La matemática según yo…


Urania, considerada musa de la matemática

La matemática es un tema que siempre ha intrigado a la humanidad. Una construcción tal que nos permite describir la forma en la que nuestro universo se comporta.  Y por universo aquí hemos de entender todo lo que nos rodea, desde las partículas hasta las relaciones sociales.

Aquí no vais a encontrar ninguna respuesta a ninguna de las preguntas fundamentales que se plantean sobre la asombrosa utilidad de la matemática.  Tampoco encontraréis ninguna explicación genial de matemáticas. Lo único que quiero expresar aquí es mi idea acerca de toda esta construcción y de cómo me relaciono con ella.

Cualquier otra opinión o posición respecto a la matemática será bienvenida.

¿Matemática o Matemáticas?

Para empezar una chorrada. Lo usual es que nos refiramos a “las matemáticas” sin embargo, para mí la matemática es una.  Es una construcción conceptual única que dividimos en distintas ramas. Al igual que hablamos de la Física y no de las Físicas, yo prefiero hablar de la Matemática en singular ya que existe y es única 😉

La matemática es…

La matemática, según yo, es una construcción mental que se basa en dos puntos esenciales:

  1. Define objetos.
  2. Define cómo dichos objetos se relacionan entre si.

Si aceptamos esto nos libramos de un plumazo del problema de “entender” la matemática. La matemática no hay que entenderla hay que aprenderla.

Todos nos hemos inventado un juego alguna vez… Y en el juego imponemos reglas que nos dicen lo que está permitido y lo que no. Y elegimos con qué objetos podemos jugar o no. La matemática es igual, una elección de objetos y las relaciones entre ellos.

Pongamos un ejemplo:

Imaginemos que es una tarde gris de domingo y decidimos inventar algo que llamaremos espacio vectorial.

Objetos:

  • A los elementos del espacio vectorial, los objetos con los que vamos a jugar los denominaremos vectores. Y los llamaremos A, B, C, …

Relaciones entre objetos:

  • Diremos que cualquier par de objetos A, B son vectores sí se cumplen las siguiente propiedades:
  1. C=A+B es un vector.
  2. Dados tres vectores A, B, C se ha de verificar que:  (A+B)+C=A+(B+C)
  3. Existe un vector 0 que cumple:  0+A=A  para todo vector de nuestro espacio.
  4. Dado un vector A podemos encontrar un vector B tal que A+B=0. Existe el opuesto.
  5. Si multiplicamos cualquier vector por un número el resultado sigue siendo un vector.  (La multiplicación tiene las propiedades usuales, pero eso ahora no nos interesa).
Estamos acostumbrados a pensar en los vectores como las flechas esas que pintamos en el papel. Pero, lo sorprendente es que:
  1. Las funciones continuas verifican estas propiedades. Por lo tanto son vectores según nuestra definición.
  2. Las matrices de un tamaño dado verifican estas propiedades. Por lo tanto son vectores según nuestra definición. 
  3. Los números complejos verifican estas propiedades. Por lo tanto son vectores según nuestra definición.
Y este es el mágico secreto de la matemática. Sus definiciones y sus reglas no están ligadas a ninguna cosa, son abstracciones, elecciones que hacemos y que pueden ser aplicadas con total libertad sin más que tener cuidado con que las reglas del juego se respeten.

Aplicando estas reglas a estos objetos encontraremos nuevas relaciones entre ellos, eso que llaman teoremas. Y estos teoremas son verdad y punto, dentro de esa definición y con esos objetos. Así que si demuestro que algo se cumple para flechas, se ha de cumplir para funciones continuas, para matrices de un tamaño dado o para cualquier otra cosa que verifique la definición. Y esta es toda la potencia que encierran las matemáticas.

Un lenguaje, un idioma, una herramienta…

Por ahí se puede leer que la matemática es el lenguaje de la naturaleza, que es el idioma del universo, que es la herramienta que nos permite desengranar los secretos del cosmos.

