Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity I


En el foro se preguntó cómo calcula LQG y cuerdas la entropía de un agujero negro.  En esta entrada vamos a introducir visualmente cuales son los grados de libertad en LQG y en una segunda entrada (para no hacerlo tan largo) hablaremos de cuáles son los grados de libertad microscópicos de un agujero negro según LQG y daremos unas nociones de cómo se efectúa el conteo de los mismos para obtener la entropía.  Así pues esta primera entrada servirá como preparación para el tema y en la segunda remataremos la faena.

El tema de la entropía de agujeros negros ha sido tratado ya en varias ocasiones en el blog, así que recomendamos leer las siguientes entradas para saber por qué un agujero negro tiene entropía y qué implica esto.

Detallitos sobre agujeros negros ¿Frío o Caliente?

Agujeros negros, entropía… esto no puede ser. A lo mejor es un holograma.

Para saber de qué va eso de la entropía:  Tan llevada y tan traída, hablemos de entropía.

Esta entrada está especialmente dedicada a @ricardocosan que ha sido el que ha preguntado por esta interesante cuestión.

Agujeros negros y entropía

Como ya hemos visto en distintas entradas los agujeros negros son objetos que tienen su termodinámica.  En especial son objetos que tienen entropía.  Un agujero negro es una región del espacio donde hay materia/energía que hay colapsado por debajo de su radio de Schwarzschild (aquí hablaremos de agujeros negros sin rotación ni carga, los resultados son generalizables a situaciones más realistas).  Una de las características esenciales de un agujero negro es la presencia de su horizonte de sucesos, esta es la superficie que indica el punto de no retorno a partir de la cual un observador no podría escapar del agujero negro aún moviéndose a la velocidad de la luz.

Como hecho especial, la entropía de los agujeros negros es proporcional al área de su horizonte.  De hecho, Bekenstein y Hawking fueron capaces de calcular dicha entropía y dedujeron (en unidades donde G, c y h toman el valor 1, para los que quieran saber qué significa esto pueden buscar “unidades naturales” en nuestro blog) que el área del agujero negro sería:

S=\dfrac{A}{4}

Donde A es el área del horizonte.

Pero, la entropía representa el número de estados cuánticos microscópicos compatibles con una situación macroscópica dada.  Esto fue explicado en la entrada Tan llevada y tan traída…

Así pues, uno de los primeros test de consistencia de una teoría que se diga de gravedad cuántica es la de calcular esta entropía a partir de contar los estados cuánticos compatibles con un área dada del horizonte.  Por eso, todos los que se dedican a investigar en cualquier propuesta de gravedad cuántica una de las primeras cosas que intentan calcular es la entropía de un agujero negro.

En este caso nos vamos a centrar en la propuesta de gravedad cuántica denominada Loop Quantum Gravity (LQG en lo que sigue, cuya traducción al castellano es “Gravedad Cuántica de Lazos”).  En este blog ya introdujimos esta teoría en una entrada: Gravedad Cuántica de Lazos, la prima fea de la gravedad cuántica.

Loop Quantum Gravity en dibujitos

LQG es una propuesta de teoría de gravedad cuántica.  Y decimos propuesta porque no se puede considerar aún una teoría que describa la gravedad en términos cuánticos ya que no ha pasado por el tamiz de la experiencia y además quedan ciertos problemas técnicos y conceptuales que solucionar dentro del formalismo actual.

Sin embargo, LQG nos proporciona un marco teórico donde estudiar qué pasa cuando unificamos los principios de la Relatividad General (RG) con los de la teoría cuántica.

¿Qué es lo esencial de LQG?

Dejando al margen los aspectos más técnicos diremos que:

1.-  LQG propone una forma de cuantizar la RG.  Recordemos que RG es una teoría que versa sobre la geometría del propio espaciotiempo, así que en cierto sentido LQG es una teoría que cuantiza la geometría del mismo. (Vease esta entrada para refrescar lo básico sobre Relatividad General).

2.-  LQG nos dice que a escala cuántica el espaciotiempo viene descrito por spin networks (redes de espín en castellano).  Groso modo lo que nos viene a contar es que el espaciotiempo a escala cuántica viene descrito por un grafo que contiene la información sobre la geometría del espaciotiempo.

3.-  En LQG los observables geométricos como áreas y volúmenes vienen descritos por la estructura de los espín networks y por los valores de ciertas etiquetas que definen a los mismos.  Áreas y volúmenes no pueden tomar cualquier valor sino un conjunto de valores discretos, en este sentido LQG discretiza la geometría.

