Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos…


En esta entrada vamos a tratar de algo curioso y es cómo se percibe el espaciotiempo cuando estamos lejos del horizonte de sucesos de un agujero negro.  Intentaremos simplificar tanto como sea posible los detalles matemáticos involucrados.  De todas formas aprenderemos a leer algunas fórmulas interesantes y que de hecho ya han sido tratadas en el blog.

Esto que vamos a tratar aquí, lo que se conoce como el límite asintótico del espacio de Schwarzschild, y da una nueva dimensión a eso que todos conocemos de nuestra experiencia cotidiana que cuanto más lejos nos encontramos de algo más “pequeño” lo vemos y con menos detalles.  Este tratamiento que pretendemos presentar es muy útil para estudiar cosas como la radiación Hawking.

Schwarzschild y los agujeros negros

En este blog ya tratamos el tema del tratamiento de Schwarzschild para agujeros negros en la entrada:  Guerra y Ciencia. Karl Schwarzschild.  Ahora volveremos a escribir el ingrediente esencial para el estudio de un agujero negro de Schwarzschild, la métrica. Vamos a  explicar cómo se llega a esta métrica y el significado de cada término.

Queremos estudiar  el campo generado gravitatorio (dado por la métrica) por un cuerpo esférico de masa M sin rotación.  Es decir, consideramos que tenemos una esfera de masa M en un espacio vacío y queremos determinar cómo podemos medir longitudes, ángulos, tiempos, etc, esto se consigue con la métrica que toma la forma:

ds^2=c^2\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)dt^2-\dfrac{1}{1-\dfrac{2MG}{c^2r}}dr^2-d\Omega^2

Definamos cada término:

a)  G — es la constante de la gravitación universal.

b)  M — es la masa del cuerpo que genera el campo gravitatorio.

c)   r —  es la distancia desde el centro del cuerpo de masa M hasta el punto donde queremos saber el campo gravitatorio.

d)  c^2 — es la velocidad de la luz al cuadrado.

e)  Esta solución es igual en todas las direcciones, eso se dice “con simetría esférica” y la información sobre las direcciones está contenida en d\Omega^2 que como es la misma en todos los puntos no es relevante.

Minkowski y su espacio

Hermann Minkowski dio una interpretación geométrica a la teoría de la relatividad especial de Einstein. En términos físicos este espaciotiempo corresponde a la situación donde no tenemos campo gravitatorio alguno. La traducción geométrica que proporcionó Minkowski es la siguiente:

El espaciotiempo es plano.

Es decir, que la diferencia entre tener gravedad o no tenerla es que el espaciotiempo sea plano (dos paralelas serán paralelas por siempre) o sea curvo.  Esto se traduce en que la métrica del espaciotiempo no dependa de las coordenadas del propio espaciotiempo o sí lo haga.

La métrica de Minkowski se escribe como:

ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2

Esta es la expresión de la métrica si empleamos las coordenadas cartesianas de toda la vida (t,x,y,z).  Pero también podemos escribirla con coordenadas esféricas. Es decir, emplear el tiempo, la distancia r al origen y dos ángulos \theta y \phi.

ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2sin^2\theta d\phi-r^2d\theta

Como este espacio es igual en todas las direcciones en cada punto podemos dar toda la información angular como:  d\Omega^2=r^2sin^2\theta d\phi+r^2d\theta.  Así pues la métrica de Minkowski en coordenadas esféricas quedaría:

ds^2=c^2dt^2-dr^2-d\Omega^2

Hemos de ser conscientes en que esto sólo es escribir la métrica de Minkowski con otras coordenadas pero eso no afecta a sus características, es decir, el espacio sigue siendo plano.

