Las transformaciones de Lorentz


Hemos estado discutiendo en nuestro minicurso de Relatividad Especial las bases de esta teoría.  Los puntos esenciales son:

–  Toda la física es la misma para todo observador inercial.

–  La velocidad de la luz en el vacío es constante para todo observador inercial.

El tema central en relatividad especial es que dados dos observadores inerciales que estén midiendo el mismo fenómeno le asignarán coordenadas distintas.  Pero dado que la física tiene que ser la misma ha de ser posible transformar las coordenadas que le asigna un observador en las que les asigna el otro y viceversa.  Pues bien, las transformaciones que permiten esto y son consistentes con los postulados de la relatividad especial son las conocidas como transformacioens de Lorentz.

En esta entrada vamos a deducirlas paso a paso.

Un texto excelente para todo esto es:

The Mathematics of Relativity for the Rest of Us de Jagerman

Encendiendo la bombilla

Imaginemos que tenemos dos observadores A y B con sus respectivos sistemas de referencia. Nosotros nos situamos en el sistema A, con lo que estará en reposo respecto a nosotros que somos lo que contamos el cuento este.  El sistema B se mueve con una velocidad v respecto a A en línea recta a lo largo del eje X del sistema de referencia de A en el sentido positivo.

Imaginemos que tenemos un sistema de flash que justo cuando los orígenes de los sistemas de A y B se cruzan se dispara y ambos observadores llaman al tiempo ese t=t’=0.  Ese flash de luz se moverá a c y describirá un frente esférico.

Ahora bien,

Para el sistema A la luz recorrerá una distancia espacial d=ct.

Para el sistema B la luz recorrerá una distancia espacial d’=ct’.

La distancia espacial recorrida para A será d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

La distancia espacial recorrida para B será d'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}.

Por lo tanto se cumplirá:

Para A

c^2t^2=x^2+y^2+z^2

Para B

c^2t'^2=x'^2+y'^2+z'^2

Eso se puede escribir:

Para A

c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0

Para B

c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=0

Por lo tanto tenemos que:

c^2t^2-x^2-y^2-z^2=c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2

En el caso que estamos estudiando tenemos que y=y’ y z=z’ por lo tanto:

c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2

Ahora lo que queremos es ver como podemos expresar las coordenadas de uno de los observadores en función de las coordenadas del otro, en esto es donde reside realmente la relatividad del asunto, en que ambas descripciones son igualmente válidas.

Para hacer eso vamos a pensar que tenemos un vector en cuatro dimensiones dado por:

\begin{pmatrix}ct\\x\\ y\\ z\end{pmatrix}

Este vector está definido por el observador A.  El observador B definirá:

\begin{pmatrix}ct'\\x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}

Y lo que queremos es una transformación que nos pase de uno a otro:

\begin{pmatrix}ct\\x\\ y\\ z\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}ct'\\x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}

El objeto matemático que hace eso son las transformaciones de Lorentz. Una transformación de Lorentz vendrá representada por \Lambda.

\begin{pmatrix}ct'\\x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}=\Lambda \begin{pmatrix}ct\\x\\ y\\ z\end{pmatrix}

¿Qué le exigimos a las transformaciones de Lorentz?

A estas transformaciones le exigimos dos cosas:

1.-  Que sean lineales.

2.-  Que sean homogéneas.

La primera condición nos asegura que cuando tengamos sumas de vectores que identifican puntos (vectores en cuatro dimensiones) la transformación aplicada a la suma será la suma de los vectores transformados.  Es decir que si tengo dos vectores en cuatro dimensiones x^\mu y x^\nu (donde los índices toman los valores 0,1,2,3 correspondiendo a cada una de las coordenadas ct, x, y, z) se cumplirá:  \Lambda (x^\mu+x^\nu)=\Lambda x^\nu +\Lambda x^\nu=x'^\nu+x'^\nu.

La segunda condición nos dice que cada coordenada de B cuando la escribamos en términos de las coordenadas de A incluirá información acerca tanto del tiempo como del espacio, es decir, coordenadas temporales y espaciales en cada una de ellas.

Siguiendo estas condiciones y recordando que en nuestro caso (por como hemos planteado el movimiento de B respecto de A) se cumple que y=y’  y  z=z’ tendremos:

x'=Ax+Bct

ct'=Cx+Dct

Es decir, que la transformación de Lorentz $\Lambda$ se podrá escribir en forma de matriz del siguiente modo:

\Lambda=\begin{pmatrix}D & C & 0 & 0\\B & A & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Por lo tanto una transformación Lorentz será:

\begin{pmatrix}ct'\\x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D & C & 0 & 0\\B & A & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\\ y\\ z\end{pmatrix}

(sólo hay que aplicar la regla de multiplicación de matrices para llegar a las expresiones de arriba, si hay alguna duda lo podemos hacer explícitamente, ya explicamos como multiplicar matrices en la entrada:  ¿Qué quieren decir cuando dicen métrica?)

Ahora toda la tarea es encontrar quienes son A, B, C y D.

Eso lo haremos en la próxima entrada porque necesitamos introducir previamente algún elemento matemático.

Nos seguimos leyendo…

 

 

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2 Respuestas a “Las transformaciones de Lorentz

  1. SORPRENDENTE ENTRADA y veo que hay respuestas para todo, estoy encantado con esto, aunque a veces tengo que devolverme a revisar ciertas informaciones en otras entradas y ciertos conceptos para actualizarme y seguir la secuencia, pero todo està bien, muy didactico.

  2. Pingback: Construyendo las transformaciones de Lorentz | Cuentos Cuánticos

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