Cuerdas Clásicas: Acción de Nambu-Goto


Vamos a empezar a describir una cuerda clásicamente. Este en principio es un paso natural una vez hemos aprendido a como se describe la partícula relativista.  En esta primera entrada simplemente expondremos como hallar la acción de una cuerda en su evolución en el espaciotiempo.

El curso con los temas tratados hasta la fecha se encuentra en: Introducción a las supercuerdas

La cuerda

Ya vimos que para escribir la ecuación de movimiento de una partícula relativista lo que hacíamos era extremar (la variación se anula) la acción de la misma a lo largo de su línea de mundo.  Y dicha acción no era más que la integral del intervalo relativista.

Las partículas describen una curva que se denomina línea de mundo que son el conjunto de puntos en el espaciotiempo que ha ido ocupando la partícula en su evolución dinámica:

Si queremos trabajar con cuerdas lo primero que hemos de hacer es definirlas:

Una cuerda es un objeto unidimensional que en su evolución en el espaciotiempo describe una superficie denominada hoja de mundo.

Las cuerdas pueden ser abiertas o cerradas, así tendremos hojas de mundo abiertas o cerradas:

Recordemos que estamos trabajando con un espaciotiempo de D=1+d dimensiones, donde una de ellas corresponde al tiempo y las d restantes corresponden a coordenadas espaciales.

Al trabajar la línea de mundo de una partícula las coordenadas espaciotemporales dependían de un parámetro \tau que identificaba los puntos de la cuerda respecto a un sistema de referencia solidario:

(X^0(\tau),X^1(\tau),\dots,X^d(\tau))

En el caso de la cuerda tenemos que trabajar con superficies bidimensionales correspondientes a la hoja de mundo, por lo tanto para identificar puntos en dicha hoja necesitamos dos coordenadas que llamaremos (\tau,\sigma):

Con lo que las coordenadas del espaciotiempo en D=1+d dimensiones serán función de las dos coordenadas sobre la hoja:

X^\mu(\tau,\sigma)

Se puede considerar que \tau nos da el tiempo en la hoja de mundo y que \sigma nos da la posición.

Siendo un poco más explícitos, las coordenadas espaciotemporales serán:

(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\dots,X^d(\tau,\sigma))

La acción de la cuerda

Al igual que en el caso de la partícula la acción venía dada por la integral del elemento de intervalo relativista S=-m\int ds, en este caso lo que tendremos que usar para definir la acción de la cuerda será el área que cubre en el espaciotiempo durante su evolución:

S=-T\int dA

donde T es un parámetro que se denomina tensión de la cuerda y dA es el elemento diferencial de la hoja de mundo subtendida por la cuerda.

Dado que la forma anterior de la acción no es muy amable a la hora de hacer cálculos vamos a manipularla un poco.  Para ello trabajaremos en general con un espacio de dos dimensiones (que corresponde a la hoja de mundo) con coordenadas \xi^\alpha, donde \alpha toma los valores 1,2 y se corresponden con:

\xi^1=\tau    y    \xi^2=\sigma

pero resulta más cómodo trabajar con toda generalidad.

Nota:  Los índices griegos correspondientes a las primeras letras del alfabeto son índices en la hoja de mundo y toman valores 1,2.  Los índices griegos correspondientes a las letras a partir de la mitad del alfabeto son índices del espaciotiempo y toman valores desde 0 hasta d.

Ahora calculemos el intervalo relativista en nuestro espaciotiempo:

ds^2=-\eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu

Dado que las coordenadas espaciotemporales son funciones de las coordenadas de la hoja de mundo X^\mu(\xi^\alpha) la expresión anterior la podemos escribir como:

ds^2=-\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \xi^\alpha}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \xi^\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta

Pero hemos de darnos cuenta que aquí estamos definiendo una restricción de la métrica espaciotemporal de Minkowski (que vive en D dimensiones) a la hoja de mundo bidimensional obteniendo una métrica \gamma_{\alpha\beta} que llamaremos métrica inducida:

\gamma_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \xi^\alpha}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \xi^\beta}

Esta métrica es la que determina las distancias en la hoja de mundo y es claramente inducida por la métrica del espaciotiempo que contiene a la cuerda, la métrica de Minkowski en D dimensiones.

