Ejercicio Partícula relativista 1


Ejercicio propuesto en la partícula relativista 1:

Demuestra que \alpha está relacionada con la masa de la partícula. 

Ayuda:  Se puede hacer por análisis dimensional recordando que la acción tiene las mismas dimensiones que la constante de Planck y recordando que en un contexto de invariancia Lorentz hay una escala de velocidades dada por la velocidad de la luz.

 

Por análisis dimensional

Según el análisis dimensional y sabiendo que las dimensiones de la acción S y la de la constante de Planck coinciden tenemos:

[S]=[\hbar]=\dfrac{ML^2}{T}

Ahora estudiemos las dimensiones de la integral que nos da la acción:

S=-\alpha \int ds

Las dimensiones son:  [S]=[\alpha][ds].

Las dimensiones de ds son: [ds]=L y como las dimensiones de ambos miembros de la expresión han de ser iguales:

\dfrac{ML^2}{T}=[\alpha]L

Por tanto las dimensiones de \alpha son:  [\alpha]=\dfrac{ML}{T}.  Es decir, son unidades de masa M por unidades de velocidad L/T.  La única escala de velocidades que tenemos en relatividad especial es la velocidad de la luz. Así que tenemos:

\alpha=\dfrac{m}{c}

Así tenemos:  S=-\dfrac{m}{c}\int ds.  Pero como acostumbramos a trabajar en unidades naturales donde \hbar=c=1 la expresión es:

S=-m\int ds

Por comparación con la expresión clásica de la energía cinética

La acción de una partícula clásica no relativista depende únicamente de la energía cinética:

S_0=\int dt \dfrac{1}{2}mv^2

Trabajaremos en una única dimensión por simplicidad y sin pérdida de generalidad:

S=-\alpha\int ds=-\alpha \int \sqrt{dt^2-dx^2}=-\alpha\int dt \sqrt{\dfrac{dt^2}{dt^2}-\dfrac{dx^2}{dt^2}}

S=-\alpha\int dt \sqrt{1-v^2}

Estamos trabajando en unidades donde c=1, por lo tanto v<c para partículas usuales, y entonces el cuadrado de la velocidad será mucho menor que uno, así podemos aplicar un desarrollo en serie de Taylor a primer orden como buena aporximación:

\sqrt{1-x^2}=1-\dfrac{1}{2}x^2

En nuestro caso tendremos:

\sqrt{1-v^2}=1-\dfrac{1}{2}v^2

Si metemos esta aproximación en la acción nos queda:

S\approx -\alpha\int dt + \int dt \dfrac{1}{2}\alpha v^2

La primera parte correspondería a la energía en reposo de la partícula y la segunda parte la tenemos que comparar con S_0 quedando claro por tanto que:  \alpha = m.

Con esto queda solucionado el primer ejercicio de este curso.

Nos seguimos leyendo…

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