Yo no estoy de acuerdo con estas afirmaciones. Posiblemente esté equivocado, pero para mí la matemática no es una herramienta. De hecho, no entiendo esta visión utilitarista de la misma. La matemática es por definición el elemento esencial para desentrañar los secretos del universo. Esto puede parecer muy parecido a lo que digo que no me gusta, pero no lo es, una herramienta es algo accesorio… si yo tengo que clavar un clavo puedo usar un martillo, pero si no tengo un martillo a mano puedo usar el mango de un destornillador para lo mismo. De la matemática no puedo prescindir ni hay nada que la sustituya.

La matemática no es un idioma, aunque lo emula muy bien. Los idiomas son usos de un lenguaje que fundamentalmente están basados en la asociación de una significación concreta para cada unidad del mismo, las palabras. Pero la matemática está vacía de todo significado más allá de la definición de diferentes objetos y sus relaciones.

Para mí, la matemática, gracias a este vacío semántico, es un (Lenguaje)^{-1}.  Otra chorrada, pero que me sirve para recordarme que lo que tenemos es un conjunto de símbolos que permitimos relacionarse entre si de una forma bien definida y que no tienen ningún significado asociado.

La inconcebible eficacia de las matemáticas…

A lo largo de la historia nos hemos maravillado una y otra vez de que hayamos podido capturar parte del comportamiento matemático simplemente por haber deducido relaciones matemáticas entre los objetos que hemos elegido para representar lo que observamos en el universo.

Por ejemplo, Maxwell propuso unas ecuaciones cuya solución nos decían: “Mira aquí deben de existir ondas electromagnéticas con estas propiedades”. Y ahí están. Y así con miles de cosas distintas.

Entonces lo que se preguntan muchos es: ¿La matemática es descubrimiento o invención?  Yo no lo sé, y tampoco quiero saberlo. Me gusta sorprenderme cada vez que aprendo que usando ciertas reglas y ciertos objetos eso me esconde en un trozo de papel un pedacito de universo.

Pero no hemos de olvidar que cuando uno estudia ciencia en general sólo se presentan las teorías acertadas. Pero la historia nos dice que muchas veces tuvimos que probar una y otra cosa para dar con la mejor forma de entender algo. Así que no es ni descubrimiento per se, es más bien el atrevimiento de intentar capturar a nuestro universo entre relaciones entre objetos que hemos imaginado con nuestras cabezas.

La matemática y  la divulgación

Mi opinión está clara en este sentido. La matemática es parte esencial del entendimiento del universo, así que no hay que esconderla en los textos de divulgación. El paternalismo divulgativo, eso de no pongo fórmulas porque no las entendéis, no me gusta nada. Yo prefiero no enterarme de todo a tener la impresión de que me podría haber enterado de algo más.

En este blog procuramos guardar un equilibrio entre presentaciones de temas más duros, con más fórmulas y matemática, y otros más livianos. Y esto lo hacemos porque entendemos que alguien puede querer leer algo sin pararse mucho a pensar. Pero también creo que muchos quieren saber qué hay detrás de las teorías de verdad… sin medias tintas.

No hay que acercarse a la matemática con complejos, una cosa es no poder seguir un cálculo, que no es más que cuestión de entrenamiento, y otra muy distinta no poder seguir un argumento y disfrutar cuando alguien te describe una fórmula y cómo de ella se extraen consecuencias de nuestro mundo.  Hacer cálculos en fundamental para hacer ciencia pero no para entender y disfrutar de ella. Al fin y al cabo las complicaciones “técnicas” son simplemente eso… tecnicismos que si uno se entrena para hacerlos pues los hará.

Yo no puedo pintar como Velazquez pero puedo disfrutar de sus pinturas y más si alguien me va indicando en qué me tengo que fijar.

Bueno, lo dejamos aquí, me encantaría conocer vuestras opiniones.

Nos seguimos leyendo…

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14 Respuestas a “La matemática según yo…

  1. la matematica es lo esencial para el ser humano porque sin la matematica no sabriamos contar ni sumar y otra cosas mas la matematica es como un misterio que nunca tiene un fin la matematica es lo primordial para trabajar en una empresa para saber utilizar la matematica se nesecita la responsabilidad y segundo orden y trecero la diciplina sin eso no podemos trabajar

  2. Tom, usamos la Matemática para expresar comportamientos de la Naturaleza, porque a pesar de lo “rudimentaria, enredada y compleja”, es la manera más simple de codificar sin burlar nuestra percepción (y/o viceversa). Y cuando algo tan extraño como la cuántica, o como el análisis lógico de las tomas de decisiones emocionales intentan abrumarnos, pues que crees, simplemente le aplicamos matemáticas de probabilidades y teoría de juegos.

