Ejercicio mecánica lagrangiana


Ejercicio de la entrada de mecánica Lagrangiana:

Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke F=-kx. Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.

Ayuda:  El movimiento es en una única dimensión.  Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.

 

Solución:

Vamos a construir la Lagrangiana.  Primero construimos la energía cinética:

T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2

Ahora calculamos el potencial, para ello hacemos una integral:

F=-\dfrac{dV}{dx}

El potencial diferencial será:

dV=-Fdx

Integrando (con los límites de integración entre 0 y x):

V=\int dV=-\int Fdx=-\int -kxdx=k\int xdx=k\dfrac{x^2}{2}

Así pues:

V=\dfrac{1}{2}kx^2

Por lo tanto la Lagrangiana será:  L=T-V=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2.

Ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0

Para lo que sigue hemos de recordar que las variables x y \dot{x} se tratan como independientes.

1.- Calculamos \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}

2.- Calculamos la derivada temporal de esta última expresión y obtenemos m\ddot{x}.

3.- Calculamos \dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx.

Uniendolo todo:  m\ddot{x}=-kx.  Si ahora modificamos un poco la expresión:

\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^2 x=0  donde \omega^2 =k/m es la frecuencia del oscilador.  La anterior ecuación de movimiento es la que identifica un movimiento armónico simple.

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6 Respuestas a “Ejercicio mecánica lagrangiana

  1. Muchas gracias por los increíbles aportes que hacen en este blog. Lo encontré hoy y me pareció fascinante la simplicidad y manera de explicar, esencial para fortalecer los conocimientos de aquellos que empezamos a envolvernos en la física (en mi caso en física de partículas). ¡Saludos!

  2. Pingback: El mecanismo de Higgs para estudiantes de bachillerato I | Cuentos Cuánticos

  3. tengo un problema de formulación lagrangiana bastante complejo, me dijeron como podría empezar a analizarlo, pero aun asi no entiendo la lógica del análisis, es decir no se porque hay q hacerlo de esa forma, si depronto les da curiosidad verlo y ayudarme, contactenme: damul90@hotmail.com Gracias

    • Hola Daniel, si te parece bien crea un hilo en el foro de este blog y nos lo cuentas a ver si podemos ayudar en algo. Puedes entrar al foro clicando en el logo del gato, arriba a la derecha.

  4. Bien bien, ya había llegado a la solucion gracias a la pista en el otro post pero no habia tenido tiempo de comentar. Ahora se que si lo habia hecho bien 🙂

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