El universo y su densidad


En las entradas anteriores del minicurso: Cosmología, una introducción fácil hemos presentado cómo se deducen las ecuaciones de Friedmann empleando las leyes de Newton.  Este truco nos permite librarnos de una descripción basada en relatividad general que complicaría todo muchísimo más desde un punto de vista matemático.

Las ecuaciones de Friedmann son esenciales porque nos dicen cómo se comporta el factor de escala que es el parámetro que nos habla de cómo se expande el universo.  Pero como vimos en las entradas correspondientes:  De Newton a la ecuación de Friedmann Primera Parte y De Newton a la ecuación de Friedmann Segunda Parte estás ecuaciones dependen de la densidad del universo (densidad de materia/energía).  Por lo tanto, para resolver dichas ecuaciones, lo que nos dirá cómo se comporta el factor de escala o dicho de otro modo como se expande el universo, tenemos que conocer cómo se comporta la densidad en el universo durante su evolución.

Así que en esta entrada nos vamos a centrar en hallar dicho comportamiento de la densidad.

Esto se puede encontrar en cualquier libro de cosmología: Libros de Cosmología.

Conceptos básicos

Cómo vimos en la entrada De Newton a la ecuación de Friedmann Primera Parte tenemos indicios y pruebas de que nuestro universo es homogéneo a gran escala (a distancias muy superiores a la separación típica entre galaxias). Por lo tanto uno puede considerar, desde un punto de vista cosmológico, que el universo es un “gas” o “fluido” de galaxias.

Esto no permite aplicar las leyes de la termodinámica al universo tal y como si fuera un fluido homogéneo.  Por lo tanto, el universo tendrá una densidad y una presión (el concepto de presión que aquí estamos introduciendo pedestremente se encuentra de manera natural en el tratamiento que nos proporciona la relatividad especial y está relacionado con el hecho de la transmisión de momento en un campo físico en una región del espaciotiempo).

Entonces pensemos lo siguiente:

1.-  Tenemos un gas donde realizamos una expansión que no involucra una transmisión de calor, lo que se conoce como una expansión adiabática.  El cambio de energía U de dicho gas será:

dU=-PdV

Es decir, el cambio en energía vendrá debido al cambio de volumen.

2.-  Recordemos que nosotros estamos trabajando con una esfera de radio r=ax. La esfera tiene un volumen de:

V=\dfrac{4}{3}\pi a^3x^3

A partir de ahora omitiremos la cantidad x que es una cantidad fija y por lo tanto, como vimos en las entradas anteriores del minicurso, no participa en las ecuaciones del movimiento con las que trabajamos:

V=\dfrac{4}{3}\pi a^3

Dado que el universo se está expandiendo la esfera también se expande (notemos que depende del factor de escala).  Si calculamos la velocidad a la que varía el volumen:

\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{4}{3}\pi a^3\right)

Las constantes salen fuera de la derivada:

\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\pi\dfrac{da^3}{dt}

Recordemos que la derivada de una función f^n(x)   es  \dfrac{df^n(x)}{dx}=nf^{n-1}(x)\cdot\dfrac{df}{dx}, así en nuestro caso tendremos:

\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{12}{3}\pi a^2 \dfrac{da}{dt}=4\pi a^2\dot{a}

3.-  La energía contenida en la esfera se puede calcular (dado que todo lo estamos suponiendo en reposo en las coordenadas comóviles) con la fórmula U=Mc^2.

Pero como vimos la masa dentro de la esfera se puede calcular como el producto de la densidad por su volumen:  M=\rho V.  Por lo tanto la energía será:

U=\rho V c^2

Si calculamos la derivada respecto del tiempo tendremos:

\dfrac{dU}{dt}=c^2\dfrac{d}{dt}(\rho V)

(la velocidad de la luz es una constante y la dejamos fuera de la derivada). Recordemos que la derivada de un producto de funciones \dfrac{dfg}{dx}=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx}, así en nuestro caso tendremos:

\dfrac{dU}{dt}=c^2V\dfrac{d\rho}{dt}+c^2\rho\dfrac{dV}{dt}

Teniendo en cuenta que estamos con el volumen da la esfera y que hemos calculado su derivada en el tiempo arriba (velocidad de cambio del volumen), sustituyendo aquí nos queda:

\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{4}{3}\pi a^3 c^2 \dfrac{d\rho}{dt}+4\pi a^2\rho c^2\dfrac{da}{dt}

O lo que es lo mismo:

\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{4}{3}\pi a^3 c^2 \dot{\rho}+4\pi a^2\rho c^2\dot{a}

3.-  Como el universo es homogéneo e isótropo la presión tiene que ser la misma en todos los puntos.  Así si recuperamos la primera ecuación de la energía que hemos puesto:

dU=-PdV

Si calculamos la derivada temporal de esta fórmula tenemos:

\dfrac{dU}{dt}=-P\dfrac{dV}{dt}

Sustituyamos los resultados anteriores:

\dfrac{4}{3}\pi a^3 c^2 \dot{\rho}+4\pi a^2\rho c^2\dot{a}=-P4\pi a^2\dot{a}

Ahora simplificamos el factor 4\pi:

\dfrac{1}{3}a^3 c^2 \dot{\rho}+ a^2\rho c^2\dot{a}=-P a^2\dot{a}

Simplificamos el factor a^2:

\dfrac{1}{3}a c^2 \dot{\rho}+ \rho c^2\dot{a}=-P \dot{a}

Nos llevamos el factor c^2 al otro miembro:

\dfrac{1}{3}a \dot{\rho}+ \rho \dot{a}=-\dfrac{P}{c^2} \dot{a}

Nos llevamos todos los términos al miembro de la izquierda:

\dfrac{1}{3}a \dot{\rho}+ \rho \dot{a}+\dfrac{P}{c^2} \dot{a}=0

Multiplicamos todo por 3 y sacamos factor común el término \dot{a}:

a\dot{\rho}+3\dot{a}\left(\rho+\dfrac{P}{c^2}\right)=0

Dividimos toda la expresión por a:

\dot{\rho}+3\dfrac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\dfrac{P}{c^2}\right)=0

Y esta es la ecuación que nos dice como evoluciona la densidad conforme el universo se expande.

Así las ecuaciones fundamentales para la cosmología es la ecuación de Friedmann y esta relación de la densidad con la presión.  Ahora todo es muy oscuro y la pregunta es ¿todo esto para qué?  Y la respuesta está a punto de llegar, vamos a empezar a definir universos (modelos de universos) en breve. Pero era necesario dotarse de estas ecuaciones y acostumbrarse a la notación primero.  Enseguida empieza lo divertido.

Nos seguimos leyendo…

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5 Respuestas a “El universo y su densidad

  1. tonteria resuelta

  2. Una pregunta, por que (dP/dt)=0? se supone que P no depende de la posicion por el principio cosmologico, pero porque tampoco del tiempo?

  3. Si señor, buena entrada.

  4. Bastante practica la deducción de la ecuacion de variación de densidad
    saludos

  5. Muy bonita esta forma de hacerlo.

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