La importancia de la curvatura


Hasta ahora hemos ido desarrollando los conceptos esenciales para estudiar cosmología.  Todo esto está contenido en el minicurso:  Cosmología, una introducción fácil.

Hoy vamos a tratar el tema de la curvatura.  Este término es muy importante, la cuestión es que en Relatividad General la geometría del espaciotiempo es parte del juego y en cosmología eso se ve en el hecho de que en la ecuación que rige la evolución del universo entra un término de curvatura:

La ecuación de Friedmann:   \left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}

donde el término dfrac{kc^2}{a^2} nos da la información de la curvatura del espacio (tres dimensones) del universo.  Como veremos diferentes valores de k implican diferentes geometrías.  Luego estudiaremos cómo afecta esto a la evolución del universo.

Los valores de k

La constante k puede tener tres tipos de valores, positivo, negativo y nulo.  Cada caso está relacionado con una curvatura del espacio:

 Caso k=0

Este valor nos dice que el espacio es plano.  Es decir, las reglas de la geometría son las que aprendimos en el colegio:

– Dos rectas paralelas serán paralelas en todo momento.

–  Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Caso k>0

Si la constante es positiva implica que la geometría del espacio es “cerrada” (closed en inglés).  Es decir el espacio se asemeja a una esfera. A esto también se le llama geometría esférica:

–  No existen paralelas. Dadas dos líneas siempre acaban cortándose en un punto.

–  Los tres ángulos de un triángulo suman más de 180º.

Caso k<0

Si la constante es negativa implica que la geometría del espacio es “abierta” (open en inglés). Es decir, el espacio se asemeja a una silla de montar (en dos dimensiones). A esto se le llama geometría hiperbólica:

–  Existen infinitas paralelas.  Dada una línea podemos encontrar infinitas líneas que no se cortan con ella.

–  Los tres ángulos de un triángulo suman menos de 180º.

Uno siempre puede reasignar valores a la constante de forma que los tres casos correspondan a:  k=-1,0,1.

Influencia de la curvatura en la evolución del universo

En este apartado vamos a introducir una serie de razonamientos que son habituales en cosmología.  Lo que vamos a hacer es mostrar cualitativamente como influye la curvatura en la evolución del universo sin resolver explícitamente las ecuaciones.

Recordemos que tenemos las ecuaciones de Friedmann:

H^2(t)=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{k}{a^2}

Para centrar ideas supongamos que estamos en un universo compuesto por materia (los argumentos funcionan igual en cualquier otro caso).  Recordemos, ver la entrada enlazada anteriormente, que en este tipo de universo la densidad se reduce al aumentar el factor de escala en una proporción 1/a^3.

Casos:

Constante positiva:

Si la constante es positiva la ecuación de Friedmann queda:

H^2(t)=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{k}{a^2}

dado que hay dos términos restados es posible encontrar la situación en la que se compensen quedando entonces H(t)=0.  Pero recordemos que H(t) era:

H(t)=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}

es decir el ratio de la velocidad de expansión respecto al valor de la expansión en cada instante.  Si H(t)=0 significa que \dot{a}=0 por lo que la expansión se para.

Pensemos que la densidad \rho evoluciona como 1/a^3 y el término de curvatura (tomando k=+1) va como 1/a^2. Basta ir poniendo números cada vez más grandes para darnos cuenta de que en la competición:

\dfrac{1}{a^3}-\dfrac{1}{a^2}

llegará un momento en el que domine el término de la curvatura.  Para eso hay que pasar por un momento donde H(t)=0, la expansión se para y después de eso   la gravedad sigue atrayendo a la materia y el universo empieza un proceso de contracción llegando a concentrarlo todo en un punto (esto sólo es cierto en un contexto clásico donde no entramos en detalles cuánticos ni en cambios de fases de la materia, notemos que aquí estamos considerando únicamente materia usual, lo cual no es lo que uno espera tener en el universo en todos los instantes. Ni mucho menos en los instantes iniciales o finales del mismo).  Acabamos con un universo cerrado.

Constante de curvatura negativa

En este caso la ecuación de Friedmann queda (haciendo explícito el signo de k):

H^2(t)=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{(-k)}{a^2}

Lo que podemos escribir como:

H^2(t)=\dfrac{8\pi G}{3}\rho+\dfrac{k}{a^2}

Es decir, tenemos dos términos que suman, cada vez es mayor por tanto H(t), lo que implica que la expansión es cada vez más rápida, el universo no para de expandirse y además lo hará aceleradamente.  A esto lo llamamos universo abierto.

