La ecuación de continuidad


El amigo Edazez puntualizó que en el curso de introducción a la teoría cuántica de campos se había introducido la ecuación de continuidad como algo sabido.  En realidad creía que ya lo había introducido pero efectivamente no ha sido así, por lo tanto, en esta entrada vamos a meternos en el tema.

La entrada partirá de una explicación general y visual de qué es y qué implica una ecuación de continuidad.  Después introduciremos distintas ecuaciones de continuidad para ver que siempre tiene la misma estructura y significado general.  Y para terminar derivaremos en la próxima entrada la misma para el caso de la función de onda de la mecánica cuántica no relativista.

La ecuación de continuidad

Con todos nosotros la ecuación de continuidad:

\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \vec{J}=0

Con esto podríamos finalizar la entrada pero no serviría para mucho. Así que describamos la ecuación.

Descripción

a)  Supongamos que queremos calcular una magnitud física escalar (no tiene dirección ni sentido, sólo un valor en cada punto) que denotaremos por A en un volumen V.

b)  Definimos la densidad de la magnitud A.  La densidad será la unidad de A por unidad de volumen V.  Para hacer eso tomamos un volumen pequeñito dentro de V, que representamos por dV, y dividimos la cantidad de A que hay en ese dV, que representamos por dA en ese volumen dV.

Por lo tanto la densidad será:

\rho=\dfrac{dA}{dV}

c)  La cantidad A puede salir o entrar del volumen V, para ello hay que definir una corriente de la magnitud A.  A esta corriente la denotaremos por \vec{J}.  Esto es un vector porque la magnitud A podrá salir/entrar del volumen en diferentes direcciones.

d)  La cantidad  \dfrac{\partial \rho}{\partial t}  indica la variación de la densidad por unidad de tiempo.

Ahora la cosa es más que evidente, si la densidad varía por unidad de tiempo es porque la magnitud está entrando o saliendo al volumen, es decir que hay una determinada corriente (posiblemente en distintas direcciones).  De esa información da cuenta el término \nabla \cdot \vec{J}.

Entonces, si no hay creación/destrucción de la variable A entonces la variación de la densidad de A sólo puede ser debido a corrientes de dicha densidad.

Es decir, que la ecuación de continuidad nos asegura (en la versión que estamos discutiendo) que hay una cantidad conservada.  Por tanto equivale a una ley de conservación.

Ejemplos de la ecuación de continuidad

Presentemos algunos ejemplos de esta ecuación para ver que es una cosa muy general en física.

Masa

Supongamos que estamos estudiando un fluido en un volumen V de densidad \rho.  En este caso habrá una corriente si el fluido empieza a moverse con una determinada velocidad \vec{v}, siendo la corriente:

\vec{J}=\rho\vec{v}

Así la ecuación de continuidad nos dice en este caso que la masa se conserva.  Que si tengo una masa inicial y veo que varía entonces hay una corriente que compensa esa variación.

Carga eléctrica

Otro campo donde se presenta a menudo la ecuación de continuidad es en electromagnetismo.  En este caso \rho representa la densidad de carga en un volumen V dado. Y la corriente evidentemente será la corriente eléctrica que sale/entra de dicho volumen.

Así en este caso la ecuación de continuidad nos dice que la carga se conserva.

Probabilidad

En mecánica cuántica estamos interesados en estudiar probabilidades.  Si tengo un sistema cuántico descrito por una función de onda \psi(t,\vec{x}), la densidad de probabilidad de encontrarlo en un dV alrededor de un punto \vec{x}  en el instante t viene dado por la regla de Born:

\rho=|\psi|^2=\psi^*\psi

La probabilidad puede “fluir” y por tanto podremos definir una corriente de probabilidad (lo haremos con todo detalle en la próxima entrada respecto de este tema), que representaremos por \vec{J}.

Por lo tanto en este caso la ecuación de continuidad nos dirá que la probabilidad de encontrar la partícula en el volumen V se conserva.  Es decir, que si la densidad decrece/crece es porque la función de onda penetra más fuera del volumen (por tanto hay mayor probabilidad de encontrar la partícula que estemos considerando fuera del mismo) o se concentra cada vez más dentro del volumen V (por tanto hay mayor probabilidad de encontrar la partícula dentro del mismo).

Derivaremos la ecuación de continuidad cuántica en una próxima entrada.

Nos seguimos leyendo…

Gracias de nuevo a Edazez por indicarnos que este punto no había quedado claro.

 

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Una respuesta a “La ecuación de continuidad

  1. Gracias a tí por explicarlo.
    Y sobre todo por acercarnos la Física de esta forma.

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