Pildorazo Relatividad Especial: El intervalo relativista


Seguimos con nuestra visita a la relatividad especial que se puede encontrar en el Minicurso: Relatividad Especial.  En esta ocasión vamos a introducir el concepto de intervalo relativista.

Vectores

Antes de empezar con el intervalo relativista repasemos algunas cosas de los vectores.  Un vector en un espacio tridimensional \mathbb{R}^3 viene dado por tres números que especifican sus coordenadas en los tres ejes independientes (y ortogonales): (x,y,z)

Los vectores geométricos se representan como segmentos orientados, indicando su sentido por medio de una punta de flecha:

El módulo de un vector $\vec{V}=(x,y,z)$ se calcula aplicando una generalización del teorema de Pitágoras:

|V|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

O lo que es lo mismo:  V^2=x^2+y^2+z^2

dado que por definición el módulo de un vector es una cantidad positiva no hay problemas con el signo de la raíz cuadrada.

Esta cantidad tiene una característica interesante. Imaginemos que rotamos el vector un ángulo \theta (trabajaremos en dos dimensiones por comodidad).  Esto se puede ver como que hemos sometido al vector a una transformación que denotaremos por R.

\vec{V'}=R\vec{V}=R(x,y)=(x',y')  

Lo que está claro es que las coordenadas del vector cambiarán pero el módulo del vector original y del vector rotado es el mismo, es decir, diremos que el módulo del vector es invariante bajo rotaciones.

Este hecho es muy interesante porque  nos muestra que hay transformaciones de vectores que dejan aspectos de los mismos inalterados o invariantes.

En el espaciotiempo

Supongamos que tenemos dos sucesos en el espaciotiempo que vienen dados por las siguientes coordenadas: A=(ct_1,x_1,y_1,z_1) y B=(ct_2,x_2,y_2,z_2). La distancia entre los puntos se calculará siguiendo los siguientes pasos:

1.-  Calculamos la diferencia

B-A=(c(t_2-t_1),x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)=(cdt,dx,dy,dz)

2.-  Ahora calculamos el módulo al cuadrado de este vector, pero atención aquí hay un cambio importante que explicaremos más adelante, las coordenadas espaciales y temporales tienen signos opuestos en la expresión del módulo al cuadrado de dicho vector.  A este módulo al cuadrado lo llamaremos intervalo relativista o simplemente intervalo:

ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2

En este caso $ds^2$ no será siempre positivo, de hecho puede ser positivo, negativo o nulo y eso nos permite hacer la siguiente clasificación:

ds^2>0 (que significa que la parte temporal es mayor que la espacial) -> intervalo temporal, de tipo tiempo o de genero temporal.

ds^2=0 (que significa que la parte temporal compensa la espacial) -> intervalo nulo, de tipo nulo o de genero nulo.

ds^2<0 (que significa que la parte espacial es mayor que la temporal) -> intervalo espacial, de tipo espacial o genero espacial.

Más adelante veremos que implica esta clasificación respecto a los suceos que están separados según cada tipo de intervalo.

Tiempo propio

Si estamos en un sistema de referencia inercial que es el que está en reposo relativo al sistema físico que estamos estudiando, los sucesos que se den en el mismo tendrán una duración temporal que medidos por nuestro reloj denominaremos tiempo propio.  El tiempo propio se define como el intervalo cambiado de signo:

d\tau^2=-ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2

La importancia de intervalo

El intervalo es la cantidad invariante frente a las transformaciones que conectan sistemas de referencia inerciales que como veremos son las transformaciones de Lorentz (analogamente a lo que le ocurre a los vectores tridimensionales frente a rotaciones).

Pero esto tendrá que esperar a próximas entregas.

Nos seguimos leyendo…

 

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3 Respuestas a “Pildorazo Relatividad Especial: El intervalo relativista

  1. Te olvidaste de incluirlo en la serie 😛

    Pedazo serie loco

  2. Lo tuyo es la Pedagogia. fecicitarte por tu Blog.

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