene una carga positiva y un electrón la misma carga negativa.

Desde el punto de vista del sistema protón-electrón (el protón 2000 veces más pesado que el electrón)  tenemos un potencial del tipo de Coulomb:

V(r)=K\dfrac{q_pq_e}{r}

Este potencial sólo depende de la distancia entre el protón (p) y el electrón (e).  Eso quiere decir que hay simetría esférica, la interacción es la misma en todas las direcciones, sólo influye la distancia.

Una vez determinada la interacción (el potencial) podemos escribir la ecuación de Schrödinger correspondiente.

No entraremos en los detalles, ni tan siquiera escribiremos esta ecuación, de cómo resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.  Baste decir que se puede escribir y que se puede resolver de manera exacta (es una de las pocas que permite resolverla sin aproximaciones).

La clave de la solución es justamente la simetría esférica que tiene el potencial de interacción entre un protón y  un electrón.  Esta simetría hace que las coordenadas adecuadas para describir el átomo de Hidrógeno sean las coordenadas esféricas (para una breve descripción de estas coordenadas leer la entrada de Schwarzschild).

Descripción de la solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno

Bien, cuando resolvemos una ecuación de Schrödinger:

\hat{H}\psi=E\psi

Lo que queremos obtener son las funciones de onda que satisfacen esta ecuación.  En el caso del átomo de Hidrógeno estas funciones de onda dependerán de la distancia del electrón al protón, y de dos ángulos (ya que estamos empleando las coordenadas esféricas).

\psi(r,\theta,\phi)

Entonces pasa lo siguiente:

La energía del átomo de Hidrógeno sólo depende de la distancia entre el protón y el electrón.  No de los ángulos.

Esto se traduce matemáticamente en que la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como el producto de dos partes (funciones).  Una que sólo depende de la distancia y que representaremos por R(r) y otra que depende de los ángulos, que representaremos por Y(\theta,\phi) y que se denominan armónicos esféricos. Entonces la función de onda queda:

\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)

Los números cuánticos

Es muy popular eso de los números cuánticos, y el átomo de Hidrógeno viene descrito por cuatro de dichos números:

(n,l,m,s)

n es el número cuántico que nos dice en qué nivel de energía está el electrón en el átomo.

l,m son los números que nos dicen cómo gira (qué energía tiene debida a la rotación) el electrón en el átomo.

s es el número que nos dice qué orientación tiene el espín del electrón (s=+1/2 ó -1/2)

Además sabemos que hay ciertas relaciones entre dichos números:

  1. n puede ir desde el valor 1 hasta infinito.
  2. l puede ir desde el valor 0 hasta n-1.
  3. m puede tomar cualquier valor entre -l y l en saltos de 1.

Es decir:

Para n=1

l=0 y por tanto m=0

Para n=2

l puede ser  l=0 y m=0

l puede ser l=1 y m puede ser, -1,0,1

Para n=3

l puede ser l=0 y m=0

l puede ser l=1 y m puede ser -1,0,1

l puede ser l=2 y m puede ser -2,-1,0,1,2

Y así sucesivamente.

¿De dónde salen estos números?

Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger con un potencial dado, como en este caso, encontramos que la energía del sistema no puede tomar cualquier valor.  La energía toma un conjunto de valores posibles que se llaman las autoenergías y que generalmente son múltiplos de una cantidad.  En el átomo de Hidrógeno la energía es:

E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}

Es decir, para cada valor de n tenemos un nivel de energía.  Notemos que la energía tiene un signo negativo lo que quiere decir que es una energía de enlace (el electrón y el protón están ligados).  Notemos además que cuando aumentamos n, el cociente disminuye y por lo tanto la energía aumenta (se hace “menos negativa”)

Esta n procede de encontrar la forma de la función R_n(r).  Esta función sólo tiene sentido para valores enteros del parámetro n y además ese número determina esencialmente la energía del átomo.

Igualmente cuando resolvemos la parte angular encontramos las funciones Y_{l,m}(\theta,\phi) que sólo tienen sentido para los valores de l, m mencionados anteriormente.

Forma de las funciones radiales del Hidrógeno

Las funciones R_n(r) se denominan la parte radial de la función de onda del Hidrógeno.  Lo interesante es que siguiendo la idea de Born, el cuadrado de la función de onda nos da la probabilidad de encontrar la partícula que estemos estudiando en una determinada posición.  Por tanto vamos a trabajar con el cuadrado de la parte radial r^2|R_{n,(l)}(r)|^2

Nota:  el factor r^2 se introduce en la probabilidad por razones técnicas, pero su presencia no afecta en absoluto la probabilidad porque al calcular la misma tenemos que usar una expresión del tipo:

\int R_n\times R_n r^2dr

En esta integral siempre aparece la combinación r^2dr que es el diferencial en el radio que nos permite hacer esta operación.  Por tanto, la combinación r^2|R_n(r)|^2 siempre aparece en las probabilidades.

Ahora hemos puesto R_{n,(l)} porque hay cierta contribución energética de la l pero no es relevante para lo que nos ocupa.