Constante de curvatura nula

En este caso la ecuación de Friedmann queda:

H^2(t)=\dfrac{8\pi G}{3}\rho

En este caso no hay nada más que la contribución de la energía y el caso fue resuelto en  En un universo hecho de materia…   Aquí tenemos que el universo se expandirá para siempre pero cada vez a un ritmo menor, idealmente el universo dejaría de expandirse (la velocidad de expansión se anularía) en un tiempo infinito.

Los tres comportamientos del factor de escala en función del tiempo dependiendo de los valores de k es:

Ya quedan menos ingredientes.  Próximamente “La Constante Cosmológica”.

Nos seguimos leyendo…

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40 Respuestas a “La importancia de la curvatura

  1. Hola,
    Tengo una pregunta. Estoy haciendo modelos con Octave para ver cómo evolucionan tanto la densidad como el factor de escala respeto al tiempo para distintos universos. Lo estoy haciendo por el método Euler trabajando con unidades geometrizadas y con un paso lo suficientemente pequeño como para que sea preciso. Mi problema es que en la ecuación de la derivada del factor de escala, tengo una raíz multiplicada por un número positivo y se supone que tiene que dar negativo en algun punto para que el universo colapse que es lo que pasa con k=1 y todo 100% del universo con materia.
    ´MI ecuación es: [p= (puntito de la d/dt)] [rho es la densidad total]
    ap= (( (8*pi/3)*rho – k/a^2 ) ^(1/2) ) *a

  2. Es Friedman-LEMAÎTRE-Robertson-Walker.

    Ya he visto en varias entradas que se saltean a Lemaître o escriben la sgila FRW. Que ya parece que le tienen bronca al pobre hombre…

  3. Una cuestión que nunca he llegado a comprender es la siguiente: ¿cómo puede coexistir la noción de un universo infinito (suponiendo que así fuera) con el hecho de que sea homogéneo, teniendo en cuenta que la cantidad de materia es finita?
    Agradecería mucho que alguien me lo aclarara.

    • En cosmología, generalmente, no se habla de cantidad total/energía sino de su densidad. Es la densidad lo que disminuye con la expansión. La homogeneidad es en términos de densidades de las distintas contribuciones a la masa/energía.

      • Cierto, no me he explicado bien. Voy a preguntarlo con un lenguaje muy, muy informal, a ver si me explico mejor: ¿de qué manera se reparte la materia/energía, finita, en un espacio infinito?

        • De forma que su densidad sea homogénea e isótropa. Nosotros no podemos ver más allá del radio de Hubble, así que no tenemos control sobre “TODO” el universo, solo sobre la parte observable del mismo.

          • ¿quieres decir entonces que NO tenemos modelo para lo que hay más allá del universo observable, y que cuando hablamos por ejemplo de la masa del universo, nos referimos únicamente a la masa que vemos?

            • No es exactamente así:

              1) Nuestro modelos trabajan con densidades como hemos dicho antes. Esto presupone principio cosmológico, es decir, homogeneidad e isotropía, hasta cierto grado. Así que presumimos que todo el universo es así en “este momento”.
              2) El universo observable aumenta con el tiempo, y lo que sabemos es que sus propiedades no cambian conforme aumenta su tamaño.
              3) Cuando hablamos de masa/energía lo hacemos en términos de densidades, no en cantidades totales. En un universo infinito podría haber una cantidad infinita de tales cantidades, lo importante en términos cosmológicos es la distribución de densidades.

              Esos son los puntos, más o menos, que contestan a tu pregunta 🙂

              • Entiendo la respuesta, pero no deja de ser sorprendente, puesto que aunque para el modelo cosmológico no nos interese tanto la cantidad total de masa/energía, lo cierto es que no se descarta la posibilidad de que surgiera del Big Bang una cantidad infinita de ésta, cosa que es bastante inaudita a mi modo de ver

              • Discúlpame, pero releyendo tu comentario, veo que en el punto 2 dices que “el universo observable aumenta con el tiempo”, pero ¿cómo es eso posible en un universo con expansión acelerada? ¿No se supone que en un universo acelerado, los objetos van saliendo de la esfera de Hubble?

