El último paso: El desplazamiento al rojo y la expansión


Ya hemos discutido en el minicurso:  Cosmología, una introducción fácil los conceptos de expansión del universo (representado por el factor de escala) y el desplazamiento al rojo (representado por la variable z).

En la entrada El desplazamiento al rojo NO ES DEBIDO a la velocidad de las galaxias dimos los argumentos para entender que este desplazamiento está asociado a la propia expansión del universo y no al movimiento relativo entre las galaxias.  Ahora vamos a hacer explícita esta relación formalmente, es decir vamos a ver como se escribe el desplazamiento al rojo z en términos del factor de escala a(t).

Para encontrar esta relación sin usar el tratamiento de la Relatividad General hemos de emplear un argumento que implica la velocidad relativa entre galaxias.  ¿No es esto inconsistente con todo lo dicho?  Pues a primera vista sí, sin embargo hay que ser conscientes de varias cosas:

a)  Esto sólo es una herramienta para llegar al resultado correcto.

b)  Este resultado correcto se puede obtener de Relatividad General sin recurrir a velocidades relativas llegando al mismo punto.

c)  Empleamos este argumento porque es fácil de entender y porque después de todo lo discutido ha de quedar claro que sólo es un método de cálculo.

d)  Indicaremos en qué casos esto está permitido.

Así que esperamos que la entrada resulte interesante y volvemos a puntualizar que el resultado es correcto en cualquier situación pero la interpretación en términos de velocidades es simplemente un método para calcular sin significado físico real en la situación general.

Esta discusión se puede encontrar en cualquier texto de cosmología.

La ley de Hubble

La ley de Hubble, que ya hemos discutido en el minicurso, nos dice que la velocidad a la que se separan las galaxias es proporcional a la distancia de separación (a la distancia la llamaremos dr, lo que indicará que la separación es pequeña entre las galaxias consideradas. Pequeño a nivel cosmológico es muy grande):

dv=H(t) dr

Esta fórmula sólo tiene sentido para distancias pequeñas (en términos cosmológicos) de forma que la v que obtenemos no supere la velocidad de la luz (que representamos por dv, indicando que es una velocidad pequeña comparada con la velocidad de la luz).  Es decir, no podemos aplicarla en todos los casos pero si las galaxias son relativamente cercanas es una buena aproximación.

Desplazamiento al rojo y el factor de escala

Si asumimos que el cambio en la longitud de onda de la radiación electromagnética que emite una galaxia y la que observamos es producido por efecto Doppler (estamos pensando en velocidades de separación de galaxias), entonces el cambio de dicha longitud de onda está dada por:

z=\dfrac{\lambda_{recibida}-\lambda_{emitida}}{\lambda_{emitida}}=\dfrac{dv}{c}

Llamaremos d\lambda a la diferencia \lambda_{recibida}-\lambda_{emitida}.

\dfrac{d\lambda}{\lambda_{emitida}}=\dfrac{dv}{c}

Ahora empleando la ley de Hubble podemos escribir:

\dfrac{d\lambda}{\lambda_{emitida}}=\dfrac{dv}{c}=H(t)\dfrac{dr}{c}

Notemos varias cosas:

a)  El parámetro de Hubble no es más que el cociente \dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)} que es el ratio de expansión.  (La velocidad a la que aumenta el factor de escala en un instante respecto al valor que ya tiene en ese instante).

b)  dr/c  es el espacio que recorre la luz de una galaxia (emisora) a la otra (receptora) dividida por la velocidad de la luz.  Esto nos da el tiempo que tarda en cubrir el trayecto que llamaremos dt.

Entonces la relación nos queda:

\dfrac{d\lambda}{\lambda_{emitida}}=\dfrac{\dot{a}}{a}dt

Pero recordemos que \dot{a}=\dfrac{da}{dt} es la velocidad de cambio del factor de escala.  Entonces el producto \dot{a}dt nos da simplemente da.  Eso no es más que la diferencia entre los valores del factor de escala en el tiempo donde se emitió el fotón y el tiempo en el que fue recibido:

da=a(t_{recibido})-a(t_{emitido})

Entonces acabamos con la relación:

\dfrac{d\lambda}{\lambda_e}=\dfrac{da}{a}

Eso quiere decir que \lambda tiene que ser proporcional al factor de escala a.

