Ejercicio en: La acción 2


Este ejercicio fue propuesto en la entrada: La acción 2

Partiendo de la expresión:

\delta S=\int \sum_i\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i\right)dt

Demuestra por una integral por partes que se llegamos a este resultado: 

\delta S=\int \sum_i \left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right)dt

recordando que las variaciones de las coordenadas en los puntos iniciales y finales se anulan.

Solución: 

La integral por partes nos dice: \int udv=uv-\int vdu

Tomemos la parte que involucra a \delta\dot{q} de la primera integral:

\int_{t_i}^{t_f} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt

Para no escribir tanto aquí entenderemos en lo que sigue:  \int_{t_i}^{t_f}=\int

Apliquemos la integral por partes en este caso:

1.-  u=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}

2.- dv=\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt

Por lo tanto:

1.-  du=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}dt

2.- v=\delta q_i

Agrupando todo esto tenemos:

\int \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i|_{t_i}^{t_f}-\int_{t_i}^{t_f}\delta q_i\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}dt

El primer término de la derecha es claramente cero porque las variaciones en los puntos inicial y final son nulas:  \delta q_{i}(t_{i,f})=0

Por lo tanto:

\int_{t_i}^{t_f}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dfrac{d}{dt}\delta q_i dt=-\int_{t_i}^{t_f}\delta q_i\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} dt

Sustituyendo en la variación de la acción es directo comprobar que obtenemos el resultado que deseabamos.

Nos seguimos leyendo…

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Una respuesta a “Ejercicio en: La acción 2

  1. En la comparaciòn con la ecuaciòn original veo como que no cuadra, hay un elemento en el denominador del primer tèrmino de la ecuaciòn que està puntuado arriba y al inicio no, pero todo lo demàs està correcto y muy bien llevado, podrìa decir excelente.

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