Revisión de relatividad especial 2


Vamos a seguir con nuestra discusión sobre las bases de la relatividad especial.  En esta ocasión vamos a introducir las transformaciones de Lorentz y dejaremos el tratamiento relativista de energía y momento así como lo que entendemos por tiempo propio para una tercera parte.

Sabemos que este repaso de relatividad especial es muy breve y por eso iniciaremos un minicurso en formato pildorazos donde expondremos este tema con más detalle.

Transformaciones de Lorentz

Estas son las herramientas que nos permiten comparar las medidas y coordenadas efectuadas entre distintos sistemas de referencia inerciales. En esta entrada nos vamos a restringir al caso más simple aunque no supone ninguna pérdida de generalidad.

1.-  Tenemos un sistema de referencia S en el que estamos nosotros, por lo tanto está en reposo relativo respecto a nosotros mismos.

2.-  Ahora vemos otro sistema de referencia S’ que se mueve a lo largo del semieje positivo en la dirección x del sistema S (el nuestro) con velocidad constante v.

3.-  Todos los ejes de coordenadas son paralelos entre ambos sistemas y cuando los orígenes coincidieron se sincronizaron los relojes t=t'=0.

Se dice entonces que al sistema S’ se le asigna un parámetro de velocidad \beta=v/c (desde el sistema S, notemos que si le preguntamos a S’ lo vería todo igual pero con nuestra velocidad en sentido contrario).

La transformación de Lorentz que conecta a estos dos sistemas es:

x'=\gamma(x-\beta ct)

ct'=\gamma (ct-\beta x)

y'=y

z'=z

El factor \gamma se denomina factor de Lorentz:

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}

Si empleamos la notación con índices (x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)

x'^0=\gamma(x^0-\beta x^1)

x'^1=\gamma(-\beta x^0+x^1)

x'^2=x^2

x'^3=x^3

Por lo que hemos visto, el intervalo ha de ser invariante relativista:

(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2=(x'^0)^2-(x'^1)^2-(x'^2)^2-(x'^3)^2

Invariancia Lorentz del intervalo relativista

Siendo un poco más formales podemos decir:

Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales entre las coordenadas que mantienen el intervalo relativista invariante.

Introduzcamos un poco de notación:

Las transformaciones entre coordenadas entre los sistemas S y S’ se pueden escribir de este modo:

x'^\mu=\Lambda^\mu_\nu x^\nu

En forma matricial:

\Lambda=\Lambda^\mu_\nu=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}

Calculemos ds'^2:

ds'^2=\eta_{\mu\nu}x'^\mu x'^\nu

Ahora le preguntamos a S como ve este cálculo:

ds'^2=\eta_{\mu\nu}x'^\mu x'^\nu=\eta_{\mu\nu}(\Lambda^\mu_\alpha x^\alpha)(\Lambda^\nu_\beta)x^\beta=\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_\alpha\Lambda^\nu_\beta x^\alpha x^\beta

S por su parte calcularía el intervalo entre dos sucesos como:

ds^2=\eta_{\alpha\beta}x^\alpha x^\beta

Comparando ambas expresiones, y dado que el intervalo es invariante:

\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta=\eta_{\alpha\beta}

Lo que nos indica es que la métrica es un elemento invariante, todo observador inercial ve la misma métrica en el espaciotiempo.  Además vemos otra característica aquí, uno ha de introducir una transformación de Lorentz por cada índice que tenga un objeto.  Pondremos un factor \Lambda para un vector x^\mu y para la métrica \eta_{\mu\nu} necesitamos dos factores \Lambda.

Esta expresión se puede escribir como:

\Lambda^\mu_\alpha \eta_{\mu\nu}\Lambda^\nu_\beta=\eta_{\alpha\beta}

Y en notación matricial:

\Lambda^T\eta \Lambda =\eta

donde \Lambda^T indica que hemos usado la matriz traspuesta de la transformación. Recordemos que la traspuesta de una matriz es cambiar filas por columnas.

Y por último calculemos el determinante de una matriz de transformación Lorentz usando la expresión anterior.

det(\Lambda^T\eta \Lambda) =det(\eta)

El determinante de un producto de matrices es el producto de determinantes:

det(\Lambda^T)det(\eta) det(\Lambda) =det(\eta)

Simplificando el determinante de la métrica (que sabemos que da -1):

det(\Lambda^T)det(\Lambda) =1

Dado que el determinante de una matriz y de su transpuesta es el mismo:

det(\Lambda)^2 =1

Por lo tanto:  det\Lambda=\pm 1

Dado que el determinante de una matriz de transformación Lorentz nunca es nulo, las matrices son invertibles (como tiene que ser porque eso significa que S tiene que ver a S’ y poder calcular sus medidas y viceversa, S’ puede convertir las medidas y/o coordenadas de S en las suyas propias, implicando eso transformaciones de Lorentz inversas).

Nos seguimos leyendo…

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4 Respuestas a “Revisión de relatividad especial 2

  1. Gracias por el esfuerzo de ir construyendo poco a poco el puzzle.
    Es difícil encontrar niveles intermedios entre la pura divulgación y artículos muy técnicos.

  2. yo si lo entiendo será que ya acabe la carrera de fisica pura en la unt, pero bueno gracias a esta pagina ahora recuerdo muchas cosas y entiendo más, pues dejé de estudiar 2 años.

  3. En verdad que es un gran esfuerzo, tengo que pensarlo repensarlo una y otra vez antes que me de un corto circuito, pero vale la pena seguir la secuencia de esto.

  4. No me canso de leer y releer las entradas.
    Gracias por el esfuerzo.

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