En un universo hecho de radiación…


En la entrada anterior, En un universo hecho de materia…, hemos aprendido a definir un modelo cosmológico cuando en el universo sólo hay materia.  Ahora vamos a hacer lo mismo pero en el caso en el que sólo tenemos radiación electromagnética, fotones.

La radiación

Ya vimos que la radiación se caracteriza porque su presión es proporcional a la densidad de energía:

P=\dfrac{\rho c^2}{3}

Resolvemos la ecuación de la densidad

Tomamos la ecuación de densidad

\dot{\rho}+3\dfrac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\dfrac{P}{c^2}\right)=0

y sustituimos la expresión anterior de la presión:

\dot{\rho}+3\dfrac{\dot{a}}{a}\left(\rho+\dfrac{\rho c^2}{3c^2}\right)=0

Lo que nos queda:

\dot{\rho}+4\dfrac{\dot{a}}{a}\rho=0

Empleando el mismo argumento que en la entrada anterior (si alguien tiene dudas al respecto podemos repetirlo) llegamos a que la solución de esta ecuación es:

\rho=\dfrac{\rho_0}{a^4}

Sorprendentemente la densidad de la (energía de) radiación decrece con la potencia cuarta del factor de escala en vez de con la potencia cúbica.  Es decir, que decrece más rápido que la materia (en función del factor de escala).  Esto se puede entender por lo siguiente:

–  Tiene una disminución conforme aumenta el volumen.  Eso justifica una potencia 3.

–  Pero además su longitud de onda aumenta (desplazamiento al rojo) proporcionalmente al factor de escala a (esto fue discutido en la entrada:  El último paso, el desplazamiento al rojo y la expansión), es decir que su energía decrece conforme el factor de escala aumenta, implicando una bajada en la densidad.  Lo cual introduce una potencia más.

Estas son las dos fuentes que justifican este comportamiento de la densidad de energía en función del factor de escala.  Si graficamos en azul la densidad de radiación y en rojo la densidad de materia respecto al factor de escala (en el eje horizontal) tendremos:

Se puede ver como la densidad de radiación cae más rápidamente que la de materia.

Resolviendo la ecuación de Friedmann

Si volvemos a repetir los pasos de la entrada anterior encontraremos que el factor de escala evoluciona con el tiempo, en el caso de un universo con radiación, cómo:

a(t)=\left(\dfrac{t}{t_0}\right)^{\dfrac{1}{2}}

En el caso con materia el exponente era mayor (2/3=0.66666….) es decir, que se expande “más rápido” que en el caso con radiación.

La densidad será:

\rho(t)=\dfrac{\rho_0}{a^4}=\dfrac{\rho_0 t_0^2}{t^2}

En este caso la disminución con el tiempo coincide con lo que le ocurre a la materia. No confundir con la disminución en función del factor de escala.

Y el factor de Hubble:

H(t)=\dfrac{1}{2t}

Es un ejercicio muy interesante hacer las gráficas de estos parámetros para los dos casos y compararlas.  Hay herramientas  que permiten hacerlo como por ejemplo https://www.desmos.com/.  Si no podéis y queréis ver las gráficas sólo tenéis que decirlo.

Nos seguimos leyendo…

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2 Respuestas a “En un universo hecho de radiación…

  1. en este modelo la constante cosmológica $\Lambda$ es 0???

    saludos

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