Schwarzschild visto desde lejos se parece a Minkowski

  

Argumento por la fórmula

Tomemos la métrica de Schwarzschild:

ds^2=c^2\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)dt^2-\dfrac{1}{1-\dfrac{2MG}{c^2r}}dr^2-d\Omega^2

Tomemos la métrica de Minkowski:

ds^2=c^2dt^2-dr^2-d\Omega^2

Ahora precisemos que quiere decir “Lejos” en este contexto.  Pues lo que quiere decir es que nos vamos lejos de la fuente gravitatoria, la masa M, y eso quiere decir tomar el radio r muy muy grande, “infinito”.  Esto en matemáticamente se denomina tomar el límite de r tendiendo a infinito:  r\rightarrow \infty.

El radio que podemos hacer tender a infinito es el que aparece en el factor:

\dfrac{2GM}{c^2r}

Si hacemos r “infinito” tenemos:

\dfrac{2GM}{c^2\infty}

Pero algo dividido en infinitos trozos nos dice que cada trozo es cero (eso de un número dividido por infinito nos da cero).  Por tanto:  \dfrac{2GM}{c^2\infty}=0.  Si sustituimos en la métrica de Schwarzschild:

ds^2=c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2\infty}\right)dt^2-\dfrac{1}{1-\dfrac{2MG}{c^2\infty}}dr^2-d\Omega^2

Pero eso queda:

ds^2=c^2dt^2-dr^2-d\Omega^2

Que es sospechosamente parecida a la métrica de Minkowski 😉

La razón es simple, conforme nos alejamos de la masa que genera la gravedad esta se hace cada vez más débil, y evidentemente si nos vamos muy muy muy lejos es como si no hubiera gravedad lo que tendríamos sería un espacio plano, un espacio de Minkowski.

Argumento con dibujitos

Aquí vamos a usar los diagramas de Penrose.  Podéis encontrar información de estos diagramas en las entradas agrupadas AQUÍ.

Un espacio de Schwarzschild como diagrama de Penrose:

Lo importante es saber que el radio aumenta cuando nos movemos hacia la derecha en el diagrama.  Así que si nos vamos muy muy lejos (a radio infinito), el espacio se parece a:

Es bastante visual ¿no? 🙂

En el próximo capítulo nos centraremos en CERCA que es casi más interesante que LEJOS.

Nos seguimos leyendo…

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8 Respuestas a “Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos…

  1. Pingback: Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos cerca… | Cuentos Cuánticos

  2. Pingback: Para ser un Rindler de primera… acelera… acelera… | Cuentos Cuánticos

  3. Casi parece un “chiste bizarro”, como Einstein muestra la profundidad de concepto, que un fotón se curva frente a la gravedad (cae como una piedra, segmento de parábola), con una ilustración que un niño pueda entender.
    Mediante su caja acelerada, con un agujero en su costado.
    Razón por la cual, la matemática demuestra, y la física muestra.

    Recuerdo, mi padre (QEPD) pensaba que The Beatles, eran “unos locos de pelo largo”, ¿Qué comparación habría con Beethoven o Haendel?
    Para Hitler, Picasso no era arte, ¿Qué comparación se podría hacer con Miguel Ángel?

    Hay tres tipos de físicos:
    “Los intelectuales resuelven los problemas; los genios, los evitan” (Einstein).
    Y los curiosos buscan explicaciones.

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  5. Hay conceptos (sutilmente) confusos, el concepto abstracto matemático no es la realidad física.

    Cuando decimos que el plano se curva, y colocamos ese plano (curvo) en una geometría espacial recta, no es así como funciona la física, aunque sí, es así como funciona la geometría (matemática, lógica).

    Cuando se curva el plano, el espacio se deformó.
    NO hay abstractos en física; me explico: Cuando físicamente pensamos en un plano, siempre seguirá siendo un cuerpo.
    El papel es un plano físico, la superficie es un concepto abstracto, no es física.

    Y concuerdo con:
    “Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad.” Einstein

    La utilización de un espacio recto, termina siendo semillero de errores.

  6. Excelente.
    Aunque creo que nunca acabo de entender el diagrama de Penrose…..

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