¿Hacia dónde se atrae?


Vamos a presentar una situación muy interesante respecto de la gravedad. La intención de esta entrada es preparar una serie de entradas donde describiremos los modelos cosmológicos teóricos  empleando la teoría de Newton.

La cosmología es el campo de estudio donde consideramos todo el universo como sistema de interés.  Sus ecuaciones se derivan de la relatividad general, sin embargo, como veremos más adelante las hipótesis del problema hacen posible un tratamiento basado en las leyes de Newton que reproduce de manera espectacular las ecuaciones cosmológicas sin necesidad de entrar en los detalles de la relatividad general y su consiguiente complicación matemática.

En algunos puntos hemos de introducir elementos a mano porque evidentemente el problema desde el punto de vista Newtoniano no consigue recuperar con total exactitud la descripción relativista (general).  Motivaremos estas introducciones en el momento que las hagamos.

Esperamos que os resulte interesante.

Esta es la primera entrada del minicurso: Cosmología, una introducción fácil.

La gravedad según Newton

Todos hemos visto en algún momento la fórmula de la gravitación universal:

F=G\dfrac{Mm}{r^2}

Esta fórmula nos dice que la fuerza con la que se atraen dos cuerpos de masas M y m respectivamente depende del producto de las masas dividido por el cuadrado de la distancia que las separa.  G es la constante de la gravitación universal de Newton.

Esta fuerza describe la siguiente situación:

Aquí hemos representado puntos “gordos” para representar lo que en realidad serían puntos “reales”, es decir sin extensión, con las masas M y m contenidas en ellos.

Ahora supongamos que tenemos cuerpos extensos con las masas M y m:

La fórmula de Newton sigue siendo válida sin importar la forma de los cuerpos (que aquí hemos representado esféricos por comodidad) donde el radio r está medido desde el centro de un cuerpo hasta el centro del otro cuerpo.

De hecho la situación extrema es la siguiente:

Por ejemplo la masa M representa la Tierra y el cuerpo de masa m a una pelota esférica.  Para saber el peso de la pelota (la fuerza gravitatoria que la mantiene unida al suelo, es decir, la gravedad) empleamos la fuerza de Newton donde r es la distancia entre el centro de la pelota y el centro de la Tierra.  Es decir, aún sigue siendo válida la imagen inicial, la gravedad sólo tiene en cuenta las masas totales de los cuerpos empleados y la distancia entre sus centros (centro de masa para los iniciados).

Complicando la cosa un poco

Ahora supongamos esta situación:

Tenemos un cuerpo de radio R y masa M_{Total} cuya masa está distribuida de manera uniforme. Lo que queremos preguntarnos es hacia donde será atraído un cuerpo de masa m situado a una distancia r<R de su centro (el cuerpo de masa M_{Total} lo podemos considerar fluido y podemos poner cosas en su interior). La situación está descrita en la siguiente figura:

(El cuerpo de masa m lo hemos de considerar situado justamente en la línea de separación de la porción azul de la naranja, lo hemos dibujado sobre ella para no complicar mucho el dibujo)

Podemos considerar que de M_{Total} tenemos una masa M contenida en la esfera de radio r, y el resto de la masa M’ está contenida entre r y R.

– Está claro que la masa M lo atraerá hacia su centro según la fórmula de Newton.

– ¿Cómo afecta la presencia de M’ a esto? Veámoslo aislando su contribución y dibujando algunos de los vectores que representan las fuerzas  que produce la distribución de masa M’ sobre la masa m.

Aquí lo que hay que imaginar es que cada porción de la masa M’ atraerá al cuerpo m hacia ella. Pero también es cierto que el cuerpo m tiene menos masa “sobre” ella tirando hacia “arriba” que la que queda “debajo” de ella, por lo tanto podríamos pensar que el cuerpo de masa m se vería atraído hacia.  Sin embargo no podemos olvidar las distancias, aunque es cierto que tiene más masa atrayendolo debajo que arriba también es cierto que la distancia con la parte baja es mayor que con la parte superior, por tanto compensa la diferencia de masa de tal forma que el cuerpo de masa m no siente ninguna fuerza debida a la presencia de la capa de masa M’.

