Construyendo las transformaciones de Lorentz


En esta entrada vamos a acometer la tarea de encontrar la forma explícita de las transformaciones de Lorentz que expusimos en la entrada anterior del minicurso de Relatividad Especial:  Las transformaciones de Lorentz.

En esa entrada llegamos a que las transformaciones tenían la forma general:

\begin{pmatrix}ct'\\x'\\ y'\\ z'\end{pmatrix}=\Lambda \begin{pmatrix}ct\\x\\ y\\ z\end{pmatrix}

Las coordenadas con prima corresponden a un sistema de referencia S’ y las coordenadas sin prima corresponden a un sistema de referencia S.  El sistema S’ se mueve respecto al sistema S en el sentido positivo del eje x de este sistema S con velocidad constante v. La transformación \Lambda era de la forma:

\Lambda=\begin{pmatrix}D & C & 0 & 0\\B & A & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Nuestro objetivo es determinar los coeficientes A, B, C y D.

La deducción que vamos a hacer aquí se puede encontrar en cualquier texto de relatividad especial.

Deducción de las transformaciones de Lorentz

Vamos a intentar llegar a estas transformaciones dando todos los pasos y siendo generosos en la explicación de los detalles de cada uno de ellos.  Queremos hacer esto con total generalidad así que no presupondremos que la velocidad de la luz es la velocidad constate para todo observador inercial, sólo supondremos que existe una velocidad que cumple con ese requisito.

1.-  La situación inicial es la comentada:  Tenemos dos sistemas de referencia S y S’.  Desde el punto de vista de S el sistema S’ se mueve en el sentido positivo del eje x de S con velocidad constante v.  (Evidentemente desde el punto de vista de S’ el sistema S se mueve en el sentido positivo del eje x’ de S’ con velocidad constante -v).

2.-  Cuando los orígenes de S y S’ coinciden los relojes de ambos sistemas se sincronizan, t=t’=0.

3.-  Un fenómeno físico, un suceso, ocurre en el espaciotiempo.  El sistema S le asigna unas coordenadas (t,x,y,z) y el sistema S’ le asigna una coordenadas (t’,x’,y’,z’).

4.-  Dado que el movimiento relativo entre los sistemas que estamos tratando se desarrolla en el eje x (o x’) tenemos que:  y=y’   y   z=z’.

5.-  Las relaciones entre x y x’,  y t con t’ vienen dadas por:

x’=Ax+Bt

t’=Cx+Dt

Lo que nos da las coordenadas del sistema S’ expresadas en las coordenadas de S.

6.-  Estudiemos cómo ve el sistema S el origen del sistema de referencia de S’, x’=0.  Empleando las relaciones anteriores tenemos:

Ax+Bt=0

Podemos trabajar un poco estas relaciones:

Ax=-Bt

\dfrac{x}{t}=-\dfrac{B}{A}

7.-  La cantidad \dfrac{x}{t} es la velocidad del sistema S’ respecto al sistema S (medida por este último sistema):

\dfrac{x}{t}=v

v=-\dfrac{B}{A}

De aquí obtenemos B=-vA.

8.-  Introduciendo esta relación entre B y A en la relación entre x’ y las coordenadas de S:

x’=Ax+Bt

x’=Ax-vAt

x’=A(x-vt)

9.-  Nos vamos a preocupar de encontrar las expresiones de x y t en función de las x’ y t’.  Para ello tomamos las expresiones que dan las coordenadas de S’ en función de las de S:

x’=Ax+Bt

t’=Cx+Dt

De la primera ecuación aislamos x:

x’-Bt=Ax

x=\dfrac{x'-Bt}{A}

Esta expresión la introducimos en la relación t’=Cx+Dt

t'=C\dfrac{x'-Bt}{A}+Dt

t'=\dfrac{Cx'}{A}-\dfrac{CBt}{A}+Dt

Multiplicamos todos por A:

At'=Cx'-CBt+ADt

At'=Cx'+(AD-CB)t

Aislamos t:

At’-Cx’=(AD-CB)t

t=\dfrac{At'-Cx'}{AD-CB}

Hacemos lo análogo para obtener x.  Primero de la ecuación t’=Cx+Dt aislamos t:

t’-Cx=Dt

t=\dfrac{t'-Cx}{D}

Sustituimos esta expresión en x’=Ax+Bt y manipulamos para obtener x:

x'=Ax+B\dfrac{t'-Cx}{D}

x'=Ax+\dfrac{Bt'}{D}-\dfrac{BCx}{D}

Dx'=Bt'+ADx-BCx

Dx'-Bt'=(AB-BC)x

x=\dfrac{Dx'-Bt'}{AD-BC}

Así tenemos estas expresiones:

t=\dfrac{At'-Cx'}{AD-CB}

x=\dfrac{Dx'-Bt'}{AD-BC}

10.-  Ahora estudiamos como quedan las expresiones x’=Ax+Bt  y  t’=Cx+Dt  cuando nos situamos en el x=0 (visto desde S’):

x’=Bt

t’=Dt

Si dividimos x’/t’ tenemos las velocidad de S respecto de S’, es decir, -v:

\dfrac{x'}{t'}=\dfrac{Bt}{Dt}=-v

Eso implica que:   \dfrac{B}{D}=-v

Pero hemos deducido antes que B=-vA, por lo tanto:

\dfrac{-vA}{D}=-v

\dfrac{A}{D}=1

Y por tanto A=D.

