Me atraes mucho…


Sí, toda una declaración de intenciones. Así está la cosa, hay veces que aunque uno no quiera tiene que acabar donde tiene que acabar, y tampoco nos vamos a poner tiquismiquis y vamos a ir en contra de las leyes de la física o la matemática.

Así que dado que estamos hablando de atracciones pues aprovechemos para hablar de atractores.

Sistema dinámico

Para entendernos esto es una ecuación diferencial o un conjunto de ellas.  No vamos a entrar en arenas técnicas, así que intentaremos que no llegue la sangre al río y usar dibujitos y conceptos.  Esencialmente un sistema dinámico nos dice cómo varían las variables de un sistema con el paso del tiempo.

Vamos, que F=ma es una ecuación diferencial, como ya hemos discutido alguna vez, que se puede escribir como:

F=m\dfrac{d^2 x}{dt^2}

Lo que queremos es saber la evolución temporal de la variable x para una fuerza dada F conforme pasa el tiempo.  La variable x en este caso representa la posición de una partícula, pero sistemas dinámicos los podemos escribir de lo que se nos ocurra.  Circuitos eléctricos, ondas, campos, etc.

La solución a esa ecuación diferencial nos dará x(t) y \dot{x}(t).  Es decir, una familia de funciones en general que nos dan la posición en función del tiempo y la velocidad en función del tiempo. Para seleccionar una solución hay que especificar las condiciones iniciales del sistema.

Espacio de Fases

El espacio de fases de un sistema dinámico es aquel espacio conformado por las variables dinámicas del sistema y sus primeras derivadas.  Por ejemplo, en el caso anterior, el espacio de fases sería de dos dimensiones y vendría dado por la coordenada x (que es función del tiempo x(t)) y su derivada temporal \dot{x}.  Así una curva en ese espacio nos dirá la posición (o el significado de la variable dinámica que estemos usando) en cada instante y la velocidad (o derivada temporal  de la variable dinámica).

Atractor

Un atractor es un punto, curva o región del espacio de fases donde un sistema acabará si lo dejamos evolucionar el suficiente tiempo.  Es decir, que las curvas solución al sistema dinámico acabarán en un punto, una curva o una región del espacio de fases.  Vayamos caso a caso.

Punto fijo

Aquí tenemos un sistema que da igual como empieces que todas las curvas solución al sistema dinámico de ecuaciones acaban en un punto.

¿Esto pasa en el mundo real?  Seguro que habéis jugado con algo parecido a un pédulo alguna vez… si esperas suficiente tiempo se para. Pues la descripción dinámica de ese sistema nos diría que tiene un punto fijo.  El péndulo, da igual con que ángulo empiece, con qué velocidad inicial lo lances, acaba parándose por el rozamiento con el aire y esas cosas.  Ese sistema tiene un punto fijo como atractor.

Ciclo límite

En este caso las soluciones al sistema dinámico tienden a una curva específica en el espacio de fases.  Siendo un poco más precisos, en el espacio de fases existe una curva alrededor de la cual las soluciones del sistema dinámico se mueven en espiral.

Si además de moverse en espiral alrededor de la curva ciclo límite, se aproximan conforme pasa el tiempo, entonces tenemos un ciclo límite atractivo.

La línea punteada es el ciclo límite.

Si por el contrario las curvas solución al sistema dinámico se separan más y más de la curva ciclo límite (aunque siempre alrededor de ella), tenemos un ciclo límite repulsivo.

La línea verde es el ciclo límite

 

En nuestra vida usual esos ciclos límites son importates.  Por ejemplo, en el caso de los atractivos, cuando uno sintoniza una radio está buscando un frecuencias que proporcionan intensidades que se aproximan a un ciclo límite, eso hace que si hay una perturbación, al relajarse el sistema vuelva otra vez de manera natural a acercarse al ciclo límite.  Esto da idea de la estabilidad dinámica del sistema y de lo bien que se escucha la radio en este ejemplo.

Seguiremos en una proxima entrega con los toros límite, que se merecen una entrada por si mismos, y los atractores extraños, que se merecen otra.

Nos seguimos leyendo…

 

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2 Respuestas a “Me atraes mucho…

  1. Por si sirve de ayuda para los siguientes artículos sobre atractores, y para enfatizar lo simples que son estos sistemas a pesar de lo complicados que puedan parecer, en este post que escribí en marzo os pongo un ejemplo del atractor de Lorentz realizado con solo 101 bytes de javascript:
    http://www.aprendiendonodejs.com/2012/03/atractor-de-lorenz-en-101bytes.html

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