Este resultado es espectacular y hay una hermosa derivación formal del mismo gracias al teorema de Gauss que más de uno habrá estudiado en sus cursos de física del instituto. Aquí hemos intentado explicarlo sin hacer uso de las matemáticas.

Así podemos concluir que en la situación:

 

La única masa que efectúa atracción sobre el cuerpo de masa m es la contenida en el radio r, es decir la porción de masa M indicada en la figura.

Esta discusión bla bla bla del teorema de Gauss nos será de mucha utilidad para empezar a escribir las ecuaciones de la cosmología empleando únicamente la teoría de la gravitación universal de Newton.

Esperamos haber sabido explicar esto, cualquier crítica, mejora o sugerencia será bienvenida.

Nos seguimos leyendo…

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7 Respuestas a “¿Hacia dónde se atrae?

  1. La abstracción planteada es válida para analizar el campo gravitatorio descrito por la formulación de Newton (escogido aquí como aproximación válida y mucho más sencilla que la de Einstein) pero la franja de masa que hay “por encima” de la masa “m” pesaría sobre ella, lo que implica que aunque no ejerce directamente fuerza gravitatoria sobre “m” acaba transmitiéndola en forma de presión.

    Muy buena la entrada. Eres de lo mejor que habita por Internet.

  2. Jhon Stivenson Pabon Niño

    Preciso hoy me estaba rayando la cabeza la idea de como cambiaría la atraccion gravitacional de un objeto si se va hacia el centro de la tierra. Impecable tu articulo, claro. (para ser introductorio) dan muchas ganas de seguir. Que gran trabajo !

  3. Pingback: Carati el crucificado y su propuesta de NO-materia oscura | Cuentos Cuánticos

  4. Cuando tratamos el “problema” de la gravedad, lo podemos tratar como síntomas de una observación ilusoria, o como una realidad física.
    La observación ilusoria, es la atracción; la realidad física de la gravedad, es una aceleración.

    El tratamiento de Newton de la gravedad (física clásica), es una relación. El problema es que la gravedad, es igual en un cuerpo (masa,) en relación a un cuerpo (masa) pequeño, o grande, o inexistente. Siempre habrá una aceleración circundante igual.

    Esta posición de estudio de la gravedad, en relación a…, es ficticia e irreal, y nos induce a errores y prejuicios. Toda posición que nos induzca a pensar en la gravedad como una fuerza física medieval), es un error (físico y matemático).

    Los modelos matemáticos responden a determinados axiomas, no es la realidad, nos sirven para resolver los problemas relativos bajo esas circunstancias, en nada responden (explican) la realidad física. Sino que establecen igualdades (leyes).
    Razón por la cual llamo; a estos “neoclásicos”, como “Matemáticos disfrazados de físicos”.
    https://sites.google.com/site/teoriatiempoespacio/home/matematicos-disfrazados-de-fisicos

    Así la gravedad no es una atracción, sino aparente, como si dijese que algo que está lejos, es más pequeño, se ve como más pequeño, pero no es más pequeño.
    No es casualidad que Einstein se quejara que ya hacía 400 años que Galileo había demostrado que la gravedad no era una fuerza (TRG).
    El concepto de fuerza es en sí mismo, un concepto de física clásica. Todas las fuerzas dependen de la inercia y de los campos (que en su esencia es lo mismo), donde no es la causa (física clásica), sino la consecuencia. La aceleración no es provocada por la fuerza, sino la fuerza es provocada por la aceleración (así es en la gravedad). Aunque en lógica pueda parecer lo mismo, no lo es.

    • Nadie habla hoy día de la gravedad como una fuerza. Eso fue superado hace ya casi un siglo.

      Pero el modelo de Newton sigue siendo extremadamente útil, pero eso sí en el rango en el que nos sirve y eso lo tenemos muy claro.

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