Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity II


Continuemos con este tema de la entropía de agujeros negros en Loop Quantum Gravity (LQG) que empezamos a discutir en la entrada:

Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity I

(es muy recomendable leer previamente esta primera parte para tener un esquema de las herramientas básicas que vamos a utilizar aquí)

En esta entrada pretendemos explicar lo más claramente que podamos cómo se plantea el problema de definir un agujero negro en LQG, y qué sentido tiene calcular su entropía.  Desgraciadamente no nos ha cabido todo en esta entrada, así que tendremos que llegar a una tercera. (De otra forma os aburriríamos como setas)

Cualquier puntualización, crítica o alabanza desmedida… ya sabéis, aquí estamos 😉

Un agujero negro

Los agujeros negros se forma cuando un cuerpo colapsa por debajo de un determinado radio que en agujeros negros sin carga ni rotación es el radio de Schwarzschild.  Y a ese radio aparece una superficie que indica el punto de no retorno si estás cayendo en el agujero, lo que se denomina el horizonte de sucesos.

Particularidades del horizonte de sucesos

El horizonte de sucesos tiene diversas características que pasamos a comentar porque son importantes para lo que nos ocupa:

1.- El horizonte se dice una superficie nula.  Esto lo que significa es que para estar sobre ella y no caer hacia el agujero te has de mover a la velocidad de la luz.

2.-  El horizonte es una superficie en el espaciotiempo.  Más concretamente, el espaciotiempo tiene 4 dimensiones, así el horizonte es una hipersuperficie de 3 dimensiones.

3.-  Para determinar el horizonte de sucesos uno ha de conocer toda la historia del espaciotiempo.  Esto es peliagudo, lo que quiere decir esto es que un horizonte de sucesos “sabe” lo que pasará en el futuro.

Por ejemplo, imaginemos que una civilización extraterrestre galáctica decide emplear la tierra como un basurero cósmico.  Y empiezan a tirar aquí todo lo que desechan de la galaxia, naves viejas, ropa, electrodométicos, etc. Y así durante un tiempo indeterminado, pero se les va de las manos y hacen que la tierra no aguante todo lo que le tiran y la masa es tan grande que empieza a colapsar.  Pues resulta que si eso ocurriera, ahora mismo ya se estaría formando el horizonte de sucesos de la tierra. Por eso se puede leer por ahí que los horizontes de sucesos son objetos teleológicos.  Es decir, el horizonte “sabe” que en el futuro se formará un agujero negro y empieza a formarse mucho antes. ¿Curioso no?

Una estrella colpasa para formar un agujero negro pero el horizonte empieza a formarse mucho antes.

Detalle de lo anterior

Sin embargo, este tipo de horizonte no sabemos como cuantizarlo debido a esta característica.  Así que necesitamos un concepto de horizonte que dependa de las cuestiones locales (es decir, que no dependa de lo que ocurra en el futuro). Este concepto existe y se denomina horizonte aislado, el mayor divulgador (entre los propios físicos) de este tipo de horizontes es Abhay Ashtekar (a la limón, el padre de la LQG entre otros).

Horizontes Aislados

Este tipo de horizonte está definido de forma local, es decir, con datos estrictamente relacionados con el horizonte y no con lo que pase en el resto del espaciotiempo.

En un horizonte aislado no se permite que caiga materia o radiación en el interior del agujero, pero no importa lo que pase fuera.  Este tipo de horizonte es muy empleado en estudios de relatividad en ordenadores (relatividad numérica, esta rama modeliza en ordenadores el comportamiento de un agujero negro, siendo uno de los problemas más interesantes que pasa cuando se encuentran dos agujeros y colisonan) ya que no es fácil controlar todo lo que pasa en todo el espaciotiempo.

Dado que no cae materia o energía al interior, el agujero no crece y por tanto el área del horizonte permanece constante.  Esta es una de las características más interesantes de estos horizontes.

¿Cómo se cuantiza relatividad general según LQG?

La relatividad general es una teoría del espaciotiempo, es decir, consideramos que el espacio donde suceden los fenómenos físicos tienen 4 dimensiones.  Sin embargo, el formalismo no permite una cuantización que de lugar a una teoría útil.  En LQG se intenta cuantizar la relatividad general en una formulación que se denomina ADM (Richard Arnowitt, Stanley Deser and Charles W. Misner).  Esto se basa en considerar relatividad general como una teoría que nos dice como evolucionan espacios de 3 dimensiones (hipersuperficies espaciales) en el tiempo, por eso a la formulación ADM se la conoce como formalismo evolutivo o formalismo 3+1.  Visualmente es algo así:

Entendemos la Relatividad General como una teoría de superficies tridimensionales evolucionando en el tiempo

Nota técnica:

LQG parte de una formulación canónica (Hamiltoniana) de la relatividad general.  Para definir el Hamiltoniano hemos de tener una estructura geométrica con un tiempo definido.

Sin embargo, en relatividad general aprendemos que la distinción en entre espacio y tiempo no tiene sentido, todas las coordenadas son eso, coordenadas y no hay forma de distinguir globalmente cual de ellas es el tiempo y cual el espacio.  Es por eso que la distinción entre espacio y tiempo es arbitraria en este contexto, lo cual de hecho es bueno porque asegura que tenemos invariancia bajo difeomorfismos, aunque hayamos roto aparentemente esta característica en el proceso.