Veamos las figuras:

Observemos que para los distintos valores de n y l tenemos que la distancia a la que es más probable encontrar al electrón respecto del protón es mayor conforme aumentamos los valores de estos números cuánticos.

¿Qué es un orbital?

Un orbital es una función de onda con tres valores definidos de los números cuánticos n, l y m:

\psi_{n,l,m}=R_n(r)Y_{l.n}(\theta,\phi)

Eso es lo que es un orbital y no las figuritas que se nos suelen presentar que son otra cosa muy distinta que vamos a ver ahora mismo.

Los nombres de estos bichos

Generalmente le ponemos nombres a las posibles combinaciones de valores (n,l) en el átomo de hidrógeno.

n simplemente se identifica por el valor que tenga, 1,2,3,…

l se representa así:

l=0 –> s

l=1 –> p

l=2 –> d

etc…

Eso quiere decir que si nos están hablando del orbital  1s, nos quieren decir la función de onda con n=1 (y eso nos da la energía), l=0 y por tanto m=0.

Cuando nos dicen el orbital 2s, es la función de onda con n=2, l=0 y m=0.

Cuando nos dicen el orbital 2p, es la función de onda con n=2, l=1 y m=-1,0 ó 1 (el valor de m no determina la energía a no ser que haya un campo magnético aplicado sobre el hidrógeno, por eso no es directamente deducible de la situación usual).

Y así sucesivamente.

Parte angular de la función de onda

Hemos visto que la parte radial de la función de onda nos da la probabilidad de encontrar al electrón en cada distancia respecto al protón.  Pero ahora nos podemos preguntar:

¿Qué probabilidad hay de encontrar al electrón en función de la dirección?

Y la respuesta nos la da el cuadrado de la correspondiente parte angular:

|Y_{l,m}(\theta,\phi)|^2

En esta figura la notación es Y^m_l

¿Cómo se llega a estas cosas?

  1. Pues bien, imaginemos que nos dan la función con l=0 y m=0 (eso es un orbital s).  La función en cuestión (sin factores de normalización para los puristas) es Y_{0,0}=Y^0_0=1.  Eso quiere decir que en cualquier dirección tenemos la misma probabilidad por eso nos da una distribución esférica de la misma.

Si ahora nos da un l=1, m=0, (eso es un orbital tipo p).  La función es:

Y_1^0=Y_{1,0}=cos\theta

Para pintar eso hacemos lo siguiente:

  1. Dibujamos un eje vertical y un eje horizontal.
  2. El ángulo \theta se toma respecto al eje vertical.
  3. Ahora le damos valores y claro está:  El coseno vale +1 como valor máximo para un valor del ángulo \theta=0 es decir sobre el eje vertical en sentido positivo (hacia arriba).  Y el coseno vale -1 como valor mínimo para un valor del ángulo \theta=\pi=180, es decir, sobre el eje vertical en sentido negativo (hacia abajo).
  4. El resto de ángulo tienen valores más pequeños del coseno. (Se puede comprobar con una calculadora)
  5. Vamos poniendo los puntos (a una distancia que nosotros queramos como máxima, da igual la que tomemos). Y obtenemos este perfil:

Esto significa que hay una dirección donde es muy probable encontrar al electrón y que en las restantes la probabilidad va decreciendo.  Vease la diferencia con los orbitales s que tienen la misma probabilidad en todos las direcciones.

El resto se hace igual…

Como conclusión diremos que el concepto de orbital hace referencia a una solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno con tres valores dados de los números n, l, m.  Que la probabilidad nos la dan los cuadrados, y que esos lóbulos tan bonitos no son la probabilidad completa sino tan solo la probabilidad según la dirección.  Para conocer la probabilidad total de encontrar al electrón en un punto del espacio hay que calcular la parte radial y angular.

Así que cuando alguien nos diga que un orbital son esas figuras tan monas y que es donde hay una probabilidad del 99% por ciento de encontrar al electrón… pues ya sabemos que no…

Nos seguimos leyendo…

Por cierto, si quereis jugar con el átomo de hidrógeno, funciones y probabilidades pulsa AQUI

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15 Respuestas a “Orbitales atómicos, una mentira de instituto

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  6. Una imagen habla más que 100 palabras.
    No he visto que se hable de un átomo en cuatro dimensiones.
    Se escribe con la mano y se borra con el codo, luego de todo este razonamiento nadie hace nada por desterrar el átomo concéntrico y tridimensional. Siempre he visto que se sigue con el prejuicio.