    Pero, a la Naturaleza le gustan los infinitesimales, y en ocasiones las paradojas, y por eso puede que por siempre nos llevará un paso adelante por más trucos que saquemos bajo la manga con respecto a ellos. Y hasta una tal Teoría de Incompletitud (que agradecería la cuentista nos la explique algún día) supuestamente pone límites entre la Matemática y el Conocimiento Total.

  3. La primera vez que surge cualquier matemática, así con la boca llena: matemática; lo hace a partir de algo real. Independientemente de los múltiples caminos y relaciones que se den o generalicen después. Y aunque después regrese a ser aplicado en múltiples cosas más y el ciclo se siga enriqueciendo, perpetuando; todo esta relacionado con una necesidad bien real. Aunque esa realidad del método histórico no tenga que estar plasmada en la didáctica de un libro para que entendamos u operemos con la matemática formal. Y las matemáticas, para resolver los didácticos ejercicios matemáticos; es decir, las matemáticas por las matemáticas, no existen. Tienen el mismo valor agregado que una partida de ajedrez, neurona, por neuronas. Esas flechas, esas funciones y esas matrices que hoy sirven para varias cosas, salieron de cosas reales y por eso las plásticas matemáticas, las que sorprenden por su lógica a los matemáticos, y a otros, sirven, se adaptan tan bien a las cosas reales. Es fácil ver esa codependencia, esa lógica implícita. El “lenguaje” mas barato y sintético, que hemos encontrado los humanos para entender la naturaleza física de las cosas, es el de la física-matemática; pero no es el único “lenguaje” con que nos explicamos o entendemos la naturaleza. Ese es un disparate físico muy de moda. La palabras son lenguaje, los símiles son lenguajes, la mezcla de diferentes compuesto para construir todo lo que nos rodea y no es natural es lenguaje, los dibujos experimentales, las diferentes fases de los millones experimentos que se realizan en las diferentes ramas del saber son lenguajes. En las difíciles y complejas decisiones que tomamos a diario, hay múltiples tipos de complejos lenguajes relacionados; donde usar las simplificadas, estrechas y poco universales matemáticas, “las que no se pueden sustituir”, te convertirían al instante: en un fracaso. No se puede prescindir de los otros lenguajes ni para hacer física, ni para nada. Y este es el único mágico secreto que muchos físicos-matemáticos no logran ver.