Nota: Muchas veces se confunde cuantizar con discretizar.  Son cosas distintas, una teoría es cuántica cuando satisface los principios de la mecánica cuántica y no es cierto que eso implique que todas las magnitudes se den en valores discretos.  Por ejemplo, un electrón que no interactúa con nada puede tener cualquier energía, pero un electrón que forma un estado ligado con un protón para formar el átomo de Hidrógeno sólo puede tener determinados valores de la energía.  Así que hay que tener cuidado con no confundir discretización de los valores de los observables con cuantización de una teoría.

Spin networks y área

Un espín network es un estado cuántico de geometría del espacio, por lo tanto viene representado por un estado cuántico del tipo |\Gamma_{[j],[v]}\rangle.

1.- \Gamma representa un grafo.  Un grafo es un conjunto de lados unidos por vértices.  Cada lado tiene una orientación que nos permiten decidir si entra o sale de un vértice dado.

2.- Cada lado tiene una etiqueta j que puede tomar valores 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,…  Dado un grafo, cada lado tendrá una etiqueta j con uno de esos valores y por tanto el grafo completo \Gamma tendrá asignado un conjunto de valores de j que representamos por [j].

3.- Cada vértice tiene un objeto matemático que representamos por v que lo que hace es que se verifiquen ciertas reglas entre las j‘s que le entran y las j‘s que le salen.  Este objeto se denomina intertwiner (intercambiardor, como traducción libre) y nos asegura que el estado cuántico tiene las simetrías que son requeridas en el espaciotiempo según RG.  En lo que nos ocupa estos objetos no nos interesan.

Representación de un estado de geometría en LQG o spin network. Se le llama spin network porque los valores de las j’s corresponden a los valores que puede tomar el espín de una partícula. Pero recordemos que no son espines de partículas de ningún tipo sino una caracteristica del estado cuántico de la geometría.

El área en LQG

Cuando uno efectúa la cuantización de la RG según la receta de LQG encuentra que los observables geométricos toman valores discretos.  En nuestro caso, el observable de interés es el área y la receta para calcular el área de una superficie S es la siguiente:

a)  Tomemos una superficie S inmersa en el spin network.

b)  LQG nos dice que el espaciotiempo sólo tiene sentido en el grafo que soporta al spin network.  Es decir, el espaciotiempo sólo existe en dicho grafo y fuera de él no hay nada.  Esto es como si nos ponemos en nuestra habitación y sólo pudiéramos movernos e interactuar en las líneas de las baldosas pero no sobre las baldosas (a todos los efectos las baldosas no existirían).

3.-  Ahora estudiemos los puntos, llamados punciones, donde el spin network pincha la superficie S.

4.-  Los valores relevantes para calcular el área de dicha superficie serán las j‘s que tienen los lados que pinchan a la superficie.

Así el área de la superficie S será:

A_S=8\pi\gamma\l_p^2\sum_{p}\sqrt{j_p(j_p+1)}

En este caso tendremos un área:

A_s=8\pi \gamma\l_p^2(\sqrt{1(1+1)}+\sqrt{2(2+1)})

El volumen de una región, se calcularía con determinados valores que involucran a los intertwiners v.  Pero la fórmula no es tan divertida, y su cálculo es muy difícil.

Estructura de los valores del área

LQG nos dice que el área mínima que puede tener una superficie será en el caso en el que sólo la pinche un lado de un spin network y su j valga 1/2.

Además vemos como la expresión es proporcional a la longitud de Planck al cuadrado l_p^2.  Esto quiere decir que las áreas macroscópicas vendrán dadas por muchas muchas punciones.

En la expresión del área aparece una \gamma, esto merece una explicación más detallada.

El parámetro de Barbero-Immirzi

Resulta que cuando uno cuantiza la RG le aparece una libertad de determinados términos en las fórmulas fundamentales que vienen multiplicados por el factor \gamma (no entraremos en detalles aquí pero aparecen términos topológicos en la acción de Einstein-Hilbert que vienen multiplicados por este parámetro).

Resulta que desde el punto de vista clásico (es decir, no cuántico) la presencia de este parámetro, denominado parámetro de Barbero-Immirzi, no es importante ya que las ecuaciones de movimiento (que son las importantes para saber como interactúan los campos y partículas con la gravedad, geometría del espaciotiempo) no dependen del mismo.  Así que para RG este parámetro puede tomar cualquier valor, incluido el cero, porque no es sensible al mismo.