Ahora, en la hoja de mundo podemos calcular distancias como:

ds^2=\gamma_{\alpha\beta}d\xi^\alpha d\xi^\beta

Calculemos ahora las componentes de la métrica inducida:

Para ello usaremos la siguiente notación: \dot{X}^\mu=\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \tau}X'^\mu=\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}.

Es fácil comprobar (se puede considerar un ejercicio fácil):

1.- \gamma_{11}=\gamma_{\tau\tau}=\eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \tau}\dfrac{\partial X^\nu}{\partial \tau}=\dot{X}^2

2.- \gamma_{\tau\sigma}=\gamma_{\sigma\tau}=\dot{X}\dot X' Recordemos que la métrica ha de ser simétrica.

3.- \gamma_{\sigma\sigma}=X'^2

En forma matricial:

\gamma_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}\dot{X}^2&\dot{X}\dot X'\\ \dot{X}\dot X'&X'^2\end{pmatrix}

Y el determinante:

\gamma=det \gamma_{\alpha\beta}=\dot{X}^2X'^2-(\dot{X}\dot X')^2.

Ahora, por geometría diferencial se sabe que el elemento de área de una superficie con coordenadas \xi y métrica G_{\alpha\beta} viene dada por:

dA=\sqrt{-det G_{\alpha\beta}}d^2\xi

Así en nuestro caso tendremos:

dA=\sqrt{-\gamma}d\tau d\sigma

La acción por tanto será la integral entre un instante inicial y final de tiempo y en la lóngitud de la cuerda:

S=-T\int_{\tau_i}^{\tau_f}d\tau\int_0^l d\sigma\sqrt{-\gamma}

O en forma explícita:

S=-T\int_{\tau_i}^{\tau_f}d\tau\int_0^l d\sigma\sqrt{(\dot{X}\cdot X')^2-\dot{X}^2\cdot X'^2}

Y esta es la conocida como acción de Nambu-Goto.

Aquí finalizamos esta primera discusión sobre la cuerda.  En próximas entradas iremos obteniendo las ecuaciones de movimiento y distinguiendo los caso en los que la cuerda es abierta o cerrada.

Nos seguimos leyendo…

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10 Respuestas a “Cuerdas Clásicas: Acción de Nambu-Goto

  1. Es mi primsra vez que ingreso a este portal. no entendi nada, pero voy a leer un cuento cuantico cada dia, al final del tunal todo se aclara

  2. La accion de Nambu Goto permite estudiar particulas que se mueven a la velocidad de la luz?

  3. Pero si que se pone peliagudo esto, de nuevo aparece la raiz cuadrada que encierra la mètrica inducida en la ecuaciòn, no se si esto dificultarà la soluciòn al final, como en los otros casos, ya veremos.

  4. En verdad que està muy interesante, siguiendo la secuencia uno puede entender hacia donde nos lleva esto, ya veremos.

  5. Pingback: Acción de Polyakov 1 | Cuentos Cuánticos

  6. Pingback: Ecuaciones de movimiento de las cuerdas | Cuentos Cuánticos

  7. Se está poniendo muy interesante.
    Pero no he acabado de entender qué querías decir con: “Pero hemos de darnos cuenta que aquí estamos definiendo una restricción de la métrica espaciotemporal de Minkowski….”
    Mi pregunta es ¿por qué es una restricción? No la veo.
    Te seguimos leyendo….

    • Aquí hay un juego con dos métricas, la de Minskowski \eta en el espaciotiempo y la métrica en la hoja de mundo \gamma.

      La métrica de Minkowski en 4 dimensiones se puede ver como una matriz de 4×4 elementos. Si estamos en D dimensiones será una matriz de DxD elementos.

      La métrica de la hoja de mundo vive en un espacio de 2 dimensiones y se puede ver como una matriz de 2×2 elementos en dicho espacio.

      Pero no son independientes entre sí, la métrica \gamma se puede calcular a partir del conocimiento de la métrica en el espaciotiempo \eta y las relaciones entre las coordenadas espaciotemporales X^\mu y las de la hoja de mundo (que vive en dicho espaciotiempo) \xi^\alpha. En nuestro caso \mu=0,1,\cdots,d en total hay D componentes D=1+d y \alpha=0,1 que corresponde con las coordenadas (\tau, \sigma) en la hoja de mundo.

      Espero haber aclarado el tema un poquito.

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