Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon


Vamos a comenzar nuestro estudio de los campos cuánticos.  En esta entrada vamos a introducir la ecuación de Klein-Gordon.  La derivación de la misma la haremos de la forma más simple posible dejando para más adelante una derivación basada en un principio de acción.

Ecuación de Schrödinger y operadores cuánticos

Ya hemos hablado de la ecuación de Schrödinger en varias entradas, para una derivación de la misma ver la entrada: Mecánica Cuántica, una introducción absurda II: Postulados.

La ecuación de Schrödinger es:

i\hbar\dfrac{\partial \psi}{\partial t}=-\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi

Esta ecuación se puede derivar del siguiente modo:

1.-  Partimos de la relación clásica de la energía:

E=\dfrac{p^2}{2m}+V(x)

2.-  Utilizamos la correspondencia entre cantidades clásica y operadores cuánticos:

\hat{E}=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}

\hat{p}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}

\hat{\vec{v}}=-i\hbar\nabla

\hat{\vec{p}}^2=-\hbar^2\nabla^2

Recordemos que  \nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}

\hat{x}=x

La ecuación de Schrödinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en las derivadas espaciales.  Esto supone un problema para afrontar un estudio relativista donde las coordenadas espaciales y temporales están en pie de igualdad.

Ecuación de Klein-Gordon

Tenemos que buscar una ecuación que trate igual las coordenadas temporales y espaciales, es decir, que aparezcan derivadas del mismo orden para tiempo y espacio. Esto nos asegura que la ecuación pueda ser consistente con los requerimientos de la relatividad especial.  Para ello partimos de la relación relativista entre la masa, la energía y el momento:

E^2=p^2c^2+m^2c^4

Empleando las relaciones anteriores:

-\hbar^2\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}=-\hbar^2 c^2 \nabla^2 +m^2c^4

Esta ecuación ha de aplicarse sobre un campo que dependerá de las coordenadas espaciales y el tiempo:

\phi=\phi(\vec{x},t)

-\hbar^2\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\hbar^2 c^2 \nabla^2 \phi+m^2c^4\phi

Tomando \hbar=c=1

\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+m^2\phi=0

Recordemos que:   \nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}

Así que en este caso tenemos la agrupación:

\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}

A esta agrupación la denotaremos:  \Box = \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2

Esta agrupación es evidentemente invariante Lorentz, así que estamos seguros de que todos los observadores inerciales coinciden en la forma de la misma:

(\Box + m^2)\phi =0

Esta ecuación es la ecuación de Klein-Gordon.

En las proximas entradas la analizaremos entrando en sus características y cómo nos aboca a una interpretación de $\phi(\vec{x},t)$ como un campo y no como la interpretación de una función de onda de una partícula.

Nos seguimos leyendo…

 

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5 Respuestas a “Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon

  1. En la ecuación de Klein-Gordon siguen apareciendo derivadas segundas,que según el
    planteamiento inicial suponen un problema para el estudio relativista.

  2. Me has salvado el pellejo

  3. Pingback: Ecuación de Dirac – Primera parte | Cuentos Cuánticos

  4. Bueno, todo va sobre rueda habrìa que ver la aplicaciòn de la ecuaciòn.

  5. Pingback: El problema de Klein-Gordon | Cuentos Cuánticos

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