Nota: Fernando Barbero es un científico español que trabaja en el CSIC que está considerado como uno de los padres de la forma actual de la teoría de LQG y que en los últimos años ha estado involucrado en el cálculo de la entropía de los agujeros negros en este esquema. También en el CSIC está Guillermo Mena que actualmente está desarrollando, junto a su grupo, un trabajo espectacular en el campo de la Loop Quantum Cosmology.

Sin embargo, al cuantizar la teoría se sabe que este parámetro ha de ser no nulo.  Desgraciadamente la teoría no nos dice que valor tiene y hay que buscar otros métodos para determinarlo.  Dado que aparece en casi todos los observables de la teoría lo ideal sería encontrar un método experimental para medir observables de LQG y así fijar el parámetro, sin embargo, esto no es viable ya que no hay experimentos que puedan hacer eso hasta la fecha.

Así pues tenemos un parámetro libre en la teoría y este parámetro aparece explícitamente en los valores que pueden tomar las áreas de las superficies, así que sería bueno determinar su valor.

Como veremos en la próxima entrada esto suponía un punto flaco en el cálculo de la entropía de agujeros negros en LQG.  Pero esto lo discutiremos en la próxima entrada sobre el tema.

Esperamos que os haya resultado interesante y que hayáis entendido esto, la siguiente entrada será una continuación natural de lo aquí expuesto.

Nos seguimos leyendo…

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13 Respuestas a “Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity I

  1. Pingback: Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity III | Cuentos Cuánticos

  2. Pingback: Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity II | Cuentos Cuánticos

  3. Gracias por la respuesta. No obstante, tengo algun comentario sobre lo que decis que ocurre en Teoria de Cuerdas. Lo que comentais fueron solo los primeros resultados que hubo, a mediados finales de los 90, pero la cosa ha avanzado desde entonces: se ha hecho el calculo explicito para agujeros negros que son extremos pero no supersimetricos, esto es importante. Asimismo, es conocido que todo agujero negro basicamente tiene un dual conforme: esto pinta muy bien en teoria de cuerdas, pues es una teoria conforme. En concreto se ha logrado encontrar la configuracion microscopica asociada a la teoria conforme de una clase de agujeros negros no extremos explicitamente embebidos en Teoria de Cuerdas. En palabras de Strominger, por fin somos capaces de explicar la entropia microscopica de los agujeros negros que vemos en el cielo.

  4. Es cierto que en el cálculo de la entropía de agujeros negros en LQG no se consideran realmente agujeros negros? es decir, no se considera una solución de tipo agujero negro a las ecuaciones de la teoría, sino que sólo se considera una superficie aislada con ciertas características, sin referencia alguna a una solución de tipo agujero negro.

    • Los agujeros que se consideran en LQG son negrísimos. Lo que se diferencia de otros métodos es en que considera lo que se conoce horizontes aislados. Estos horizontes son de un tipo distinto a los horizontes de sucesos usuales cuando hablamos de agujeros negros. Pero son horizontes en toda regla, sólo que están mejor comportados en muchos aspectos que los horizontes de sucesos. Procuraremos hacer una entrada sobre este concepto porque es muy interesante, especialmente las curiosas propiedades de un horizonte de sucesos usual.

      Lo que si es verdad es que la cuantización que se lleva a cabo para calcular la entropía de un agujero negro en LQG parte de un espaciotiempo que contiene un horizonte de este tipo, horizontes aislados. Esto es perfectamente válido pero no totalmente satisfactorio, lo ideal sería poder seleccionar los estados cuánticos de la teoría completa que representan a un agujero negro directamente sin necesidad de empezar con un espacio clásico con un horizonte y cuantizarlo. Pero por el momento, y por los problemas comentados, aún no podemos hacer eso.

      Sin embargo, con el método actual se puede calcular la entropía de agujeros negros de interés astrofísico, es decir, objetos que viven en cuatro dimensiones, sin supersimetría, etc. Esto es una ventaja respecto a los cálculos de la teoría de cuerdas que calculan la entropía de los agujeros negros sólo para unos tipos especiales de los mismos, y físicamente no representativos, que son los llamados agujeros negros extremales y cuasi-extremales. Entraremos con ello en otra entrada.

      Espero haber ayudado. Un saludo.

