Ecuaciones de movimiento de las cuerdas


En esta entrada vamos a presentar las ecuaciones del movimiento de las cuerdas clásicas. Para ello haremos la variación de la acción de Nambu-Goto.

Si has seguido el curso los cálculos de esta entrada han de ser naturales y fáciles de conseguir.  Dejaremos que la verificación de los cálculos quede como ejercicio y aquí sólo mostraremos los puntos esenciales.

Esta entrada se enmarca dentro del curso de Introducción a las Supercuerdas.

Ecuaciones del movimiento

La lógica de este cálculo es la de costumbre:

Variación de la acción \rightarrow \delta S=0 \rightarrow Ecuaciones del movimiento.

1.-  La variación de la acción da:

\delta S=-T \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau \int_o^l d\sigma \left(P^\tau_\mu \dfrac{\partial}{\partial \tau}(\delta X^\mu)+P^\sigma_\mu\dfrac{\partial}{\partial \sigma}(\delta X^\mu)\right)

2.-  Empleando la regla de la cadena es fácil ver que se cumple:

P^\tau_\mu \dfrac{\partial}{\partial \tau} (\delta X^\mu) = \dfrac{\partial}{\partial \tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu) - \delta X^\mu \dfrac{\partial P^\tau_\mu}{\partial \tau}

P^\sigma_\mu\dfrac{\partial}{\partial \sigma}(\delta X^\mu)=\dfrac{\partial}{\partial \sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)-\delta X^\mu\dfrac{\partial P^\sigma_\mu}{\partial \sigma}

4.-  Por lo tanto la variación de la acción puede ser escrita como:

\delta S = -T \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau \int_o^l d\sigma\left(\dfrac{\partial}{\partial \tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu) - \delta X^\mu \dfrac{\partial P^\tau_\mu}{\partial \tau}\right)

-T \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau \int_o^l d\sigma\left(\dfrac{\partial}{\partial \sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)-\delta X^\mu\dfrac{\partial P^\sigma_\mu}{\partial \sigma}\right)

5.- Como sabemos para obtener las ecuaciones del movimiento hemos de imponer que la variación de la acción se anule. Además sabemos que las variaciones de las coordenadas \delta X^\mu en los puntos inicial y final también se anulan. Esto hace que los términos que involucran las integrales de derivadas totales se anulan llegando a la expresión:

\delta S=T\int_{\tau_i}^{\tau_f}d\tau\int_{0}^{l}d\sigma \delta X^\mu\left(\dfrac{\partial P^\tau_\mu}{\partial \tau}+\dfrac{\partial P^\sigma_\mu}{\partial\sigma}\right)=0

6.-  Por tanto las ecuaciones del movimiento (con las correspondientes condiciones de contorno para el caso de cuerda abierta o cerrada a la hora de encontrar las soluciones) serán:

\dfrac{\partial P^\tau_\mu}{\partial \tau}+\dfrac{\partial P^\sigma_\mu}{\partial\sigma}=0

Ejercicio:

Partiendo de la Lagrangiana L=-T\sqrt{(\dot{X}\cdot X')^2-\dot{X}^2 X'^2} hallar las expresiones explícitas de P^\tau_\mu y P^\sigma_\mu

Nos seguimos leyendo…

 

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16 Respuestas a “Ecuaciones de movimiento de las cuerdas

  1. Todo lo tengo anotado en una mascota, que reviso siempre que tengo alguna duda.

  2. Si, esto està claro, lo que pasa es que uno no se pone a analizar los conceptos aprendidos con los nuevos conocimientos, todo es una secuencia, a veces tambien me siento perdido por eso, pero luego de revisar y revisar puedo verlo mejor, por ejemplo para entender el paso 2 del ejercicio tuve que remitirme a lo aprendido inicialmente con los operadores, porque no todo debe ser indicado, si que me diò mucho trabajo y con un poco de laguna, pero creo que puedo salir a camino.
    Nos seguimos leyendo.

  3. Podrías explicitar más cómo se llega a “La variación de la acción da:…..”
    Creo que con la notación me hago un pequeño gran lío.

    Muchas gracias!

    • La acción es: S=\int d\tau\int d\sigma L(\dot{X}, X')

      Al variar la acción \delta S tenemos que variar el lagrangiano \delta L

      Los momentos se definen así:

      P^\sigma_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial X'^\mu}

      P^\tau_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{X}^\mu}

      que son los momentos correspondientes a la coordenada espacial y temporal en la hoja de mundo que describe la cuerda en su movimiento por el espaciotiempo.