11.-  Hasta ahora hemos obtenido  B=-vA  y D=A.  Introduciendo esto en las expresiones que hemos obtenido antes:

t=\dfrac{At'-Cx'}{AD-CB}

x=\dfrac{Dx'-Bt'}{AD-BC}

Quedando:

t=\dfrac{At'-Cx'}{AA+vCA}

x=\dfrac{Ax'+vAt'}{AA+vCA}

Sacamos factor común A de los numeradores de estas expresiones:

t=A\dfrac{t'-\dfrac{C}{A}x'}{A^2+vCA}

x=A\dfrac{x'+vt'}{A^2+vCA}

No vamos a simplificar el factor A por razones que serán claras en lo siguiente.

12.- Ahora vamos a comparar las dos expresiones que tenemos.  Las coordenadas de S’ vistas desde S y viceversa, las coordenadas de S vistas desde S’.

Tengamos en cuenta que t’=Cx+Dt queda como t’=Cx+At que sacando A como factor común queda:  t'=A(t+\dfrac{C}{A}x).  Por lo tanto tenemos que comparar:

x’=A(x-vt)                 x=A\dfrac{x'+vt'}{A^2+vCA}

t'=A(t+\dfrac{C}{A}x)                  t=A\dfrac{t'-\dfrac{C}{A}x'}{A^2+vCA}

Estas transformaciones sólo pueden diferir en el sentido de la velocidad.  S ve que S’ se mueve con velocidad v sobre el eje x.  S’ ve que S se mueve con velocidad -v  sobre el eje x’.

Eso nos obliga a considerar:   A^2+vCA=1   y que \dfrac{C}{A} ha de ser proporcional a v para asegurar que estas expresiones anteriores sólo se diferencian en el signo de la velocidad.

De la condición A^2+vCA=1 obtenemos:

A^2(1+v\dfrac{C}{A})=1

A=\dfrac{1}{\sqrt{1+v\dfrac{C}{A}}}

Si C/A ha de ser proporcional a la velocidad v y ha de asegurar un cambio de signo diremos que:

\dfrac{C}{A}=-\dfrac{v}{V^2}

Donde V es una cantidad constante que tiene unidades de velocidad.

Por lo tanto:

A=\dfrac{1}{\sqrt{1-v\dfrac{v}{V^2}}}

A=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{V^2}}}

13.-  Introduciendo esto en las transformaciones de Lorentz de S’ en términos de las coordenadas de S:

x’=A(x-vt)     y     t'=A(t+\dfrac{C}{A}x)

Obtenemos:

x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{V^2}}}

t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{V^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{V^2}}}

Con esto acabamos nuestra deducción.

Resumiendo

En esta derivación no hemos hecho ninguna mención a ningún proceso físico, ni tan siquiera hemos mencionado la velocidad de la luz.  En realidad para hacer esta deducción si que estábamos asumiendo dos cosas que no hemos dicho:

–  El espacio es homogéneo =  “Todos los puntos son igualmente buenos y tiene las mismas propiedades”

–  El espacio es isótropo =  “El espacio es igual en todas las direcciones”

Eso nos lleva a la necesidad de introducir un factor constante V que corresponde a una velocidad.  Por razonamientos físicos uno ha de llegar a la conclusión de que V=c, la velocidad de la luz en el vacío.  Esto se puede argumentar de diversas formas, pero pedestremente podemos decir que si la física tiene que ser la misma para todo observador inercial entonces la velocidad de la luz, que aparece en la ecuación de las ondas electromagnéticas, es la única velocidad que no depende del observador.  Esto porque todo observador inercial describe las ondas electromagnéticas con la misma ecuación que involucra siempre la velocidad c.

Así pues las transformaciones de Lorentz quedan:

t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}

x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}

y'=y

z'=z

Si llamamos \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}  y   \beta=\dfrac{v}{c}.  Las definiciones son:

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}

\beta=\dfrac{v}{c} –>   \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Por tanto podemos escribir:

t'=\gamma(t-\dfrac{\beta}{c}x)

x'=\gamma(x-vt)

y'=y

z'=z

Una entrada densa… pero había que hacerlo 😉

Nos seguimos leyendo…

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16 Respuestas a “Construyendo las transformaciones de Lorentz

  1. Efectivamente, la explicación es generosa en todos los sentidos. Podría ser un libro de texto más que una entrada de un blog.

    Gracias por la generosidad de dedicar tanto esfuerzo a explicar las cosas con rigor en tu blog.

    Un abrazo,

    José Ignacio

  2. Excelente.gracias!

  3. Alguien me podría explicar por qué C/A tiene que ser proporcional a v?

  4. amigo otra forma más “divertida” es hacerlo con vectores.Suponiendo ovbiamente que dos observadores A y B miren un foton de luz y llegas a la misma transformación del tiempo y con eso ya calculas todo

  5. ¡Muchísimas gracias!

  6. Un aporte magnífico. Gracias!

  7. Porqué tomas que la relación entre x’,t’ con las coordenadas x,t son lineales, si no me equivoco eso tiene que ver con el hecho de que las ecuaciones de transformación entre los sistemas tienen que poseer la misma forma , me refiero a que lo único que debo de cambiar es la velocidad a la hora de usar las transformaciones, pero mi duda está en como demuestro la forma lineal es la única forma de obtener esto.

  8. :.C q felicidad leerlos 😀

  9. Advierto que se olvidaron de poner una x en la transformación de Lorentz para t´, desde el momento en que reemplazan C/A por -v/V². Luego la vuelven a colocar cuando hacen el reemplazo por Beta y Gama, pero si no me equivoco su ausencia en los pasos previos no se justifica y lleva a confusión.

  10. ¿que fue lo que le falto a Lorentz para haber sido el quien formulara la relatividad especial? Sus matematicas lo decian, han presentado en otras entradas como facilmente a partir de estas transformaciones se prueba que c es contante y que el tiempo se desforma. Solo habia que romper el paradigma.

    Como siempre es un placer seguir leyendolos

  11. ¡Qué recuerdos!. Genios.

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