La acción 1


En la entrada sobre el Lagrangiano introdujimos a mano las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico.

En esta entrada vamos a introducir el concepto de acción vamos a comprobar que hay un método por el cual sacamos las mismas ecuaciones del movimiento que aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange directamente al Lagrangiano. Y en una entrada posterior mostraremos que dichas ecuaciones emergen directamente del principio extremal de la acción (que se enuncia en esta entrada)

La acción

Definición informal: La acción es la integral del Lagrangiano respecto al tiempo.

S=\int L dt

Técnicamente hablando este objeto es un funcional que toma como argumentos funciones y devuelve un número, no entraremos en estos detalles matemáticos por el momento.

Si uno quiere estudiar cómo se propaga un sistema desde un punto x(t_1)=x_1 hasta un punto x(t_2)=x_2 entre un tiempo inicial y final en principio hay infinitas trayectorias posibles.  De todas ellas, la que se realiza físicamente es aquella en la que la variación de la acción \delta S se anula. A este hecho lo llamamos principio de acción extremal.

Precisemos esto, tomemos el ejemplo de la entrada anterior de una partícula en una dimensión donde el Lagrangiano era:

L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)

Por lo tanto, la acción tomará la forma:

S=\int dt L=\int dt \left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)

Ahora queremos estudiar eso que se llama la variación de la acción \delta S.  Para variar la acción lo que hemos de hacer es modificar alguna de las coordenadas dinámicas del sistema, en este caso simple la cosa está clara hemos de variar x.  Entonces si variamos la posición una cantidad pequeña \delta x, tendremos:

x\rightarrow x+\delta x

La variación puede afectar a cualquier punto de la trayectoria pero evidentemente no a los extremos (que son los puntos de salida y llegada fijados en los que estamos interesados), eso se expresa:

\delta x(t_1)=\delta x_1=0   y   \delta x_2=0

Ahora veamos como varía el potencial y la energía cinética cuando variamos la posición.

Potencial:  El potencial de la coordenada variada viene dado por la expresión V(x+\delta x).

Dado que la influencia de la variación la suponemos pequeñas podemos hacer un desarrollo en serie de Taylor, obteniendo:

V(x+\delta x)=V(x)+\delta x \dfrac{\partial V}{\partial x}

Y la energía cinética quedará:

\dfrac{1}{2}m\dot{(x+\delta x)}^2=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}+\dot{\delta x})^2

Dado que las variaciones \delta x se consideran cantidades pequeñas (si estuvieramos hablando de números serían cantidades positivas menores que 1), es claro que su cuadrado es aún más pequeño.  Así que vamos a desarrollar el binomio (\dot{x}+\dot{\delta x})^2 y vamos a despreciar todos los términos a segundo orden en la variación:

(\dot{x}+\dot{\delta x})^2=\dot{x}^2+2\dot{x}\delta\dot{x}+\delta\dot{x}^2

Ahora definamos la acción S’ con las cantidades incluyendo la variación:

S'=\int_{t_1}^{t_2}L(x+\delta x , \dot{x}+\delta\dot{x})dt=\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+2\dot{x}\delta\dot{x})-(V(x)+\delta x\dfrac{dV}{dx})dt

Aquí viene un punto importante, lo que nos interesa únicamente es la variación en las coordenadas y no en las velocidades.  Si uno mira en el integrando aparece el término 2\dot{x}\delta\dot{x}. Vamos a expresar cómo se puede reescribir ese término en función de variaciones de las posición, es una simple aplicación de las integrales por partes:

Centrémonos en el término en concreto y luego lo introduciremos en la acción S’:

 \int_{t_1}^{t_2} \dot{x}\delta\dot{x} dt=\dot{x}\delta x|_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\delta x \ddot{x}dt

Recordemos que: \delta\dot{x}=\delta(\dfrac{dx}{dt})=\dfrac{d}{dt}(\delta x), así que en las relaciones anteriores hemos aplicado la integral por partes de manera usual.  El primer término de la derecha se anula porque tenemos que calcular dicho término entre los tiempo inicial y final y las variaciones en esos puntos se anulan.