      La variación del Lagrangiano es:

      \delta L = \dfrac{\partial L}{\partial X'^\mu}\partial_\sigma(\delta X^\mu)+\dfrac{\partial L}{\partial \dot{X}^\mu}\partial_\tau(\delta X^\mu)

      Espero que esto te aclare la notación y lo de la variación del lagrangiano. Si necesitas más detalles no dudes en pedirlos y tienes una introducción a la teoría clásica de campos donde esto se desarrolla extensamente en el curso de introducción a la teoría cuántica de campos.

      Un saludo y ánimo.

  4. Edazez, totalmente de acuerdo, una de las grandes cosas que tiene este blog es que no solo exponen tambiémn explican…

    Otro tema, no dejen en el tintero el comentario que alguien hizo por ahí en el sentido de pasar estas entradas a pdf. A veces como debo leer y reeleerlas para poder entenderlas, sin duda que si están en ese formato es más facil manipularlas sin estar necesariamente conectados.

    Otro aporte, a veces me ha resultado confusa la notación. Sin duda que es un estándar, pero sería de mucha utilidad que le dedicaran un par de fraces en la medida que van apareciendo nuevo términos, pues así cuando uno se le enredan las cosas puede volver a esa defición y retomar el hilo.

    Gracias, los seguimos leyendo …

    • Ok, nos pondremos con pasar todo esto a pdf pero serán las entradas literales, nuestro plan era otro pero esto es un blogocracia así que pondremos las entradas de los cursos técnicos en pdf.

      Cuando la notación te confunda por favor indícanos dónde no queda clara, así lo corregimos y ganamos todos.

      Muchas gracias por las sugerencias.

  5. No voy a entrar en esta extraña disputa, pero puedo confirmar que cuando he tenido una duda o algo no lo he visto claro del todo, siempre han intentando aclararlo desde este blog.

    Animo. Te seguimos leyendo……

  6. “…actualmente estos temas ni tan siquiera se estudian en el grado de física y son temas que se dejan para el master…” Ya entendí, el que esta fuera de fase soy yo.

  7. Esto va a requerir de un esfuerzo complementario….

  8. Si la musa se le fue, o ese don que Dios le dio de hacer lo inefable, entendible, se fue. No se desespere, ya bajara, ya vendrá la inspiración, si eso nació con usted ya volverá, estoy seguro que volverá, muestra nos ha dado de que lo tiene. Quizás lo que no estas consiente que esto es; difícil, difícil, agotador, agotador, mas difícil que hacer ciencia. Sino, ¿por que hay tan pocos éxito en esta rama? Una vez que consigues una línea “editorial” exitosa, no te puedes desviar de ese eje, no te puedes desfasar, en lo místico, por lo que tus fan te siguen, no te asustes, es el peso o el precio de la fama, algo que ningún humano ha podido llevar sin tropiezos sobre sus hombros, es normal, sin saberlo ya eres un personaje publico virtual. Es lo que no estamos entendiendo los simples mortales y no han entendido, los estudiosos, las instituciones y eruditos, los poderosos de la Internet, los poderosos partidos, los poderosos millonarios, los poderosos políticos, es lo que se esta cocinando, es parte de lo que esta pasando en el mundo en estos días, y que las personas sin miras dan explicaciones aturdidas. Eres un personaje público, sin quererlo, un poderoso personaje publico, con ética…, la parte buena. Usted lo demostró sin darse cuenta, cuando defendió sus criterios, y doblego al gran capital, usted solito, ¿no se da cuenta lo que hizo?, no esta conciente todavía que lo que hizo será en el futuro la norma. Es que los académicos (de humanidades) hablan como papagayos sobre el poder de la Internet, pero mecánicamente, porque en realidad no lo tienen claro, modestia y aparte; como yo. Eso antes no era posible. Se acabara el talento fabricado, porque con solo un clic sabremos hasta quien es quien. Esta llegando la época del talento y el poderoso clic. ¿Será el siglo de Don CLI? Lo bautizo como “el SIGLO DE DON CLIC”. Es la libertad que se avecina en unos 10 anos, es el nuevo siglo. Donde los inmorales, seguirán siéndolo, pero con “ética”, no en la careta del queche (receptor) (jerga del baseball). Es la calidad que se va a imponer, por encima de los controles subliminales a los que estamos sometidos, por encima de lo mediocre, por encima de las poderosas manipulaciones divulgativas. Sino porque la gente te lee, cuando la red esta llena de miles de cosas buenas, por que te escogen. Medita, algún don especial tienes, por eso te distinguimos. Púe si Dios te lo dio, capitalízalo, “si la envidia fuera tiña (enfermedad), cuantos tiñosos (tiñosa: ave carroñera) no hubiera”. (Por cierto que ganas tengo que en este siglo, se acabe en los teclado, con la discriminación con la ene “ñ”)
    tomwoodgonzalez@hotmail.com

