Teoría clásica de campos


Hasta ahora hemos revisado la formulación Lagrangiana de la mecánica y hemos presentado el objeto central de la misma, la acción.  Pero nuestra discusión se ha centrado fundamentalmente en la teoría aplicada a partículas descritas por sus coordenadas espaciotemporales. Ahora vamos a empezar el estudio de los campos desde el punto de vista clásico empleando la maquinaria que hemos desarrollado en las entradas anteriores en el curso de introducción a la teoría cuántica de campos.

Campo

Un campo físico viene representado por una función que toma valores en el espaciotiempo.  Es decir, es un objeto extenso que tiene un determinado valor para todo punto del espacio y todo instante de tiempo.  Representaremos los campos por:

\varphi=\varphi(x,t)

Los campos serán nuestro objetos centrales, es decir, nuestras variables dinámicas igual que para las partículas son las coordenadas espaciotemporales. Además iremos viendo distintas clases de campos, escalares, vectoriales, espinoriales. Estas identificaciones se hacen sobre la base de cómo distintos observadores inerciales comparan medidas sobre dichos campos empleando transformaciones de Lorentz. Por el momento prescindiremos de dichas sutilidades y hablaremos en términos generales válidos para todos los tipos de campos.  Y para acabar, dado que nos interesamos en un contexto relativista, muchas veces conviene tener una notación unificada para espacio y tiempo, así escribiremos:

\varphi=\varphi(x),

donde x indica que depende de coordenadas del espaciotiempo (t,x,y,z).

Densidad Lagrangiana

Análogamente al caso de la Lagrangiana de una partícula para campos definiremos:

\mathcal{L}=\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi)

Aquí tenemos que explicar algunos detalles:

1.-  La notación \partial_\mu  indica \dfrac{\partial}{\partial x^\mu}.

2.-  En el caso de una partícula teníamos que la Lagrangiana dependia de las posiciones (coordenadas de configuración) y sus velocidades (derivadas respecto al tiempo de las coordenadas.  Esto es así porque usualmente una partícula viene descrita por una función x=x(t), es decir, sus coordenadas vienen parametrizadas por el tiempo únicamente.  En el caso de los campos, vienen determinados por la posición en el espacio y el instante donde medidos el campo, por lo tanto hemos de considerar no sólo derivadas temporales sino también espaciales, es por eso que \mathcal{L} depende de \partial_\mu\varphi y no sólo de \dot{\varphi}.

3.- Es notorio el cambio de notación de L a \mathcal{L}. Esto es debido a que el objeto descrito por \mathcal{L} es lo que se conoce como densidad Lagrangiana.  Dado que el campo es un objeto extenso, para conocer el valor de la Lagrangiana L hemos de integrar su densidad en una determinada región del espacio R:

L=\int_R \mathcal{L}d^3x

Atención:  Generalmente se comete un abuso del lenguaje y llamamos Lagrangiana o Lagrangiano tanto a L como a \mathcal{L}. Quedará claro por el contexto si nos referimos a la cantidad integrada o a su densidad.

La acción

Como hemos visto, la acción se define como la integral en el tiempo del Lagrangiano, así que en este caso tendremos:

S=\int dt L=\int dt d^3x\mathcal{L}=\int d^4x\mathcal{L}

donde en la última igualdad hemos tomado ventaja de que el formalismo relativista pone en pie de igualdad a todas las coordenadas espaciotemporales. Este es una de las grandes ventajas de este formalismo ya que, como veremos, esto nos permite estar seguros de que todo lo que hacemos con este objeto verifica las leyes de la relatividad especial, es decir, es invariante Lorentz.

Un interludio sobre el Hamiltoniano

Pronto veremos como es muy útil pasar a la formulación Hamiltoniana a partir de la Lagrangiana.  Además de que  el punto de partida para la cuantización suele ser el Hamiltoniano.