Introduciendo esto en la acción (por ahorrar en escritura entenderemos ahora que \int_{t_1}^{t_2}=\int:

S'=\int \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\int m\ddot{x}\delta x dt-\int V(x)dt-\int \delta x \dfrac{\partial V}{\partial x}

Aislamos todos los términos que contienen \delta x:

S'=\left(\int \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)dt\right)+\int \delta x\left(-m\ddot{x}-\dfrac{\partial V}{\partial x}\right)dt=S+\delta S

Así que hemos calculado \delta S que produce una variación en la coordenada x.

La trayectoria que sigue el sistema es aquella para la cual \delta S=0. Por tanto, en \delta S el integrando tiene que anularse:

m\ddot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial x}=0

Lo que nos vuelve a dar las ecuación de Newton:  m\ddot{x}=-\dfrac{\partial V}{\partial x}

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11 Respuestas a “La acción 1

  1. ¿Por qué en los dos términos de la integral que pertenecen al diferencial de la acción no hay un dt?

    Es decir, por qué motivo ese dt que en la integral inicial pertenece a todos los términos luego desaparece.

    Todo lo demás muy claro.

  2. Pingback: Yo confieso. Mis problemas con el principio de acción. | Cuentos Cuánticos

  3. En verdad que con esta entrada si que se ve la acciòn.

  4. Muchas gracias, super claro

    Saludos

  5. Podrias explicar como llegas a la expresion que esta despues de:
    “Centrémonos en el término en concreto y luego lo introduciremos en la acción S’”
    (sorry no supe como copiarla)

    Muchas Gracias

    • El caso es que nosotros tenemos controladas las variaciones de las x pero no las variaciones de sus derivadas temporales. Es decir, sabemos lo que valen las \delta x en los extremos de la trayectoria pero no lo que valen las \delta \dot{x}. Por lo tanto, en la acción es deseable tenerlo todo expresado en términos de las \delta x sin que aparezcan las \delta \dot{x}.

      Así que miramos el término que tiene dichas \delta \dot{x}. Vemos que es de la forma \dot{x}\delta \dot{x}. Como tenemos que integrar eso lo que hacemos es aplicar el procedimiento de la integral por partes (integral por partes) que nos dice:

      a) La integral de un producto de funciones u y dv se calcula como: \int u dv = uv-\int vdu

      En nuestro caso tenemos: \int \dot{x} \delta \dot{x} dt

      Llamamos

      u=\dot{x}=\dfrac{dx}{dt}

      dv=\delta \dot{x}dt=\delta \dfrac{dx}{dt}dt=\dfrac{d(\delta x)}{dt}dt porque d\delta=\delta d

      Por lo tanto du será: du=d\dot{x}=d\left(\dfrac{dx}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)dt=\dfrac{d^2x}{dt^2}dt=\ddot{x}dt

      Y para calcular v tenemos que hacer una integral simple: v=\int dv =\int \dfrac{d\delta x}{dt}dt=\delta x ya que la integral de una derivada da como resultado la función que estábamos derivando.

      Si sustituyes en la fórmula \int u dv = uv-\int vdu

      Tenemos \int \dot{x} \delta \dot{x}dt= \dot{x}\delta x -\int \delta x \ddot{x}dt

      Por supuesto las integrales hay que calcularlas en los límites de integración del problema.

      Espero que te haya aclarado el paso ese. Un saludo

      • Si este1s resolviendo el siemtsa por eliminacif3n y se llega a una incosistencia entonces no hay solucif3n.En un siemtsa simple L1x+L2y = g(t) y L3x+L4y = f(t) con L1, L2, L3 y L4 siendo operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes si L1xL4-L2xL3=0 puede pasar que el siemtsa no tiene solucif3n o tiene una solucif3n con cualquier cantidad de constantes independientes. Por ello es que la eliminacif3n es mejor para notar si aparece alguna inconsistencia

  6. Alejandro Villaverde Ferreiro

    Era una broma. No te lo tomes todo al pie de la letra.

  7. Alejandro Villaverde Ferreiro

    La verdad es que toda acción tiene una reacción. De esto seguro que nos hablas otro día. Un saludo.

    • Bueno, eso también no es correcto, hay acciones (de fuerzas) que no tienen (reacciones), al menos no evidentes.

      Pero aquí el término ACCION no significa que se actúe sobre algo, es el nombre que se le da a la integral del Lagrangiano en el tiempo. No tiene nada que ver con la acción/reacción.

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