    • No creo que haya entendido nada de este comentario, pero de lo que he creído entender permíteme que te diga:

      a) No confundas cursos técnicos con entradas de divulgación. Eso ya lo he explicado en el otro comentario.

      b) No somos famosos ni nada por el estilo, esto lo hacemos principalmente porque nos divierte y porque aprendemos mucho.

      c) Creo que hemos sido muy claros en la distinción entre cursos técnicos, minicursos y entradas generales de divulgación. No estamos traicionando ni cambiando de estilo es más bien que estamos trabajando mucho para poder llevar hacia buen puerto este blog que se puede entender como de divulgación y de formación. Es un blog con tres niveles simultáneos, estamos tratando muchos temas y estamos trabajando duro para hacerlo, en cada nivel, lo más asequible y entendible posible.

  9. “…es fácil ver…” Desde las condiciones de frontera que usted dio de Neumann y Dirichlet, y lo demás…, veo como que esto se fue de fase, noto como que usted quiere tratar esto para después, remitir a los lectores. Usted me disculpa si de esta forma que lo esta enfocando usted lo ve fácil, yo estoy seguro, y la cantidad de comentarios lo demuestran, que la mayoría no lo ha entendido. Porque un estudiante de física para llegar a ese punto, tiene que quemar bastante mecha y muchos hacen bien los cálculos y aprueban de forma mecánica, pero en realidad entendieron su matemática, pero de ahí modelar la física que hay detrás, va un gran trecho. Usted lo expone como si eso fuera evidente, creo que se esta autocomplaciendo o este blog es solo para estudiantes de física y los de mas arriba. En resumen esta apretando demasiado, demasiado. Quemar etapas, (si esto es un blog de divulgación científica), en detrimento de la calidad didáctica, lo puede hacer cualquier profesor universitario, lo que al parecer les esta vedado a los catedráticos es hacerse entender por la mayoría. Es que al parecer la luz que Dios le dio de un lado, fue quitándole luz en otro. Le aumento la vista en un ojo, pero los dejo miope del otro. Si no hay otra forma de explicarlo, que se entienda, con remitirlos a varios libros con diferentes enfoques se logra lo mismo o mas. Pero para mí la hazaña no esta en decirlo, sino en como se dice, eso hace la diferencia. En decirlo sintético, y que todos entienda y usted a dado muestras de que si se puede, y esa confianza, usted la ha hecho crecer y ahora la esta traicionando. tomwoodgonzalez@hotmail.com

    • “…es fácil ver…” Desde las condiciones de frontera que usted dio de Neumann y Dirichlet, y lo demás…, veo como que esto se fue de fase, noto como que usted quiere tratar esto para después, remitir a los lectores.

      Cuando se dice “… es fácil ver…” es porque en las entradas previas en este curso se han explicado pormenorizadamente todos los pasos necesarios para llegar a esa expresión a la que nos referimos.

      Por otro lado hay que recordar que esto es un curso técnico, es decir, que si uno se pone a leerlo tiene unos ligeros conocimientos mínimos (derivar, regla de la cadena, etc). Aún así hemos detallado todos los cálculos hasta ahora. En esta entrada, que toda ella se puede considerar un ejercicio, no hemos detallado de nuevo dichos cálculos porque ya están expuestos y porque alguien que esté siguiendo activamente el curso ha de poder llegar a esas expresiones (y si está siguiendo el de teoría cuántica de campos a la vez pues más aún). No confundamos las entradas de divulgación con las entradas de cursos técnicos porque su objetivo es totalmente diferente. Las primeras son para todos los públicos las segundas son para aquellos que quieren aprender teoría cuántica de campos o supercuerdas y para ello hace falta esfuerzo y algunos conocimientos previos.

