Teorema Nöther: Corrientes y Cargas conservadas


En la entrada anterior del curso de Introducción a la Teoría Cuántica de Campos presentamos el teorema Nöther a través de un ejemplo.  En esta ocasión queremos dar una versión más general del mismo donde introduzcamos el concepto de corriente y carga conservada.

Corriente conservada

Tenemos un campo \varphi y lo sometemos a una variación considerada pequeña:

\varphi\rightarrow \varphi+\delta\varphi

Esto conlleva una variación en la Lagrangiana del sistema:

\mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}+\delta\mathcal{L}

Si la transformación que estamos realizando es una simetría del sistema la variación del Lagrangiano es nula, o lo que es lo mismo, el Lagrangiano no cambia su forma:

\delta\mathcal{L}=0

Recordemos que la Lagrangiana es una función del campo y sus derivadas: \mathcal{\varphi,\partial_\mu\varphi}.  Por lo tanto su variación se escribe:

\delta\mathcal{L}=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}\delta\varphi+\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\partial_\mu(\delta\varphi)

También sabemos que se han de cumplir las ecuaciones de movimiento, lo que implica que se han de satisfacer las ecuaciones de Euler-Lagrange, por lo que:

\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)

Sustituyendo esto en la expresión de la variación de la Lagrangiana nos queda:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)\delta\varphi+\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)\partial_\mu(\delta\varphi)

Pero notemos que \partial_\mu(AB)=(\partial_\mu A)B+A(\partial_\mu B).  Así pues, llamando A=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}  y  B=\delta \varphi la expresión anterior es simplemente:

\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta \varphi\right)

Dado que \delta\mathcal{L}=0 tenemos que:

\partial_\mu\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta \varphi\right)=0

Dado que si la derivada de algo es nula ese algo es una constante, si llamamos:

J^\mu=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\delta \varphi

y la llamamos corriente conservada, tenemos la condición:

\partial_\mu J^\mu=0

Esta corriente representará el flujo de una magnitud física y la iremos particularizando en cada caso en las entradas siguientes.  La anterior ecuación es una ley de conservación.

Nota:  Aquí lo único que queremos es poner de manifiesto la existencia de un objeto que denominamos corriente conservada y que verifica una ecuación específica.  Luego particularizaremos a distintos casos y veremos por ejemplo en el caso electromagnético que esto involucra la ley de conservación de la carga y la corriente eléctrica.

Características del teorema de Nöther

1.- El teorema Nöther se puede formular del siguiente modo:

Para toda simetría continua del Lagrangiano existe una corriente conservada J^\mu

2.-  De una corriente conservada podemos obtener una carga conservada que se calcula como la integral espacial de la componente 0 de la corriente conservada:

Q=\int d^3x J^0

Nos seguimos leyendo…

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11 Respuestas a “Teorema Nöther: Corrientes y Cargas conservadas

  1. Pingback: Anomalías | Cuentos Cuánticos

  2. El desarrollo que se hizo es para el caso de simetria interna, cuando la simetria es espaciotemporal el variacional del lagrangiano no es nulo. En ambos casos se cumple el teorema de noether ya que las dos son simetrias continuas.

  3. en el caso de partículas, tambien se pueden calcular cargas?

  4. para calcular las cargas,
    ¿ solo se calcula Q en el indice \mu=0 ? (ultima forma)

    ¿que vendria siendo \int d^3x J^\mu con \mu \neq 0 ?????

    • Las corrientes conservadas tienen su componente cero que sería la densidad de carga. El resto de componentes te daría la corriente asociada a esa carga (es igual que en electromagnetismo). La integral (de superficie) de las corrientes te daría su flujo.

  5. esto ultimo, sobre corrientes conservadas:
    ¿ es similar al caso de particulas, donde se conserva el momentum en caso de simetria traslacional, el momento angular en simetria rotacional y energia en simetria temporal (creo era asi, no estoy seguro)?
    saludos….

  6. Bueno, pues ahora si, esto està muy claro.

  7. rosgori@yahoo.com

    Sólo quiero saber si la forma de escribir las ecuaciones es tensorial.

  8. Esta vez, perfectamente claro.
    Gracias por el esfuerzo.
    Te seguimos leyendo.

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