Nota:  Eso es evidente si resolvemos la ecuación diferencial indicada que nos diría que:  ln\lambda=ln a + lnK  donde K es una constante. Aprovechando las propiedades de los logaritmos:  ln \lambda=ln(Ka), de donde obtenemos que \lambda(t)=Ka(t).

Eso implica que cuanto mayor es la expansión más grande será la longitud de onda:

Por lo tanto, recordando la definición del desplazamiento al rojo:

z=\dfrac{\lambda_{recibida}-\lambda_{emitida}}{\lambda_{emitida}}

Que se puede escribir como:

z=\dfrac{\lambda_r}{\lambda_e}-1

Nos queda:

z+1=\dfrac{\lambda_r}{\lambda_e}

Aprovechando la proporcionalidad con el factor de escala podemos escribir:

z+1=\dfrac{a(t_r)}{a(t_e)}

Lo que significa que conocer el desplazamiento al rojo nos puede proporcionar información del valor del factor de escala en el tiempo en el que se emitió el fotón si conocemos el mismo en el tiempo recibido.

Además, si resolvemos las ecuaciones de Friedmann para obtener como se comporta el factor de escala esto podremos relacionarlo con el desplazamiento al rojo, por eso dicho factor es tan importante.  Si sois aficionados a páginas de cosmología habréis visto que los cosmólogos hablan de tiempos y distancias siempre en términos del factor z.  Ahora ya debería de ser evidente por qué (si no es evidente es que no hemos sabido explicarlo bien así que no dudéis en preguntar lo que haga falta).

Con esto finalizamos la discusión de la expansión y las formas de entenderla y de expresarla matemáticamente. A partir de ahora vamos a empezar a definir universos 🙂

Nos seguimos leyendo…

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2 Respuestas a “El último paso: El desplazamiento al rojo y la expansión

  1. Hola,

    Soy aficionado a la cosmología, pero vaya por delante que no tengo ningún tipo de formación al respecto, simplemente me gusta entender cómo funciona TODO. Desde hace algún tiempo hay una cuestión al respecto de la expansión del Universo que me ronda la cabeza constantemente, y me gustaría resolver. Sé que probablemente se deba a un error en mis conceptos.

    He leído en varias ocasiones que el consenso actual entre los cosmólogos es que el Universo se expande a un ritmo cada vez mayor y que lo anterior se deduce de que el corrimiento al rojo es mayor cuanto mayor es la distancia de las Galaxias respecto a nuestro punto de observación. Y esto me tiene un poco loco.

    Si partimos de la hipótesis de que el corrimiento al rojo indica “la velocidad” de la expansión en el momento en el que los fotones son emitidos y que a mayor distancia mayor antigüedad de la emisión percibida desde el punto de observación, ¿el hecho de que las Galaxias más lejanas muestren un mayor corrimiento al rojo que las relativamente más cercanas no debería indicar que la “velocidad” de expansión es superior cuanto más antigua es la señal lumínica percibida? ¿Por qué se interpreta exactamente lo contrario?

    Otra hipótesis que tampoco entiendo en absoluto es la hipótesis del Big Rip. Según he entendido la expansión del Universo se da a un nivel de coordenadas intergalácticas. Las Galaxias permanecen unidas debido a la deformación espacio-temporal de sus masas (materia visible+materia oscura). La presencia de materia oscura, si bien no se conoce exactamente su composición, se ha cuantificado a través de lentes gravitacionales. Según una interpretación intuitiva, por mucho que el Universo se expanda, esto sólo afectaría a que las Galaxias estarían cada vez más separadas entre sí. ¿Qué datos se utilizan para estimar que en algún momento del futuro la expansión del Universo será tal que las propias Galaxias se “desgajarían”?

    Muchas gracias por cualquier tipo de luz que me puedas aportar a estas cuestiones. De todos modos, seguiré investigando y tratando de entenderlo 😉

  2. Pingback: En un universo hecho de radiación… | Cuentos Cuánticos

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