  4. si k 3D es negativa con un universo abierto , al agregar la coordenada temporal, ¿podria k 4D ser positiva y ello traer un espacio de Sitter 4D ?, o sea un espacio 4D con curvatura constante positiva y constante cosmologica positiva (si la accion es E-H)

  5. Aunque hace ya varios meses que nada sabemos de Cuentos Cuanticos, no quiero dejar de agradecer los magnificos articulos que dejaste en el blog, en particular estos cursos que poco a poco he podido ir terminando. Gracias Cuentos Cuantico!!

  6. Sin la materia el espacio tiempo sería lineal.
    Pero el espacio tiempo nació con el big bang segun ésta teoría.
    A partir de ahí el espacio tiempo aparece ligado a la materia.
    La materia curva el espacio tiempo.
    Luego el universo tiene que seguir un modelo lineal con pliegues y curvaturas hasta donde la materia lo pueda permitir.
    Si la materia se aleja entre si permite espacio tiempo lineales y tramos abiertos y planos valores de k=0 segun el modelo que se expone aquí.

    ……Pues una conjugación, seguramente el universo será mucho más complejo y podrán coexistir dos modelos o más diferentes. A no ser que haya una buena razón para decir que las tres conclusiones tienen que ser excluyentes.

  7. Otra sugerencia con un potencial de 90 000 000 de usuarios es YR (yahoo! respuestas) te sugiero el rincón de Astronomía y Espacio, me encontrarás fácilmente (sin dudas).

  8. Si este no es el ámbito, tiene mi mail, o puedes encontrarlo al final de mi página principal.

  9. CaspolinoX:

    No tengo problemas que hagas tu sitio. Y que expongas tu posición y la defiendas, y si me dejas tu mail, tampoco tendré problemas para discutir las diferencias. Y si no quieres discutir tampoco podré obligarte, sólo seguiré diciendo que no quieres presentar las razones.

    Si quieres que presente las razones:
    Ej. Por qué la expansión no puede tener un componente tridimensional.
    Lo explicaré, pero con una discusión así:
    “El anterior comentario no tiene ningún sentido.”
    Parece que hay poco para discutir. Y es evidente la censura de la página (que fue borrada), para que nadie llegue a la información.

    En cuanto al sitio, es de divulgación no de discusión, si quieres hacemos un sitio especial de discusión. Si tus argumentos son adecuados, no veo que tengas problemas para que se vea mi error, ni la necesidad de llevarlos a otra parte, y si le temes, alguna razón habrá.

    • -“no tengo problemas que hagas tu sitio” -dices.
      ¿Y por qué deberías tener tú algún problema en que yo haga mi sitio? Quien tiene el problema soy yo, ya que antes de hacer el sitio tengo la obligación moral de aclarar al máximo mis ideas y contrastarlas con las ideas previamente probadas (aunque también con las no probadas), y creo que todavía me queda mucho por aclarar.

      Respecto al enfoque tridimensional vs tetradimensional no estaría nada mal una discusión al respecto, pero creo que el mejor lugar para esa discusión es tu sitio web de divulgación o un apartado exclusivo para la discusión.

  10. Es lamentable que se dedique tanto esfuerzo para confundir los estudiantes, al colmo que no entiendan la realidad.

    Para cualquier tipo de especulación de forma del universo, esta no puede hacerse ignorando la expansión de las galaxias. (Ley de Hubble). En la expansión no hay variación (que se detenga, etc.) es una constante (Ley de Hubble), y es una aceleración (mayor distancia mayor velocidad aparente).
    La expansión no puede ser tridimensional, porque si hacemos el retroceso, llegaríamos a un punto de comienzo, nos llevaría a pensar que somos el ombligo del universo, ya que todas las galaxias, se alejan de nosotros (concepto medieval y romanista).
    La expansión tiene una dinámica en la cuarta dimensión (“velocidad”), la cual nadie da el menor signo de su existencia. No puede tener un componente tridimensional, caso contrario somos el centro del universo. El más mínimo componente tridimensional, nos hace el centro. La velocidad tridimensional es RELATIVA, es una velocidad aparente (factor de Lorentz). Por lo tanto, es únicamente en la cuarta dimensión (tiempo, “flecha del tiempo”).
    Si el universo fuese Ω=1, queda fuera de discusión, las galaxias no se alejarían. Entonces no tiene ningún objeto considerarlo.
    Si Ω<1, tampoco tiene sentido alguno considerarlo, habría algunas galaxias lejanas que se acercarían, que en nada coincide con la observación.
    Par mayor explicación: Parte, "C) ¿Qué forma tiene el universo?":

    Es increíble que gente que parece inteligente, no pueda ver esto. El alumno ideal dice: “¡Excelente profe!”, porque no pone en dudas a su profesor, esa es la escoria del pensamiento científico. Y la otra es la censura.