Algo parecido pasa en electrodinámica, en el formalismo Hamiltoniano la invariancia Lorentz no es manifiesta, sin embargo está ahí enterrada y los resultados de la teoría preservan tal simetría.

Fin de la nota técnica.

Esto es la situación de la que se parte en LQG para cuantizar relatividad general.

Un espaciotiempo con un horizonte aislado a la ADM

1.- Tomemos un espaciotiempo que tiene un horizonte aislado \Delta.

2.- Dividamos ese espaciotiempo en hojas tridimensionales espaciales \mathcal{M} siguiendo las ideas ADM.

3.-  Por tanto la intersección entre el horizonte (superficie tridimensional nula \Delta y las hojas espaciales en las que hemos dividido el espaciotiempo \mathcal{M} nos da una superficie bidimensional (espacial) esférica S.

En lo que sigue, cuando hablemos del horizonte nos estaremos refiriendo a esta esfera S.

El punto clave es que si tengo un horizonte aislado (del que nos restringimos a S) esto introduce una serie de condiciones sobre los objetos físicos como métricas y observables geométricos (esto se llama condiciones de borde o frontera, boundary conditions en inglés).  Estas condiciones te aseguran que la superficie S está asociada al horizonte de un agujero negro y no a una naranja.

Condiciones de frontera

S es una esfera. (Técnicamente tiene topología esférica y signatura espacial).

– En el horizonte se respetan las ecuaciones de campos de la relatividad general. (Esto nos asegura que estamos cuantizando un sector de la relatividad general, que es lo que nos proponemos).

S tiene un área constante A_{BH}. (Esto hace que los objetos básicos de la teoría han de respetar esta condición, por lo tanto no pueden ser arbitrarios).

– Luego aparecen relaciones entre la curvatura del horizonte y las características del espacio exterior. (Explicaremos esto más profundamente en la próxima entrada).

Particularidades de este procedimiento y críticas

En primer lugar aquí estamos haciendo algo “indecente”.  Empezamos con una situación en la que tenemos un horizonte aislado que entendemos como una frontera en nuestro espacio.  Es decir, no podemos acceder al interior, así que a todos los efectos el interior no está.  Esto es “problemático” porque si tenemos una teoría de gravedad cuántica, como dice ser LQG, tendríamos que tener la posibilidad de estudiar el interior del agujero negro incluyendo la singularidad.

El problema es que en LQG aún no tenemos la capacidad de encontrar los estados físicos que corresponden a situaciones físicas reales.  Es decir, no podemos decir: “Mira este estado cuántico de la teoría describe un agujero negro completo”.

Por lo tanto, este es un acercamiento efectivo al problema.  Nos aprovechamos de que los horizontes aislados nos aseguran que  estamos hablando de un agujero negro (por las condiciones de frontera) y cuantizamos un espacio donde tenemos dicha frontera.

Evidentemente esto no es totalmente satisfactorio, pero tampoco es incorrecto, es el primer paso para obtener una definición completa de agujero negro en LQG (cosa que se está buscando activamente en la investigación).  En muchos cálculos de la entropía esta es la forma en la que se trabaja, el horizonte es una frontera.  Es lo lógico, porque los que estudian los agujeros negros están en su exterior y para ellos, pueda o no pueda la teoría, el horizonte es una frontera que los separa del interior del agujero.

Hasta aquí esta entrada, en la tercera y última (nos ha quedado un poco largo esto) explicaremos qué pasa cuando se cuantiza un espacio con un horizonte aislado, cuáles son los grados de libertad que dan lugar a la entropía y discutiremos ciertas críticas que se le hacen a este procedimiento.

Nos seguimos leyendo…

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6 Respuestas a “Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity II

  1. Pingback: Entropía de agujeros negros según Loop Quantum Gravity III | Cuentos Cuánticos

  2. ¿Es lo mismo un horizonte aislado que una superficie de Killing (superficie nula con vector de Killing perpendicular a ella)?
    Si es así, ¿qué papel tienen los vectores de Killing (o las simetrías en general) en la cuantización de los agujeros? ¿Hay que buscar su representación como operadores en el espacio de Hilbert de LQG?

    • No, no es lo mismo un horizonte aislado que un horizonte de Killing. Un horizonte se define con generadores nulos sobre su superficie y no hace falta que exista isometría alguna en un entorno del mismo. Esto es debido a que todo el espacio exterior al horizonte aislado es libre de tener radiación o materia interactuando por ahí de cualquier forma (siempre que no caiga al agujero).

      Para los horizontes de Killing se exige que haya alguna isometría (dada por un vector de Killing) al menos en un entorno del horizonte. Además su topología no está restringida a ser esférica S^2\times R que es un requisito para los horizontes aislados. Lo que está claro es que todo vector de Killing es aislado pero no en el sentido contrario.

      Si te interesan los aspectos clásicos de los horizontes hay un fenomenal artículo que resume muy bien este tema: Black Hole Boundaries de Ivan Booth.

  3. Ha quedado bastante claro.
    Creo.
    Seguiremos leyendo…..

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