Simetrías y Cantidades Conservadas: El Teorema Nöther


Continuamos con el curso de Introducción a la teoría cuántica de campos.  En esta ocasión nos preocuparemos de una cuestión importante, la relación entre simetrías y cantidades conservadas.

Esta relación se basa en el teorema Nöther (escrito muchas veces como Noether, y que su pronunciación aproximada no es “Neder” sino “Nuúeter” 😉 ).  Vamos a presentar este teorema en esta entrada a través de un ejemplo muy interesante. Posteriormente completaremos la discusión con una breve entrada del teorema en forma general.

Pero por favor, no dejéis de leer sobre Emmy Nöther una matemática estupenda en una época donde las mujeres no tenían cabida en la universidad y mucho menos en una carrera como la de Matemática.  Además que Emmy era originaria de Erlangen, ciudad a la que Cuentos Cuánticos está ciertamente unido.

Simetrías

Seremos muy breves en esta sección definiendo lo que entendemos por simetrías ya que luego veremos el concepto con todo su esplendor matemático.

Simetría:  Una simetría es un cambio en los objetos físicos de una teoría que dejan invariantes las ecuaciones del movimiento.  (Siendo precisos lo que ha de permanecer invariante es la acción o los paréntesis de Poisson que se traduce en invariancia de las ecuaciones del movimiento, a la inversa no tiene por qué cumplirse).

Las simetrías se catalogan en dos tipos:

Simetrías espaciotemporales o externas: Son transformaciones que involucran las coordenadas del espaciotiempo.  Los ejemplos son las traslaciones espaciales, las rotaciones y los cambios del origen de tiempos (traslaciones temporales).

Simetrías internas:  Son transformaciones en los campos que no involucran las coordenadas espaciotemporales.  Son cambios en características intrínsecas a los campos.

El teorema Nöther

Cada simetría de la acción lleva asociada una cantidad conservada.

Desde el punto de vista matemático una simetría es una variación de los campos y por tanto del Lagrangiano que determina la teoría que dejan invariantes las ecuaciones del movimiento (la acción o los paréntesis de Poisson).

Un ejemplo antes de la situación general

Supongamos que tenemos un campo \varphi que depende de las coordenadas espaciotemporales x^\mu.  Nuestra Lagrangiana (densidad Lagrangiana) como es usual dependerá del campo y sus primeras derivadas:  \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi)

Ahora efectuemos un desplazamiento pequeño y arbitrario de las coordenadas espaciotemporales a^\mu:

x^\nu\rightarrow x^\nu+a^\mu

Esto induce una variación en el campo:

\varphi(x)\rightarrow \varphi(a)\rightarrow \varphi(x)+a^\mu\partial_\mu\varphi

En general un campo sometido a una variación pequeña tiene la expresión:

\varphi\rightarrow \varphi+\delta\varphi

Comparando ambas expresiones tenemos:

\delta\varphi=a^\mu\partial_\mu\varphi

En general, cuando sometemos el Lagrangiano a una variación obtenemos:

\delta\mathcal{L}=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi}\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta(\partial_\mu\varphi)

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange: \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)

Entonces podemos escribir:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta(\partial_\mu\varphi)

Teniendo en cuenta que \delta(\partial_\mu\varphi)=\partial_\mu(\delta\varphi):

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\mu(\delta\varphi)

De esta forma podemos entender esta expresión como una derivada total:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta\varphi\right)

Ahora introducimos \delta\varphi=a^\mu\partial_\mu\varphi=a^\nu\partial_\nu\varphi, donde hemos empleado que tenemos índices mudos para renombrarlos:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi\right)a^\nu

El parámetro de desplazamiento espaciotemporal a^\nu es constante y por lo tanto sale de la derivada.

Por otro lado uno podría haber escrito la variación de la Lagrangiana directamente de la variación de las coordenadas:

\mathcal{L}=\mathcal{L}+\partial_\mu\mathcal{L}a^\mu

Esto implica que la variación de la Lagrangiana es:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\mathcal{L}a^\mu=\delta^\mu_\nu\partial_\mu\mathcal{L}a^\nu

Las dos variaciones tienen que ser iguales:

\delta^\mu_\nu\partial_\mu\mathcal{L}a^\nu=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi\right)a^\nu

Uniendo todos los términos en un único término obtenemos:

\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}\right)a^\nu=0

Dado que la variación en las coordenadas es arbitraria en esta expresión lo único que puede anularse es:

\partial_\mu\left(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}\right)=0

A este bicho que es muy importante le asignamos un símbolo:

T^\mu_\nu=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\nu\varphi-\delta^\mu_\nu\mathcal{L}

Y recibe el nombre de tensor energía-momento.  Este objeto, como veremos, contiene la información de la energía contenida en el campo y de su momento.

Dado que su derivada se anula \partial_\mu T^\mu_\nu=0 vemos que es una cantidad conservada (no hay variaciones con las derivadas, es decir, ni espacial ni temporalmente).

Veamos una de las componentes del tensor energía momento la (0,0):

T^0_0=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}}\varphi-\mathcal{L}

Esto señores es la densidad Hamiltoniana, y de ahí vemos que esa componente es la que contiene la información sobre la energía del campo:

T^0_0=\mathcal{H}

Además, si calculamos la derivada temporal \partial_0T^0_0=0, es decir, la energía total del sistema se conserva en el tiempo.

Si estudiamos las componentes T^0_i, donde i=1,2,3 identifica las componentes espaciales:

P^i=\int d^3xT^0_i nos da el momento del campo y también es una cantidad conservada.

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9 Respuestas a “Simetrías y Cantidades Conservadas: El Teorema Nöther

  1. Por tanto, si he entendido bien ¿El teorema de Noether demuestra la conservación de la energía? ¿Y podría demostrar el principio de la conservación de carga? Gracias!

    PD: Gran blog y qué pedazo de mujer Emmy

  2. Me parece que te equivocaste en la densidad Hamiltoniana, es con phi punto. Saludos, excelente blog

  3. Pingback: Anomalías | Cuentos Cuánticos

  4. o sea, creo que, tal vez escribirton \delta^\mu_n u , en vez de \delta^\mu_nu y ello produjo una inconsistencia de indices,
    saludos

  5. hola, primero que todo gracias por tan lindo blog :
    no entiendo porque la expresión
    \delta^\mu_\nu \partial_\mu \mathcal{L}

    despues la transforman en algo asi como \delta^\mu_n u \mathcal{L}

    despues esa misma expresion contribuye al tensor de energia momentum el cual posee indices ^\mu_\nu

    creo hay una inconsistencia,

    saludos

  6. PUES MUY LINDO METANSE TODOS LOS DIAS FELISIDADES

  7. En esta entrada puede notarse claramente el teorema de Nother, su aplicaciòn, y aquì puede decirse que existe una especie de recopilaciòn de los conocimientos obtenidos en las entradas anteriores, pero es un poco peliaguda, porque hay conceptos que como que se me escapan y no puedo dominar con precisiòn para poder tener un conocimiento cabal de todo, no se, tal vez porque parece ser que es la primera vez que me topo con la analìtica de la teorìa de campos.
    Todo està muy bien, la forma como CC lo ha enfocado tambien, he podido seguir la secuencia hasta el màximo, pero me temo que no puedo por mi mismo, seguir un procedimiento para resolver un ejercicio que tenga que ver con esta entrada, parece ser como que estoy un poco verde, tendrìa que madurar un poco.

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