    • El anterior comentario no tiene ningún sentido.

      Cuentos Cuánticos

    • oscar roberto,
      Por una parte me gusta el planteamiento que haces en tu sitio web (nota: es una pena que no tenga formato 2.0 donde todo el mundo pueda expresarse abiertamente 😦 ) porque comparto contigo la necesidad de intentar ver el universo “de una manera diferente”. Aún diría más, creo que yo también podría plantear una visión algo distinta a la que nos plantean en Cuentos Cuanticos y también algo distinta a la que planteas tú mismo, pero creo que es irrefutable que cualquier “idea” debe estar probada de una u otra manera, y sobre todo no debe ser incompatible con las ideas previamente probadas.

      Me estoy planteando abrir una web donde contar mis propias ideas. Eso sí, cuando lo lleve a cabo os aseguro que permitiré comentarios.

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  13. Creo que esa conclusión es totalmente compatible con la apariencia de que el universo es plano, ya que en un universo con geometría cerrada -visualicemos la superficie de la tierra- (imaginemos la superficie de la tierra como la representación bidimensional de la tridimensionalidad), aparentemente la superficie es plana (imaginemos que no hay montañas), y también, aparentemente (supongamos que no nos podemos mover del sitio -como si fuéramos un árbol) parecería que solo existe cierta distancia visiblemente apreciable (que llevado a la escala del universo son 13700 MAL.
    Recordemos que también antes “pensábamos” que la tierra era plana.

    • Pero aquí no es cuestión de que creamos que el universo es de una forma u otra. La cuestión es que diferentes geometrías o curvaturas dan lugar a parámetros observables diferentes, y a día de hoy todas las observaciones indican que el espacio es plano o abierto.

  14. Aunque según Marinoni y Buzzi el universo es plano, yo no puedo imaginarme un universo cuya geometría no sea cerrada.
    Si la geometría del universo no fuese cerrada significaría que en cualquier dirección existiría una galaxia (aunque no la pudiéramos ver por estar a una distancia extremadamente grande superior a los 13700 MAL) desde la cual -un supuesto terráqueo de una supuesta tierra de dicha galaxia- podrían verse galaxias en una dirección, pero no en otra. Y la pregunta sería ¿que habría en esa otra dirección donde no hay galaxias? Hubiera lo que hubiera, esos terráqueos tendrían muy claro que “el universo no es homogéneo”.
    De esto puede inferirse que: “si el universo es homogéneo significa que tiene una geometría cerrada”.
    ¿que opináis de esta afirmación?

    • Todas las soluciones discutidas están fundamentadas en la base de un universo homogéneo e isótropo. Es decir, que esa característica no determina la geometría del universo sino la influencia de su contenido de materia/energía y geometría. Eso es lo que nos dicen las ecuaciones y lo que encontramos en las observaciones.

      De todas formas en tu argumento hay un detalle, la homogeneidad sólo es aparente a escalas cosmológicas de muchos miles de megaparsecs. Es decir, que un observador en la tierra no puede inferir homogeneidad porque lo que vemos es justamente que no es nada homogéneo. De todas formas, no entiendo muy bien eso de que si la geometría no fuera cerrada en cualquier dirección habría una galaxia, eso también pasaría en una geometría cerrada si uno asume homogeneidad.

