Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos cerca…


Nótese el paralelismo entre esta entrada y la directamente relacionada:

Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos

En esta entrada vamos a tratar de algo curioso y es cómo se percibe el espaciotiempo cuando estamos cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro.  Intentaremos simplificar tanto como sea posible los detalles matemáticos involucrados.  De todas formas aprenderemos a leer algunas fórmulas interesantes y que de hecho ya han sido tratadas en el blog.

Esto que vamos a tratar aquí, lo que se conoce como el límite cercano al horizonte del espacio de Schwarzschild, y da una nueva dimensión a eso que todos conocemos de nuestra experiencia cotidiana que cuanto más cerca nos encontramos de algo más “grande” lo vemos y con más detalles.  Este tratamiento que pretendemos presentar es muy útil para estudiar cosas como la radiación Hawking.

Otra vez Schwarzschild

Para una discusión sobre la métrica de Schwarzschild y su relación con los agujeros negros veáse la entrada anteriormente citada: Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos y las que ahí se citan.

Como curiosidad diremos que Schwarz-schild significa Escudo-Negro en alemán, lo cual no deja de tener su gracia ya que el agujero negro en las coordenadas de Schwarzschild presenta un horizonte de sucesos impenetrable que es ciertamente un escudo negro.

La métrica de Schwarschild tiene la siguiente forma:

ds^2=c^2\left(1-\dfrac{2GM}{rc^2}\right)dt^2-\dfrac{1}{1-\dfrac{2MG}{c^2r}}dr^2-d\Omega^2

El horizonte de sucesos es la superficie esférica con un radio:

r=\dfrac{2GM}{c^2}

es decir, está determinado por la masa del agujero negro. A este radio se le denomina radio de Schwarzschild.  Para simplificar la notación trabajaremos con unidades G=c=1, así el radio de Schwarzschild tiene la forma r=2M.

Nada que esté a una distancia por debajo del radio de Schwarzschild puede salir del agujero negro.

¿Cómo se ve Schwarzschild de cerca?

Lo más cerca que nos podemos poner de un agujero negro sin que tengamos miedo a no poder salir más es justo al lado del horizonte de sucesos, es decir, a una distancia un poquito mayor que el radio de Schwarzschild.

La pregunta aquí es cómo veríamos el espaciotiempo en las inmediaciones del horizonte de sucesos.  La respuesta no deja de tener su gracia.

Como hicimos en la entrada Esto es cerca, esto es lejos: Hoy explicamos lejos, vamos a dar dos argumentos, con la fórmula y con un dibujito.

Argumento por la fórmula

Dado que la parte angular de la métrica, (la situación es esférica así que los ángulos dan poca información), es poco interesante nos concentraremos en la parte (t-r) de la métrica de Schwarzschild:

ds^2=\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)dt^2-\dfrac{1}{1-\dfrac{2M}{r}}dr^2

Ahora nos queremos poner cerca del horizonte.  Para hacer eso seguiremos estos pasos:

1.-  Elegimos una coordenada x que verifica:   0<x<<2M.  Esto quiere decir que x es pequeña en comparación con el radio de Schwarzschild. (Es lo lógico porque no queremos alejarnos mucho.

2.-  Ahora redefinimos el radio (que es la distancia que nos separa del centro del horizonte de sucesos):

r=2M+\dfrac{x^2}{8M}

Está claro que cuando x=0 —>  r=2M  es decir, estamos en el horizonte.

Cuando x=2M —>  r=2M + \dfrac{4M^2}{8M}=2M+\dfrac{1}{2}M=2.5M

Con eso conseguimos no alejarnos mucho del horizonte.

3.- Ahora queremos modificar la métrica, para saber como ve dicho objeto un observador pegado al horizonte.  Para ello tenemos que ver qué forma tiene el factor:

1-\dfrac{2M}{r}

en las inmediaciones del horizonte.  Por lo tanto sustituimos r por 2M+\dfrac{x^2}{8M}. (los detalles matemáticos no los vamos a presentar, si alguno está interesado los pondremos en los comentarios).

1+\dfrac{2M}{r}\approx \dfrac{x^2}{16M^2}

Si llamamos \kappa=\dfrac{1}{4M} eso se puede escribir como:

1+\dfrac{2M}{r}\approx \kappa^2 x^2

4.-  Nos queda por expresar el dr en términos del dx.

dr=d(2M)+d\left(\dfrac{x^2}{8M}\right)

2M  es constante por tanto no varía así que d(2M)=0.

El d\left(\dfrac{x^2}{8M}\right) expresado en términos de dx tiene que verificar df=\dfrac{df}{dx}dx, donde en este caso f(x)=\dfrac{x^2}{8M}, eso nos da:

d\left(\dfrac{x^2}{8M}\right)=\dfrac{2x}{8M}dx=\dfrac{x}{4M}=\kappa x

Por lo tanto el diferencial queda:

dr=\kappa x dx

y el cuadrado:  dr^2=\kappa^2 x^2 dx^2

5.-  Sustituyéndolo todo con cuidado obtenemos la métrica, el espaciotiempo, cerca del horizonte:

ds^2=-\kappa^2 x^2 dt^2+dx^2

Características de esta métrica

La cosa clave aquí es lo que pasa cuando x=0, es decir, cuando estamos sobre el horizonte.  En esa situación perdemos la información de la métrica relacionada con dt.  Es decir, tenemos una singularidad en la métrica, indicando que un observador cercano al horizonte (con estas coordenadas) ve al mismo como una barrera infranqueable (un escudo negro).

Otra cosa importante es darnos cuenta que \kappa=1/4M es constante para una masa del agujero dada. Por lo tanto el término \kappa^2dt^2 se puede escribir como (\kappa dt)^2=\left(\dfrac{dt}{4M}\right)^2, quedando la métrica:

ds^2=-x^2\left(\dfrac{dt}{4M}\right)^2+dx^2

Cuando Schwarzschild se convierte en Rindler

Esto que acabamos de hacer es muy impresionante.  Si nos damos cuenta y leemos la entrada sobre el Espacio de Rindler nos damos cuenta de lo siguiente:

Métrica de Rindler:  ds^2= -\rho^2 d\eta^2+d\rho^2

Métrica de Schwarschild cerca del horizonte:  ds^2=-x^2\left(\dfrac{dt}{4M}\right)^2+dx^2

Son totalmente análogas…

Esto quiere decir que cerca del horizonte de un agujero negro de Schwarzschild el espaciotiempo parece como la porción de Rindler de un espacio de Minkowski, es decir, un espaciotiempo plano.

Con dibujitos

Espaciotiempo de Schwarzschild:

Las líneas diagonales indican el horizonte de sucesos:  r=2M(G=1).

Cerca del horizonte este espaciotiempo se vería así:

Que es un espacio de Rindler.

Recordemos que el espacio de Rindler es el que vería un observador con aceleración constante en el espacio de Minkowski.

Si uno quiere estar en el espacio de Schwarzchild en un determinado radio cercano al horizonte, para no caer tiene que estar acelerando en contra del tirón de la gravedad y así vemos la analogía completa.

Esta discusión de cerca y lejos nos servirá en un futuro próximo para hablar de la radiación de Hawking como es debido.

Nos seguimos leyendo…

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