  7. Vayamos desde el principio.
    “El concepto de que los electrones se encuentran en órbitas satelitales alrededor del núcleo se ha abandonado en favor de la concepción de una nube de electrones deslocalizados o difusos en el espacio, el cual representa mejor el comportamiento de los electrones…” (wiki)
    El tamaño de un electrón libre, es el mismo que el orbital (del hidrógeno, con igual energía), pero el electrón libre no gira en torno a nada, por conclusión, el que está en el orbital tampoco.
    La nube electrónica del hidrógeno es sólo un electrón y electrón es el orbital, no la pelotita dando vueltas.
    “En el modelo de Schrödinger se abandona la concepción de los electrones como esferas diminutas con carga que giran en torno al núcleo, que es una extrapolación de la experiencia a nivel microscópico hacia las diminutas dimensiones del átomo. En vez de esto, Schrödinger describe a los electrones por medio de una función de onda, el cuadrado de la cual representa la probabilidad de presencia en una región delimitada del espacio. Esta zona de probabilidad se conoce como orbital.” (Wiki)
    Se pensaba que la partícula, tenía forma y una ubicación determinada. Las experiencias en el laboratorio comprueban que las partículas no tienen forma, tienen un estado dinámico, existe una “dualidad onda – partícula”.

    En el modelo de Schrödinger de la partícula, describe un espacio no una órbita. Y no se pueden superponer espacio, finalmente no podemos entender el átomo como en tres dimensiones sino en cuatro.
    Finalmente no sé que tanto estoy diciendo, es una estupidez entender la masa como algo palpable, sino como cualidad de inercia, y está relacionado con la ubicación en la cuarta dimensión. Como decía un viejo profesor: “Su demostración en el espacio de Minkowski es elegante y simple, basada en que la cantidad de movimiento se transforma como las coordenadas (x, y, z) y la energía como el tiempo.”

    Así sin importar si es partícula (electrón o protón), o si es un fotón; su energía será su posición en la cuarta dimensión.

    Esto hace un átomo en cuatro dimensiones que nada tiene que ver con Bohr, y los niveles de energía, son niveles en la cuarta dimensión. Cualquier explicación que no se encuadre en esto, no pode congeniar con la observación, y llegamos a incongruencias e inventos fantásticos, tales como las fuerzas nucleares, o los protones todos igualitos, etc. Que es imposible.

    De donde según la descripción de Schrödinger, la función onda describe la carga, esos son los lugares donde se encuentra la carga, no la pelotita, sino la expansión del espacio.

    ¿Por qué digo la expansión del espacio?

    El fotón es una onda, no necesita de un medio material para propagarse, se propaga por el espacio vacío. Así como una onda de sonido es una contracción-expansión del medio en que se propaga, el fotón es una contracción-expansión del espacio (del mismísimo espacio), razón por la cual entendemos que el espacio se curva, se contrae y expande. La rigidez del medio, da la velocidad de la deformación (velocidad de la onda).
    Esta onda por causa de la contracción del tiempo (velocidad “c”), no se expande, sino que se mantiene como en su origen, como si fuese una “burbuja”, expandida o contraída (del mismo espacio), en cada parte, positiva-negativa de la onda.
    Los fotones se pueden descomponer (no transformarse) en una carga positiva y una negativa (expansión y contracción del espacio) en la creación de pares, lo que conocemos como creación de antipartículas; la masa del resultado, dependerá de la energía de fotón
    El fotón son dos partículas no es una onda continua, sino dos partículas (partícula-antipartícula) como el electrón o el protón, que son también ondas.
    https://sites.google.com/site/desdeelfotonaluniverso/home/particulas-elementales

    Trato de resumir, y pueden quedar cosas oscuras, pero son tan claras como el agua, siempre y cuando abandonemos los prejuicios sin sentido de un átomo como un sistema solar en miniatura.

    • Aquí nadie dice que el átomo sea un sistema solar en miniatura. El átomo es un sistema gobernado por la cuántica y en cuántica no tenemos noción de trayectorias (al menos no en la cuántica estándar). Así que no vemos el sentido de tu crítica por ningún sitio.

      Al resto de tu comentario no le encontramos ningún sentido.

  8. Pingback: ¿Tienes dos minutos? La física con dos tiempos | Cuentos Cuánticos

  9. Como me hubiera gustado saberlo antes para hacer quedar mal a mi profesora de química jeje

  10. Jeje, que sepáis que llevo tiempo dándole vueltas a alguna manera de homenajearos, y tranquilos que la encontraré. Prometida esa caja de dulces que tanto os merecéis 😉

  11. Pingback: De Orbitales atómicos y mentiras de Instituto

  12. Genial el post, de todas formas, tal vez lo recuerde mal, pero creo que a nosotros sí nos explicaron qué era la probabilidad y su dependencia de la dirección, y estuvimos hablando del factor angular, aunque fuese muy por encima. Tampoco es que, pensando en chavales de instituto, esté, la explicación que se les da, muy desencaminada (del modelo de Rutherford a los orbitales electrónicos con ecuación de Schrödinger incluida…, creo que ya se pueden echar un capote!!). ¡Bueno, el caso es que me pongo a compartir como loco, que me ha gustado mucho el artículo y recordar viejos temas!

    • Bueno, los títulos que buscamos generalmente son provocaciones, chistes sin gracia o juegos de palabras que generalmente no son muy inteligentes. Pero vamos que estoy casi seguro de que a mí me dijeron eso… pero no es una crítica al instituto (que también) era simplemente un pié para hablar del tema.

      Un saludo, muchas gracias por el comentario y … queremos un caramelo 🙂

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