La partícula relativista 2


En la entrada anterior, La partícula relativista 1, hemos discutido como definir la acción de una partícula libre con velocidades cercanas a la de la luz en el vacío.

En esta ocasión vamos discutir acerca de ciertas limitaciones de esta acción y cómo definir una acción distinta pero equivalente a la primera y que contiene la misma información que la original y supera los inconvenientes.

Problemas con la acción

La acción que hemos propuesto, que no es más que la que nos da el intervalo relativista entre dos puntos dados, es:

S=-m\int \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}

Ante esta acción tenemos dos problemas, uno de ellos evidente, el otro de carácter técnico.

Problema evidente:  La masa presente en la acción es la masa en reposo del sistema, es decir, la masa medida por un observador en reposo relativo a la partícula.  Sin embargo, en Relatividad Especial tenemos partículas que no tienen sistemas inerciales comóviles asociados, por ejemplo los fotones. Estas partículas se mueven a la velocidad de la luz y se les asigna una masa en reposo nula.  Es evidente que si m=0 (o tiende a cero) la acción S=0 (o tiende a cero). Por lo tanto no podemos calcular las ecuaciones del movimiento de este tipo de partículas a partir de esta forma de la acción.

Problema técnico: La acción anterior contiene una raíz cuadrada.  Esto generalmente es incómodo y posteriormente, a la hora de cuantizar, presenta dificultades técnicas en definir la teoría cuántica.

Así que lo que queremos buscar es una acción equivalente a esta que pueda dar cuenta de partículas con masa y sin masa y además no contenga una raíz cuadrada.

Buscando una acción alternativa

El punto clave aquí es introducir un campo arbitrario en principio que llamaremos a(\tau), dependiente del parámetro dado por el tiempo propio de la partícula (o en su defecto un parámetro de evolución afín, esto para partícula sin masa).  De forma que la Lagrangiana sea del tipo:

L=\dfrac{1}{2a}\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu-\dfrac{m^2}{2}a=\dfrac{1}{2a}\dot{X}^2-\dfrac{m^2}{2}a

De forma que la acción sea de la forma:

S'=\dfrac{1}{2}\int d\tau\left(\dfrac{1}{2a}\dot{X}^2-\dfrac{m^2}{2}a\right)

El problema aquí es determinar qué tiene que ser el campo a(\tau) para que las acciones S’ y S sean equivalente, es decir, den las mismas ecuaciones del movimiento.  Para fijar quién tiene que ser dicho campo estudiamos sus ecuaciones del movimiento variando la acción respecto a a(\tau):

1.-  Variamos S’ respecto a a:

\delta S'=\dfrac{1}{2}\delta\int d\tau\left(\dfrac{1}{2a}\dot{X}^2-\dfrac{m^2}{2}a\right)=

=\dfrac{1}{2}\int d\tau \left(\delta(\dfrac{1}{2a})\dot{X}^2-\delta(\dfrac{m^2}{2}a)\right)=

=\dfrac{1}{2}\int d\tau\left(-\dfrac{1}{a^2}\dot{X}^2-m^2\right)\delta a

2.-  Para que \delta S'=0 el integrando ha de anularse:

-\dfrac{1}{a^2}\dot{X}^2-m^2=0

Lo que nos da las ecuaciones de movimiento y la condición sobre el campo auxiliar a:

\dot{X}^2+m^2a^2=0

a=\sqrt{-\dfrac{\dot{X}^2}{m^2}}

Mostrando la equivalencia de las acciones

Hemos encontrado que el campo a está restringido a ser: \left(-\dfrac{\dot{X}^2}{m^2}\right)^{(1/2)}.  Esta condición nos asegura que S’ y S son equivalentes.  Veamos esto explícitamente:

1.- Partimos de la acción S’:

S'=\dfrac{1}{2}\int d\tau \left(\dfrac{1}{a}\dot{X}^2-m^2 a\right)

2.-  Sustituimos la forma de a:

S'=\dfrac{1}{2}\int d\tau \left(\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}}\dot{X}^2-m^2\sqrt{-\dfrac{\dot{X}^2}{m^2}}\right)

3.- Reescribimos el segundo término del integrando:

S'=\dfrac{1}{2}\int d\tau \left(\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}}\dot{X}^2-m\sqrt{-\dot{X}^2}\right)=\dfrac{1}{2}\int d\tau \left(\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}}\dot{X}^2-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\nu\dot{X}^\nu}\right)

4.-  Vamos a manipular un poco el primer término del integrando (los pasos son evidentes, para cualquier duda sólo hay que preguntar):

\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}}\dot{X}^2=(-1)\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}}(-1)\dot{X}^2=

=-\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2}} i^2 \dot{X}^2=

=-\sqrt{-\dfrac{m^2}{\dot{X}^2} i^4\dot{X}^4}=\sqrt{-m^2 i^4\dot{X}^2}=

=-m\sqrt{-\dot{X}^2}=-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}

5.-  Si ahora unimos todos los términos:

S'=\dfrac{1}{2}\int d\tau -m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}=\dfrac{1}{2}\int d\tau -2m\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}

S'=-m\int d\tau \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot{X}^\mu\dot{X}^\nu}=S

Así hemos mostrado que S’ y S son equivalente.

Dejamos aquí el tema de las partículas relativistas y nos adentraremos en el estudio de cuerdas desde el punto de vista clásico.  Definiremos su acción, que en este caso en vez de estar basada en la longitud de la línea de mundo lo hará en función del área de la hoja de mundo tendida por la cuerda durante su evolución.

Nos seguimos leyendo…

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4 Respuestas a “La partícula relativista 2

  1. Pero no logro encontrar el signo _ de x2.

  2. Bueno, se han utilizado algunos artificios matematicos para (manipulando) para lograr la equivalencia.

  3. Pingback: Acción de Polyakov 1 | Cuentos Cuánticos

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