Cuerdas abiertas y cuerdas cerradas


En la entrada anterior en el minicurso de introducción a las supercuerdas introdujimos la acción de Nambu-Goto.  El siguiente paso sería encontrar las ecuaciones de movimiento. A estas se llegan extremando la acción:

\delta S=0

Y lo que obtenemos es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que necesitan de condiciones de contorno para ser resueltas.

En esta entrada lo que queremos es identificar estas condiciones de contorno que están relacionadas con que las cuerdas sean abiertas o cerradas.

Cuerdas abiertas y cerradas

Las cuerdas son filamentos de una dimensión.  Está claro que podemos tener cuerdas abiertas y cerradas, no tenemos ningún motivo para descartar una y otra desde un punto de vista físico.

Cuerda abierta
Cuerda cerrada

Cada caso introduce condiciones llamadas condiciones de contorno que hace que se puedan hallar las soluciones a las ecuaciones de movimiento de la cuerda en cada caso.

Condiciones de contorno para cuerdas abiertas

Las coordenadas de la cuerda son (\tau,\sigma), para una cuerda abierta podemos decir que \sigma\in [0,\pi], donde:

\sigma=0    y   \sigma=\pi son los puntos finales de la cuerda

Ahora, dentro de la cuerda abierta podemos tener dos situaciones:

1.-  La cuerda tiene los extremos libres.

2.-  La cuerda tiene los extremos fijados en alguna superficie (que en su momento podremos decir que los extremos están fijos en una brana).

Cada caso introduce una condición de contorno propia.

Condición de Neumann – Cuerda abierta con extremos libres

Está condición se formula del siguiente modo:

\dfrac{\partial L}{\partial X'_\mu}|_{\sigma=0,\pi}=0

Donde llamaremos P^\sigma_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial X'_\mu} por lo tanto podemos escribir:

P^\sigma_\mu|_{\sigma=0,\pi}=0

Esto se puede reescribir como:  \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}|_{\sigma=0,\pi}=0

Físicamente esto implica que no hay flujo de momento en los extremos de la cuerda.  Imaginemos esta situación:

1.-  Tenemos una cuerda con extremos libres, la última fórmula sobre la condición de Neumann establece que la pendiente de la cuerda en los puntos finales ha de ser cero.

2.-  Si no fueran cero significaría que los extremos tendrían una aceleración (la cuerda tiene una tensión que aplicaría una fuerza sobre el extremo). Dado que el extremo de la cuerda no tiene masa, la aceleración sería infinita, lo que nos conduciría a una situación no-física.

Con las condiciones de Neumann evitamos este problema.

Condición de Dirichlet – Cuerdas abiertas con los extremos fijos

Esta condición se formula de este modo:

\dfrac{\partial L}{\partial \dot{X}}|_{\sigma=0,\pi}=0

Esto se puede reescribir como:  P^\tau_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{X}}.

Lo que implica:  \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \tau}|_{\sigma=0,\pi}=0

Es decir, la derivada temporal de la posición no cambia, su velocidad es nula, y eso implica que la posición es fija.

Condición de contorno para cuerdas cerradas

En este caso nos tenemos que asegurar que las coordenadas son periódicas:

X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(\tau,\sigma+\pi)

Aquí sobran las explicaciones, ¿no?

Nos ocuparemos de sacar las ecuaciones de movimiento en la entrada siguiente de este curso.  Las ecuaciones de movimiento son generales, es decir, sirven para cuerdas abiertas y cerradas.  Lo que distingue cada caso es la imposición de las condiciones de contorno apropiadas.

Nos seguimos leyendo…

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5 Respuestas a “Cuerdas abiertas y cuerdas cerradas

  1. Como que empiezo a visualizar algo, luego de reanalizar la situaciòn y es que las condiciones de contorno me lo està indicando, creo que mas adelante con la formulacion de las ecuaciones de movimiento lo puedo ver mejor.
    Nos seguimos leyendo.

  2. Hay algo como que me ha dejado en el aire, no se lo que es, pero siento que falta algo en esto ùltimo y es con la condiciòn de contorno, tal vez màs luego esto pueda ser aclarado.

  3. Aquí no hemos derivado la segunda expresión porque para hacerlo hay que recurrir primero a la acción de Polyakov. Primero demostraremos que la acción de Nambu-Goto y la de Polyakov son equivalentes para la descripción de la cuerda. Y luego podremos ver que las condiciones de contorno son de la segunda forma.

    Lo importante es notar, que es lo que pretendíamos aquí, que esas condiciones implican que no hay flujo de momento en el extremos de las cuerdas (para cuerdas abiertas con extremos libres) o que la velocidad en los extremos es nula (para cuerdas abiertas con extremos libres).

    Más adelante retomaremos este tema y volveremos a derivar estas condiciones a partir de la acción de Polyakov.

    Un saludo

  4. Hola, nunca he estudiado cuerdas,
    ¿porque dices que \frac{\partial L}{\partial X'_u} se puede re-escribir como \frac{\partial X'^u}{\partial \sigma} ???
    no encuentro como hacerlo por medio de regla de la cadena,
    se parece a euler-lagrange, pero no me convence tampoco
    un saludo

  5. Abro en hilo en el foro para una parte oscura para mí.
    Gracias

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