Relatividad, Regla y Lápiz 4: Dilatación temporal


En esta entrada correspondiente al minicurso de Relatividad Especial Visual vamos a estudiar el efecto de dilatación temporal.  Este es un efecto muy popular y vamos a intentar presentarlo visualmente y aclarando que es un efecto relativista (es decir, se da en dos sentidos) y puramente cinemático, lo que quiere decir que se da entre sistemas que se mueven con velocidad uniforme (sin aceleración).

La situación

1.- Tenemos dos sistemas A y B en movimiento relativo.

Lo que viene ahora es importante:

Elegimos estar en el sistema A, por lo tanto nosotros estamos en reposo en ese sistema de referencia y el sistema B se mueve respecto a A con una velocidad v.  Esta velocidad se mide respecto a la velocidad de la luz, es decir que en realidad estamos hablando de la cantidad v/c.  Ya que v<c está cantidad siempre es menor que 1 y sólo es uno cuando v=c (para partículas sin masa).

En un determinado momento A y B se cruzan y aprovechan para poner sus relojes a 0.

2.- Tanto A como B tienen un reloj que está en reposo relativo a cada uno de ellos respectivamente.  El tiempo en el reloj A lo representamos por t y el tiempo en el reloj B lo representamos por T.

El sistema B se mueve a una velocidad v por lo tanto después de un tiempo t medido desde el reloj A, la distancia entre A y B vendrá dada por vt.  Recordemos que aprendimos a determinar distancias en la primera entrada “Relatividad, Regla y Lápiz 1”

Esta imagen anterior significa:

Después de un tiempo t en el reloj A tenemos que B se ha separado una distancia vt.  Para determinarlo A envió una señal en el tiempo t-vt y recibió su reflejo en el tiempo t+vt. Todos los tiempos medidos por A.

Ahora preguntémonos que pasa en B.

A B le llega una señal luminosa en un tiempo T medido por su reloj.

Pero como hemos discutido en las anteriores entradas, T=k(t-vt) donde empleamos el factor k de Bondi.

B devuelve la señal hacia A y llega (en el reloj de A) en el tiempo t+vt, pero aplicando el factor k de Bondi tenemos: t+v=kT.  Pero eso quiere decir que:

t+vt=k^2(t-vt)

Si despejamos k, como hicimos en la entrada “Relatividad, Regla y Lápiz 2”, encontramos:

k=\left(\dfrac{1+v}{1-v}\right)^{1/2}

Ok, esto ya lo habíamos hecho, ¿pero dónde está la dilatación temporal aquí?

Dilatación temporal

Demonos cuenta que la expresión:

T=k(t-vt)

Nos relaciona el tiempo medido por el reloj en B, (T), con el tiempo medido por el reloj en A, (t).

Por tanto si le preguntamos al observador en A cómo ve el ritmo del reloj B nos dirá:

T=\sqrt{\dfrac{1+v}{1-v}}(t-vt)

Sacamos factor común t del miembro de la derecha:

T=t(1-v)\sqrt{\dfrac{1+v}{1-v}}

El factor (1-v) lo metemos dentro de la raíz quedando por tanto elevado al cuadrado en su interior:

T=t\sqrt{\dfrac{(1+v)(1-v)^2}{1-v}}

Ahora operamos dentro de la raíz:

T=t\sqrt{(1+v)(1-v)}

Tenemos una multiplicación del tipo (a+b)(a-b)=a^2-b^2.   Así pues:

T=t\sqrt{1-v^2}

¿Eso qué significa?

Pues significa que para el observador A el ritmo del reloj B (dado por T) es más lento.  Notemos que v<1, por tanto v^2<1, por tanto la raíz cuadrada es menor que uno y por lo tanto al multiplicarlo por t el resultado es menor.  Eso lo que quiere decir es que por cada segundo que pasa en el reloj de A este observador ve que en el reloj B sólo ha pasado una fracción de segundo.  Por tanto el ritmo del reloj B a juicio del observador A es más lento que el reloj que tiene él.

Ahora la pregunta es qué pasa si en vez de considerar que nosotros estamos en reposo respecto a A vamos junto al observador B y hacemos el mismo ejercicio…

¿Adivináis lo que pasa?

Pues sí, B diría que t pasa más lento que su tiempo T.  ¿Lo compruebas?

Conclusión

El fenómeno de dilatación temporal se pone de manifiesto cuando le pedimos a un observador que nos diga como ve el ritmo de un reloj de otro observador respecto de su propio reloj.

Es un trabalenguas… pero no somos capaces de simplificarlo más, cualquier ayuda será bienvenida.

Pero lo que tiene que quedar claro es que no involucra más que dos observadores en movimiento rectilíneo y uniforme relativo, es decir, no hace falta aceleraciones o fuerzas.

Este proceso es simétrico, pasa en los dos sentidos.  Y sí, ahora habría que hablar de gemelos pero eso ya otro día 😉

Nos seguimos leyendo…

 

 

5 Respuestas a “Relatividad, Regla y Lápiz 4: Dilatación temporal

  1. Pingback: Conversaciones con mi Nexus7 sobre gemelos relativistas | Cuentos Cuánticos

  2. Dice “tenemos t+v=kT”, ¿no debería ser t+vt=kT?

  3. Aclaro el reloj del saltelite GPS

    • En los GPS hay varios factores, los satélites están moviéndose unos respecto a otros y además están sometidos a un efecto gravitacional que también modifica el ritmo de los relojes situados en puntos donde hay diferente intensidad de la gravedad. El análisis de este caso es mucho más “complejo”. Pero decir que relatividad especial funciona muy bien cuando estudiamos la física con observadores inerciales (movimiento rectilíneo uniforme), para observadores más generales hay que emplear relatividad general.

  4. Una pregunta, que pasa si el movimiento no es rectilineo, porque he leido que los satelites GPS tienen una correccion relativista. Un saludo.

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