      La discusión que estamos realizando de estos cursos técnicos es totalmente pormenorizada y tenemos que tener en cuenta que actualmente estos temas ni tan siquiera se estudian en el grado de física y son temas que se dejan para el master, así que el esfuerzo que estamos realizando para ir paso a paso y permitiendo reposar e indicar lo que un lector que los esté siguiendo debería de ser capaz de calcular sin ayuda en cada entrada. Pero, repito, es un curso técnico y no divulgativo, por ello consideramos que pedagógicamente es un curso excelente (aunque suene a inmodestia) y que cualquier con unos mínimos conocimientos de física y matemáticas puede llegar a aprender sobre estos temas. Pero mínimos conocimientos no significan conocimientos nulos, evidentemente en el blog no podemos empezar desde cero porque entonces diseñaríamos toda una carrera de física y por razones obvias eso es inviable, tal vez cuando el blog lleve 15 años se acerque más a ello.

      Por otro lado, estamos abiertos a cualquier pregunta y creo que hemos viniendo aclarando cualquier cálculo que se nos haya indicado que había quedado oscuro en la entrada, así que si alguien no ve algo claro sólo tiene que decirlo y procederemos a aclararlo. Se nos dijo que la relatividad especial no estaba clara y hemos iniciado dos minicursos al respecto empezando desde cero en ese tema, en fin, que no creo que por nuestra parte haya ninguna muestra de querer elevar el nivel sino de hacerlo todo lo más asequible posible pero es que no nos es posible empezar desde nivel 0 absoluto.

      Usted lo expone como si eso fuera evidente, creo que se esta autocomplaciendo o este blog es solo para estudiantes de física y los de mas arriba. En resumen esta apretando demasiado, demasiado.

      Vuelvo a insistir, una cosa son los cursos técnicos que están ahí para aquellos que quieran seguirlos ya sea porque tienen curiosidad y los conocimientos previos que se necesitan o porque quieren esforzarse. Pero no podemos empezar de cero en los cursos técnicos, que en ningún modo pretenden ser divulgación, así que no confundamos los términos. Los cursos técnicos están pensados para una introducción a los temas que la gente que quiera puede ir mirando para ir aprendiendo, intentan cubrir el salto que hay entre los contenidos de un grado en física y un doctorado cosa que no existe por el momento.

      Quemar etapas, (si esto es un blog de divulgación científica), en detrimento de la calidad didáctica, lo puede hacer cualquier profesor universitario, lo que al parecer les esta vedado a los catedráticos es hacerse entender por la mayoría. Es que al parecer la luz que Dios le dio de un lado, fue quitándole luz en otro. Le aumento la vista en un ojo, pero los dejo miope del otro. Si no hay otra forma de explicarlo, que se entienda, con remitirlos a varios libros con diferentes enfoques se logra lo mismo o mas. Pero para mí la hazaña no esta en decirlo, sino en como se dice, eso hace la diferencia. En decirlo sintético, y que todos entienda y usted a dado muestras de que si se puede, y esa confianza, usted la ha hecho crecer y ahora la esta traicionando.

      No siento que se esté traicionando nada, cualquiera que haya seguido las entradas anteriores sin problemas tiene que ser capaz de al menos saber como afrontar los cálculos de esta. Y las entradas correspondientes a los cursos no se pueden ver aisladas, porque entonces no tienen sentido, son partes indisolubles del curso. Esto significa que para entender la entrada 4 uno ha tenido que entender todas las anteriores. Insisto, esto no es divulgación, las entradas de divulgación tienen otro tono. Y nosotros ya dijimos que no abusaríamos de eso de “es trivial comprobar”, “es fácil ver”, pero en este caso (y está dicho en la entrada) toda la entrada se puede considerar como un ejercicio, así que si alguien está siguiendo el curso ha de ser capaz de calcular todo lo que se dice en esta entrada.

  10. Un aplauso para todos los que sepan hacer esto.
    A mi en el instituto solo me enseñan Quimica, tendre que aprender Fisica por mi cuenta.

    • Todo está en ir intentándolo y si tienes alguna duda sólo tienes que preguntar. Sólo hay que ir siguiendo el curso sin prisa y dedicarle un rato. Pero todo es posible, sólo hay que dedicarle un ratito 😉

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