      • Lo voy a plantear de otra manera, a ver en qué punto me estoy equivocando.
        (1) Sabemos que el espacio -tridimensional- está aumentando. De esto inferimos que “comenzó” con el Big-Bang, puesto que si el espacio aumenta, significa que antes era más pequeño.
        (2) Creo que de lo anterior puede inferirse que el espacio es finito, y que la energía también es finita -sea la que sea.
        (3) Cualquier espacio -tridimensional- que tenga una geometría abierta y un espacio finito, indudablemente (visto desde fuera) tendrá unos límites claramente definidos (puede verse en los gráficos que acompañan el artículo -open geometry y flat geometry). Representar la tridimensión mediante un plano bidimensional es ideal para visualizarlo.
        * Paremos el tiempo por un momento en el universo, y supongamos que podemos movernos virtualmente por el universo a nuestro libre albedrío.
        * Supongamos también que estamos en un universo homogéneo y supuestamente isótropo.
        (4) En un universo con geometría cerrada, todo observador virtual que esté dentro de dicho universo -esté donde esté- (recordemos que hemos parado el tiempo, y que estamos representando la tridimensión mediante la representación bidimensional que sería la pared exterior de un globo) verá que el universo es isótropo.
        (5) En un universo con geometría abierta, un observador virtual que esté en el límite del universo (sea plano o no) vería que el universo no es isótropo, pues de lo contrario siempre podría ir más allá, lo cual querría decir que es infinito. Y lo que es seguro es que no es infinito porque un universo infinito, homogéneo e isótropo tendría, inequívocamente, energía infinita.
        Conclusión: El universo tiene una geometría cerrada 😉

        • (1) Sabemos que el espacio -tridimensional- está aumentando. De esto inferimos que “comenzó” con el Big-Bang, puesto que si el espacio aumenta, significa que antes era más pequeño.

          En realidad lo que sabemos es que las distancias eran más cortas. Cuando se dice que el universo era más pequeño nos referimos a que el universo observable tenía menor extensión. Pero el universo total ha podido ser siempre infinito.

          (2) Creo que de lo anterior puede inferirse que el espacio es finito, y que la energía también es finita -sea la que sea.

          Con lo que se trabaja en cosmología no es con la energía total, es con la energía local (densidad de energía) y esa es la que es finita.

          (3) Cualquier espacio -tridimensional- que tenga una geometría abierta y un espacio finito, indudablemente (visto desde fuera) tendrá unos límites claramente definidos (puede verse en los gráficos que acompañan el artículo -open geometry y flat geometry). Representar la tridimensión mediante un plano bidimensional es ideal para visualizarlo.

          Esas representaciones se refieren a la topología del espacio no a su extensión real. Evidentemente no podemos representar espacios infinitos (con matices) en un papel o pantalla finita. Y digo con matices porque hay técnicas que nos permiten trabajar con espacios infinitos como los diagramas de Penrose de los que ya hablamos en su momento.

          5) En un universo con geometría abierta, un observador virtual que esté en el límite del universo (sea plano o no) vería que el universo no es isótropo, pues de lo contrario siempre podría ir más allá, lo cual querría decir que es infinito. Y lo que es seguro es que no es infinito porque un universo infinito, homogéneo e isótropo tendría, inequívocamente, energía infinita.

          Como he dicho la cuestión es que no trabajamos con energías totales. De hecho, en un contexto gravitatorio general el concepto de energía no está bien definido más allá de medidas locales, es decir, no podemos hablar de la energía total del universo y sólo de su densidad. Por este motivo el universo podría ser infinito sin ningún problema y todo lo que hemos derivado así lo confirma.

          • ¡¡¡¡qué velocidad de respuesta!!!! Muchas gracias.

            Entonces, si damos por hecho que el universo tiene geometría abierta (que según la experimentación actual así se corrobora) debemos dar por hecho que ES INFINITO. ¿no?
            Y si el universo fuera cerrado, ¿deberíamos dar por hecho que NO ES INFINITO?
            ¿podría haber -matemáticamente- un universo tridimensional cerrado e infinito al mismo tiempo?

            Gracias por vuestro tiempo.

            • No tiene mérito, después de unos días desconectados, estamos preparando entradas así que nos llegan los comentarios en tiempo real. Teóricamente el universo es infinito por las observaciones realizadas hasta la fecha, sí.

              Si el universo fuese cerrado entonces sería finito sin borde. Y no puede haber un espacio cerrado e infinito (en extensión) desde el punto de vista matemático.

              • Siento discrepar. Lo que hacéis tiene muchísimo mérito. Me reitero en daros las gracias.

                A ver si “termino de entender”:
                Si el universo es abierto e infinito, ¿por qué en la gráfica (la última del post) el eje vertical se llama “radio del universo”? El radio de un universo tridimensial infinto debería ser infinito para cualquier valor de tiempo ¿no?
                ¿o se refiere al radio del universo “localmente” visible?

  15. ¿Es correcta la gráfica del universo abierto? No parece que crezca aceleradamente. Se ve igual que el universo plano.
    Saludos,

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