Para partículas:

En las ecuaciones de Euler-Lagrange y en las variaciones del Lagrangiano nos encontramos con este tipo de expresiones:

\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}

A esta agrupación le ponemos el nombre de momento asociado a la coordenada q_i y lo representamos por p_i. Así pues:

p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}

Entonces, uno puede pasar de un Lagrangiano a su Hamiltoniano:

H(p,q)=\sum_i p_i\dot{q}_i-L(q,p)

A esta expresión se la denomina transformación de Legendre.  No vamos a explicar aquí las sutilezas que esconde este procedimiento, sólo vamos a comentar que el Hamiltoniano es una función de coordenadas y momentos, no de velocidades. Y coordenadas y momentos, a ojos del Hamiltoniano son variables independientes, al igual que lo eran las coordenadas y sus velocidades a los ojos de Lagrangiano.

Para campos:

Podemos actuar de forma análoga para campos, definiendo el momento asociado al campo, \pi(x) como:

\pi(x)=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\varphi})}

Por lo tanto, la densidad Hamiltoniana será:

\mathcal{H}(\pi,\varphi)=\pi\dot{\varphi}-\mathcal{L}

Y el Hamiltoniano vendrá dado por la integral en el espacio de su densidad: H=\int d^3x\mathcal{H}.

Ecuaciones del movimiento de un campo

Para encontrar las ecuaciones de movimiento de un campo aplicamos el principio de acción extremal \delta S=0. Y encontramos que las ecuaciones que deben de ser satisfechas son:

\partial_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\varphi)}-\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}=0

Ejercicio:

Demostrar aplicando el principio de acción extremal que las ecuaciones de movimiento de un campo con densidad Lagrangiana \mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi) vienen dadas por:

\partial_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\varphi)}-\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}=0

Ayuda:  El procedimiento es análogo al caso de una partículas con sutilidades a la hora de hacer las derivadas y manejar los índices.

Ejercicio:

Encontrar las ecuaciones de movimiento y el Hamiltoniano (densidad) para los siguientes casos:

a)  \mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\left((\partial_\mu\varphi)^2-m^2\varphi^2\right)

b) \mathcal{L}=\dfrac{1}{2}\left((\partial_t\varphi)^2-(\partial_x\varphi)^2\right)+\cos\varphi

Nos seguimos leyendo…

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10 Respuestas a “Teoría clásica de campos

  1. En la parte de campos, pero no habría otro momento conjugado? uno asociado a la variables espaciales? eso haria que le faltaran términos al hamiltoniano, no?

  2. puedes poner la solucion del primer ejercicio, lo que pasa que recien estoy aprendiendo tensores, gracias

  3. Lo que no entiendo es ,¿como se llega a la densidad Hamiltoniana?

    • Hola, antes que nada disculpa por la tardeda rpstuesea.Esto que comentas es lo que se conoce como cuantizacif3n canf3nica. Y no, no es la fanica forma de cuantizar un campo. Hay muchas otras variantes:Cuantizacif3n por integrales de camino.Cuantizacif3n geome9tricaCuantizacif3n BRST Es decir, hay muchos procedimientos para cuantizar. Uno tiene que elegir cue1l quiere emplear porque hay unos mejores que otros dependiendo del tipo de campo que queramos cuantizar. Un saludo

  4. Genial. Casi lo tengo. Sólo necesito una segunda relectura.
    Te seguimos leyendo…

  5. La cosa está en que tengo una asignatura en la que ando bastante perdido y hace uso de estas expresiones. Decía que es complicado por extensión de lo que no entiendo en la asignatura. Pero la verdad es que muchas cosas se me están aclarando gracias a vosotros

  6. uf! esto se complica…
    Seguid así, manteneis el interés despierto!

    • ¿Te parece complicado algún aspecto en concreto? Es pura curiosidad.

      • O sea que el Lagrangiano y el Hamiltoniano tienen alngua diferencia, pero que son casi iguales, eso siempre como que ha confundido, pero lo que me lo ha aclarado ahora es lo que se expresa en las ecuaciones de que uno depende de posiciones y velocidades y el otro de posiciones y momentos, estc3a0 muy bien esto, gracias.

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