De Newton a la ecuación de Friedmann. Primera Parte


El estudio de la cosmología se basa en la comparación entre modelos teóricos que obtenemos del estudio del universo bajo la perspectiva de la Relatividad General y las observaciones que realizamos entre distintas características del mismo.

Un ingrediente esencial viene dado por lo que se conoce como ecuaciones de Friedmann. Estas ecuaciones tienen esta forma:

\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}

No nos asustaremos por la fórmula, introduciremos y explicaremos cada término detalladamente. El objetivo de estas entradas que planeamos es mostrar como se pueden llegar a estas ecuaciones empleando la teoría de la gravitación universal de Newton que con mayor o menor profundidad todos hemos estudiado en nuestra vida. En concreto en esta vamos a presentar el punto inicial para este estudio y refrescar o repasar algunos detalles de la teoría de Newton, la densidad y el principio cosmológico.

Esta es la segunda entrada del minicurso: Cosmología, una introducción fácil.

Repasando la teoría de Newton

La fórmula fundamental de la teoría de gravitación universal de Newton nos dice que la fuerza con la que se atraen dos cuerpos, uno de masa M y otro de masa m,  separados por una distancia r tiene la forma:

F=G\dfrac{Mm}{r^2}

Un cuerpo de masa m por estar en presencia de otro cuerpo de masa M tiene una energía que se llama energía potencial gravitatoria V que tiene la forma:

V=-G\dfrac{Mm}{r}

El signo menos en esta fórmula únicamente indica que la gravedad es atractiva.

El cuerpo de masa m puede estar en movimiento, con una velocidad v respecto al cuerpo de masa M tiene una energía debida a su movimiento, la energía cinética T, esta energía tiene la forma:

T=\dfrac{1}{2}mv^2

Además sabemos que la energía total del sistema se conserva. Si esta energía total que llamamos U es la suma de la energía cinética y potencial obtenemos:

U=T+V=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{Mm}{r}

El principio cosmológico

Cuando estudiamos cosmología el sistema que queremos estudiar es todo el universo, ahí es nada. Pero para estudiar cosmología hemos de asumir algunas características del universo y, en concreto, lo que asumimos es el principio cosmológico que dice lo siguiente:

A grandes escalas el universo tiene las mismas características en todos los puntos y en todas las direcciones. Es decir, el universo es homogéneo e isótropo.

Evidentemente basta alzar la vista al cielo para dudar de esta afirmación. Vemos estrellas, galaxias, etc, pero el detalle importante es que la homogeneidad del universo se considera válida en distancias muy grandes (mayores que las separaciones típicas entre galaxias).  Este principio está corroborado por evidencias observacionales que discutiremos en su momento, por ahora simplemente lo daremos por válido.

Un cuerpo de masa m en el universo

Supongamos que nuestro universo es infinito y que verifica el principio cosmológico y por tanto es homogéneo. Eso implica, entre otras cosas, que la masa del universo está distribuida de manera uniforme en toda su extensión. Además implica que ningún punto es el centro del universo ya que todos tienen las mismas propiedades.

Ahora imaginemos que tenemos un cuerpo de masa m en el universo (podríamos decir una galaxia ya que en cosmología las distancias que nos interesan son mucho mayores que los tamaños típicos de las galaxias y de las separaciones entre las mismas).

Por la entrada anterior ¿Hacia dónde se atrae? sabemos que esta masa no siente atracción gravitatoria más que por la masa M contenida en una esfera de radio r por “debajo” de la masa m.

Toda la masa fuera de esta masa M contenida en la esfera de radio r no atrae de forma neta a la masa m (un pequeño volumen del universo).  Notemos que el radio r aquí es arbitrario, como veremos más adelante, da un poco igual el valor que tenga.

Densidad

La densidad, que representamos por \rho, es el cociente de la masa de un cuerpo dividida por su volumen V:

\rho=\dfrac{m}{V}

En nuestro caso, la densidad encerrada en la esfera de radio r vendrá dada por:

\rho=\dfrac{M}{V_{esfera}}

El volumen de la esfera se puede encontrar en cualquier tabla de volúmenes de figuras geométricas, y muchos de nosotros lo habremos estudiado en el colegio y tiene la forma:

V_{esfera}=\dfrac{4\pi r^3}{3}

es decir depende del cubo del radio de la esfera.

Así pues la densidad encerrada en la esfera de radio r que contiene la masa M queda como:

\rho=\dfrac{M}{\dfrac{4\pi r^3}{3}}

Por tanto la masa M se puede expresar como:

M=\dfrac{4\pi \rho r^3}{3}

Las fórmulas anteriores en términos de la densidad

La fórmula de la fuerza de Newton en términos de la densidad de la esfera de radio r quedará:

F=G\dfrac{Mm}{r^2}=G\dfrac{4\pi \rho r^3 m}{3r^2}=G\dfrac{4\pi \rho r m}{3}

La energía potencial:

V=-G\dfrac{Mm}{r}=-G\dfrac{4\pi \rho r^2 m}{3r}=-G\dfrac{4\pi \rho r^2 m}{3}

Por lo tanto la energía total del sistema será:

U=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{4\pi \rho r^2 m}{3}

Esta ecuación será la base para llegar a la ecuación de Friedmann. Esto lo veremos en la segunda parte de este tema.

Nos seguimos leyendo…

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4 Respuestas a “De Newton a la ecuación de Friedmann. Primera Parte

  1. No sé de donde apareció esa masa M 😦 ya lei el artículo de ¿Hacia donde se atrae? y sigo sin entender como de pasar a una masa m solitaria en el universo pasa a tener una M por debajo de ella.

  2. Pingback: El universo y su densidad | Cuentos Cuánticos

  3. Pingback: De Newton a la ecuación de Friedmann. Segunda Parte | Cuentos Cuánticos

  4. Como siempre muy clara la presentación.
    Gracias

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