  5. Hola, despues de “leer” esta entrada, estuve hablando con un amigo y me surgio una duda, dejo aqui el extracto de la conversacion:

    Veo raro lo de decir que para salir de un agujero negro hay que alcanzar la velocidad de la luz, esa velocidad no se puede superar, pero yo creo que si se puede superar la energia de esta, es decir una nave espacial, puede tener mas energia pero ha llegado al limite de la velocidad de la luz, y ya da igual cuanta energia demas tiene, que no superara esa velocidad, pero si hay un campo gravitatorio la velocidad disminuye, como le pasa a la luz en la tierra, pero la nave espacial, al tener energia de sobra pero que no sirve para aumentar la velocidad en el vacio, si sirve para contrarrestar la fuerza gravitatoria, y asi poder moverse a la velocidad de la luz aun cuando esta “frenada” por la gravedad, al igual que lo hace la radiacion cherenkov

    No se mucho de fisica pero me gusta, seguro que hay un monton de errores y tonterias, pero si resolvieras mi duda estaria muy agradecido.

    • Aquí hay dos cosas:

      Para escapar de un campo gravitatorio hay que tener una velocidad denominada velocidad de escape. En el caso de la tierra es de 11km/s aproximadamente. Lo que se dice es que para escapar del horizonte de un agujero negro habría de superarse la velocidad de la luz y eso no es posible.

      No he entendido muy bien tu argumento de la energía, pero ten en cuenta que la gravedad actúa no sólo sobre la masa sino también sobre la energía, así que si aumento mucho mi energía el agujero negro me atraerá con más intensidad. Pero a lo mejor no he entendido bien lo que querías decir en tu comentario, ya me dirás.

      Un saludo.

      • Es complicado de explicar, imagina que la fuerza necesaria para anular la atraccion de un agujero negro fuera x.
        La fuerza necesaria para salir seria por ejemplo x+1
        x estaria compuesta por c+100.000 (por eso la luz no sale)
        La fuerza necesaria para salir seria mas grande que la de la luz, pero no se superaria su velocidad por la gravedad del agujero negro, y al salir tampoco por que por ahora es imposible.
        Es complicado que lo entiendas, por que no esta del todo bien explicado y tendrias que tener el mismo punto de vista que yo.

        • Bueno, creo que sé lo que dices. Pero resulta que por mucha fuerza que apliquemos y por mucha aceleración que le proporcionemos al cuerpo la velocidad nunca superará la velocidad de la luz. Y es este parámetro el que controla que se pueda salir del agujero si me encuentro en el horizonte.

          Pero en vez de hablar de fuerzas es mejor que pensemos en términos de geometría, hay diversos diagramas que ayudan a ello en la entrada de “Destripando el agujero negro”. Lo que has de pensar es que la geometría es tal que por mucho que te muevas y por rápido que vayas siempre estás condenado a caer. Y si estás en el horizonte sólo te puedes quedar ahí si estás intentando salir de él a la velocidad de la luz. Imagina esos motoristas en las jaulas de la muerte (esas jaulas esféricas), por rápido que vayan están sobre la jaula y no pueden salir de ahí aunque ciertamente si hubiera un agujero en la jaula saldrían al exterior. Esto sólo es un ejemplo pero espero que se transmita la idea.

          Un saludo.

          • Pero yo no quiero superar la velocidad de la luz, solo superar por mucho la fuerza que lleva, como si el agujero negro fuese un remolino y con la fuerza, hacerlo una linea mucho mas corta y poder salir facilmente, investigare sobre el tema y lo hare mas entendible.
            Un saludo y gracias!

            • Entendio, pero insisto, da igual cuanta fuerza apliques, el parámetro clave para saber si algo escapa de un campo gravitatorio en una determinada posición el la velocidad que tiene en esa posición. Y resulta que por mucha fuerza (aceleración ) que lleve en el horizonte nunca podrá superar c. No es un problema de meter más fuerza o más energía.

  6. Me ha parecido muy buena la entrada, con cliffhanger al final y todo. A ver si llega pronto el segundo post.

    Una duda que tengo, sin embargo, es la relación exacta entre (una región d) el espaciotiempo y la spin network. Te digo como lo supongo yo que es y me corriges. En una región del espacio tiempo puede efectuar ciertas medidas de observables, volumen, área, por ejemplo. Los valores de estas medidas vienen dados por autovalores de los operadores cuánticos asociados (que dependerán de la métrica, que será un operador, ya que la teoría es cúantica). Resulta que esos mismos autovalores se pueden obtener de numeritos que aparecen en un objeto distinto al espaciotiempo que se llama spin network y que cumple ciertas reglas. Así que el uso de spin networks es puramente operacional o utilitario. Pero supongo que esta no es toda la historia, y que las spin networks fueron inspiradas de alguna manera natural por el formalismo de LQG. Más precisamente, ¿cómo construyo o asigno los valores ‘j’ a los lados de una spin network dada una región del espaciotiempo? Y al revés ¿cómo reconstruyo una región de espaciotiempo, con su métrica y eso, de una spin network? (¿O no hay una relación 1 a 1 de spin networks y espaciotiempos?)
    Un saludo.

