Relatividad Regla y Lápiz 3


Hoy nos proponemos entender cómo se “suman” velocidades en relatividad especial.  La fórmula de marras es poco intuitiva y su derivación formal es, por decirlo de algún modo, desagradable aunque ya lo haremos en el minicurso de Relatividad Especial llegado el momento.

Aquí vamos a ver como con unos simples trazos y siguiendo las indicaciones del cálculo K de Bondi podemos llegar a dicha fórmula sin mayor problema.

Esta entrada es la tercera del Minicurso de Relatividad Especial Visual.

Siguiendo a Galileo

En nuestra vida diaria tenemos la costumbre de componer o sumar velocidades siguiendo el método de Galileo, esto de hecho es lo que hay que hacer para velocidades pequeñas en comparación a la velocidad de la luz.  Vamos a revisar el método Galileano de composición de velocidades.

1.-  Supongamos que estamos mirando una carretera y que nosotros nos consideramos en reposo (por ejemplo respecto a los palos de la luz), nos llamaremos sistema A.

2.-  Ahora pasa un coche, que llamaremos sistema B, con una velocidad relativa a nosotros V(AB) de 50 km/h.

3.-  También pasa otro coche, que llamaremos sistema C, que tiene una velocidad relativa a B, V(BC) de 30 km/h.

La situación viene representada en la siguiente figura:

 La pregunta es ¿cuánto vale V(AC)? Y la solución es simple, si respecto a B el sistema C se mueve a 30 km/h y a su vez el sistema B se mueve respecto a A a 50 km/h, la velocidad de C relativa a A será:

v_{AC}=v_{AB}+v_{BC}=80 km/h

Sin embargo esto no se puede cumplir así en relatividad porque imaginemos que C es un fotón, y entonces la velocidad respecto a B tiene que ser c pero si aplicamos la fórmula Galileana la velocidad con respecto a A sería:

v_{AC}=v_{AB}+c > c

Y sabemos que en relatividad especial todo observador tiene que medir la misma velocidad de la luz.  Por eso la fórmula para calcular sumas de velocidades es en el caso relativista:

v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+v_{BC}}{1+\dfrac{v_{AB}v_{BC}}{c^2}}

Ahora supongamos que v_{BC}=c, entonces tendríamos:

v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+c}{1+\dfrac{v_{AB}c}{c^2}}=\dfrac{v_{AB}+c}{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}

Pero  v_{AB}+c=c(1+\dfrac{v_{AB}}{c}), por tanto tenemos:

v_{AC}=c\dfrac{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}{1+\dfrac{v_{AB}}{c}}=c

Con lo cual A también ve que C se mueve a la velocidad de la luz, como tiene que ser.  Derivemos esta fórmula haciendo uso de los dibujitos.

En lo que sigue trabajaremos con unidades en las que c=1 (unidades naturales en relatividad especial, es decir, que todas las velocidades están medidas respecto a la velocidad de la luz pudiendo valer entre 0 y 1).  Por tanto la fórmula quedará:

v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+v_{BC}}{1+v_{AB}v_{BC}}

Composición relativista de las velocidades

1.- Tenemos 3 sistemas, A, B y C moviéndose relativamente uno respecto a otro:

 2.-  Ahora A emite dos rayos de luz separados por un intervalo temporal T:

3.-  Como vimos en la primera entrada de este minicurso a B le llegarán estos rayos de luz en un intervalo de tiempo T multiplicado por su respectiva k(AB) y a C le llegarán estos en un intervalo de tiempo respecto a B multiplicado por k(BC):

4.-  Si no estuviera el sistema B hubieramos empleado directamente la cantidad k(AC), así que este factor k(AC)=k(BC)k(AB):

k_{AC}=k_{BC}k_{AB}

Como vimos en la entrada anterior la k se puede expresar como una relación entre la velocidad relativa de dos sistemas:

k_{AB}=\left(\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)^{1/2}

Entonces tenemos que k_{AC}=k_{BC}k_{AB} es una expresión del tipo:

\left(\dfrac{1+v_{AC}}{1-v_{AC}}\right)^{1/2}=\left(\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\right)^{1/2}\left(\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)^{1/2}

Ahora despejemos v_{AC} siguiendo estos pasos:

1.-  Elevamos al cuadrado toda la expresión:

\dfrac{1+v_{AC}}{1-v_{AC}}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}

2.-  El denominador del término de la izquierda lo pasamos al otro miembro multiplicando:

1+v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}(1-v_{AC})

3.-  Efectuamos la multiplicación del término de la derecha de las dos fracciones con el paréntesis:

1+v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}

4.-  Agrupamos en el miembro de la izquierda todos los términos con v_{AC}

v_{AC}+\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}v_{AC}-1

5.-  Sacamos factor común la velocidad v_{AC}

v_{AC}\left(1+\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}\right)=\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-1

6.-  Aislamos el término que nos interesa en el lado izquierdo (pasamos todo lo demás a la derecha dividiendo):

v_{AC}=\dfrac{\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}-1}{\dfrac{1+v_{BC}}{1-v_{BC}}\dfrac{1+v_{AB}}{1-v_{AB}}+1}

7.-  Recordemos que siempre podemos escribir:

1=\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}

8.-  Sustituyendo en la fórmula de interés:

v_{AC}=\dfrac{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}-\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}+\dfrac{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}

9.-  Esto se puede escribir:

v_{AC}=\dfrac{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})-(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}{\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})+(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1-v_{BC})(1-v_{AB})}}

10.-  Cancelando los denominadores de las fracciones que estamos dividiendo:

v_{AC}=\dfrac{(1+v_{BC})(1+v_{AB})-(1-v_{BC})(1-v_{AB})}{(1+v_{BC})(1+v_{AB})+(1-v_{BC})(1-v_{AB})}

11.-  Desarrollando los productos nos queda:

v_{AC}=\dfrac{1+v_{AB}+v_{BC}+v_{AB}v_{BC}-1+v_{AB}+v_{BC}-v_{AB}v_{BC}}{1+v_{AB}+v_{BC}+v_{AB}v_{BC}+1-v_{AB}-v_{BC}+v_{AB}v_{BC}}

12.-  Cancelando los términos apropiados:

v_{AC}=\dfrac{2v_{AB}+2v_{BC}}{2+2v_{AB}v_{BC}}=\dfrac{2(v_{AB}+v_{BC})}{2(1+v_{AB}v_{BC})}

Quedando:

v_{AC}=\dfrac{v_{AB}+v_{BC}}{1+v_{AB}v_{BC}}

Hemos hecho un poco de lápiz pero mola 🙂 (Derivarlas a partir de las transformaciones de Lorentz es casi peor, ya lo veremos)

Nos seguimos leyendo…

 

 

 

 

 

 

3 Respuestas a “Relatividad Regla y Lápiz 3

  1. Hay un vAC de más en 4

  2. Todo un agrado este enfoque, claro y simple

  3. Completamente claro.
    Comparado con otros post, casi demasiado.
    Te seguimos leyendo…

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