    • Buenas preguntas, así que intentaré ser preciso:

      Una duda que tengo, sin embargo, es la relación exacta entre (una región d) el espaciotiempo y la spin network. Te digo como lo supongo yo que es y me corriges. En una región del espacio tiempo puede efectuar ciertas medidas de observables, volumen, área, por ejemplo. Los valores de estas medidas vienen dados por autovalores de los operadores cuánticos asociados (que dependerán de la métrica, que será un operador, ya que la teoría es cúantica). Resulta que esos mismos autovalores se pueden obtener de numeritos que aparecen en un objeto distinto al espaciotiempo que se llama spin network y que cumple ciertas reglas. Así que el uso de spin networks es puramente operacional o utilitario.

      Es una excelente pregunta. Lo que pasa aquí es lo siguiente, lo que estamos tratando es con una teoría que cuantiza literalmente la geometría del espaciotiempo. Es decir, los estados cuánticos representan geometrías cuánticas. Y lo que nos dice la teoría es que el espaciotiempo no es algo continuo como en la imagen clásica sino que los estados tienen soporte sólo en estos spin networks. Es decir, las funciones de onda de mi teoría no toma valores en cualquier punto sino tan solo en aquellos donde tenemos lados o vértices de un grafo. En este sentido la geometría está discretizada.

      No es que midamos cosas en el espaciotiempo y nos salgan discretas y luego nos inventamos los spin networks y nos dan el mismo resultado. Lo que ocurre es que sólo tenemos spin networks en la teoría. El uso de los mismos no es sólo operacional, es que son el soporte de los estados de la teoría.

      Más precisamente, ¿cómo construyo o asigno los valores ‘j’ a los lados de una spin network dada una región del espaciotiempo?

      Esta es una explicación algo técnica, sentimos no poder simplifcarla más. Los valores j son las etiquetas de las representaciones irreducibles del grupo SU(2) aparecen ahí porque se exige que los estados de la teoría sean invariantes bajo la acción de este grupo. Esto es debido a que en la teoría se exige la invariancia bajo SU(2) que aparece cuando reescribimos la teoría en términos de tétradas (fijamos un gauge temporal así que trabajamos con tríadas en realidad). Los spin networks son los estados que son invariantes gauge (SU(2)) por construcción.

      En principio uno puede asignar de forma arbitraría las etiquetas j de los lados, siempre que sean compatibles, es decir, que en los vértices tengamos la invariancia gauge requerida. Eso es lo que nos asegura los intertwiners, que no son más que generalizaciones de las reglas de Clebsh-Gordan lo que nos asegura que se respeta la combinación de los números de espín de forma invariante gauge. La teoría debe de explicar cómo se pasa de una asignación arbitraria de j’s a otra, para eso hay que determinar la dinámica del sistema lo cual es un problema abierto en LQG.

      Y al revés ¿cómo reconstruyo una región de espaciotiempo, con su métrica y eso, de una spin network? (¿O no hay una relación 1 a 1 de spin networks y espaciotiempos?)

      Si pudieramos responder esa pregunta solucionaríamos uno de los grandes problemas de la teoría. Pero es muy interesante, la cuestión de qué geometría clásica (dada por una variedad diferenciable) está asociada a un grafo es un problema matemático formidable (de hecho es lo que se conoce como un problema inverso). Nosotros sabemos embeber un grafo en una variedad, pero no sabemos dado un grafo qué variedades son consistentes con el mismo. El problema es ciertamente complicado. De todas formas, lo que hay que tener en cuenta es que un espaciotiempo clásico será una combinación de spin networks (igual que una onda electromagnética se puede expresar como una suma coherente de diferentes fotones). Este es uno de los aspectos del por qué es complicado obtener el límite clásico de LQG y del por qué aún no ha sido posible obtener la correspondencia total con Relatividad General.

      Esperamos haber podido arrojar cierta luz sobre este oscuro y negro problema.

      Saludos

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