    • Pero abstrayéndonos de simpatías vocacionales y formativas; y siendo más pragmáticos, ese lenguaje es rudimentario, enredado y complejo para el nivel intelectual de los cerebros humanos. Y no puedo agregar: “y tal vez viceversa”; porque el es la obra intelectual de nuestro cerebro, al interactuar con la naturaleza.
      Nuestro famoso lenguaje matemático, hace pujar a todos, hasta los mas iluminados; a la hora de entender y modelar la naturaleza de las cosas físicas a través de el. Aunque el ego humano de los físicos, les quiera decir lo contrario al resto; todos pujamos con dolor cuando tratamos de modelar, de adaptar el famoso lenguaje de las matemáticas a la física.
      No le crean al que les diga, que no siente dolores de partos cuando solo trata de hacerlo. Y no imaginemos las miles de frustraciones o la incertidumbre que siente en su momento, el que lo consigue; al preguntarse una y mil, veces si lo que obtiene: ¿será una verdadera descripción o modelo físico-matemático de la naturaleza? Claro después de decenas o cientos de anos de didáctica pedagógica; podemos movernos dentro del circulo cerrado de esas “formulas malditas”, sin riesgos ha equivocarnos. O alardear de nuestra intelectualidad superior por lo conseguido. Tal vez esa sea una de las recompensas; aunque muchos iluminados son honestos y reconocen el traumatismo de todo el proceso y lo difícil que es interpretar la naturaleza con sus modelos. Es decir, es un lenguaje inaccesible para el 99% de los humanos; que solo un fanático dirá que no es una cifra aplastante. Incluso, en el otro 1% de iluminados, existen un sin numero de grados de domingo y comprensión del contenido muy diferentes. Hasta llegar al extremo, donde hay construcciones físicas-matemáticas que solo dicen entenderlas 3 o 4; pero que no saben como explicársela a los demás. O que muchas de sus conclusiones tal vez deban tener una explicación física en algún momento de la historia humana; pero que ellos, cuando están en un auditorio serio; reconocen que no saben que son. Hay un extremo más, el iluminado que después de anos de ser homenajeado y venerado, dice que nadie ha entendido o sabe con certeza que son ciertos “objetos” o contructos físicos. De un 1%, hasta 3 o 4 personas, dentro de 7 000 millones de terrícolas, si nos somos fanáticos, es algo aplastante; como para que lleguemos a considerar al lenguaje físico-matemático, con el que creemos acorralar a los fenómenos naturales, como algo que no es rudimentario a nuestros entendimientos. Tal vez por ser el lenguaje de mas rendimiento físico/explicativo, y lo que nos ha legado; tengamos compasión de decirlo así. Pero estos números son una conclusión aplastante. “O que en el mejor de los casos”, sea tan rudimentario, como para que no obligue ha decir, por compasión, que toda pregunta que no podamos respondernos, no es legar o no debemos hacérnoslas. O que confundamos la difusa línea, entre entender y explicarnos.
      Incluso, el desarrollo que hemos alcanzado los humanos; por lógica escolar básica, no se puede deber a ese 1% de científicos que dicen que el único lenguaje que existe para explicarnos la naturaleza y demás es el matemático. Otro razonamiento que lleva a cualquier racional, a cuestionarse si los físicos no estamos sobredimensionando nuestras especiales habilidades; al mismo nivel de vanidad, de los deportistas de alto regimientos de la actualidad u otras deidades mediáticas. Sin que con esto pretenda demeritar la importancia que cada día más tiene la ciencia y los científicos para la sociedad. O las cosas buenas que nos facilitan las matemáticas; si debemos de poner las cosas donde van.

    • “La mayoría de las personas que no han estudiado física, probablemente piensa, que lo que hacen los físicos, es cuestión de cálculos increíblemente complicados, pero no es realmente lo esencial. Lo esencial es que la física trata de conceptos, busca comprender los conceptos, comprender los principios con los que opera la naturaleza.” Edward Witten. http://es.wikipedia.org/wiki/Edward_Witten
      Esto lo dice el más teórico, de los físicos teóricos; no un desconocido como yo.
      http://www.cienciakanija.com/2012/04/12/controlar-el-efecto-tunel-cuantico-con-la-luz/comment-page-1/#comment-40991

  4. Para mi, que de mates entiendo poco, no son “un lenguaje”, son “el lenguaje humano”. No puedo comunicar cómo veo las cosas, cómo las siento…puedo intentar explicarlo, pero nunca podré hacer que conectes tus neuronas exactamente como yo las tengo, que te pongas mi cerebro.
    De modo que cada uno vive en su universo personal, donde pueden existir fantasmas y dioses muy reales, pero que nunca podrás compartir con los demás. Asi se inventan religiones, tratando de convencer a otros universos personales de que adquieran la configuración del tuyo propio. Y eso es imposible.
    Puedes ver una esfera como un pepino y yo como una cafetera, pero compartiremos la misma definición matemática y yo podré construir tu pepino y tu mi cafetera. La única comunicación capaz de salvar los abismos entre nuestros universos personales es la matemática.

  5. Tom Wood quiere que se estudie el Universo con ambos lados, a la antigua…..

  6. La Aritmética no es más que la percepción secuencial de cantidad y cualidad, métodos de contar. La Matemática es la unión de la Lógica y la Aritmética, y es la manera natural en que un lado de nuestro cerebro entiende la naturaleza y los procesos. Más que una herramienta constituye la “sopa de letras” informática del Universo mismo.

  7. Para mí la Matemática es encontrar pautas y establecer relaciones.
    Y comparto el desasosiego por el “paternalismo divulgativo”.

  8. Como Ud. dice: “yo prefiero hablar de la Matemática en singular ya que existe y es única … La matemática, según yo, es una construcción mental …” (Contrario al comentario de “planck”.)
    Sobre “construcción mental”, en lo personal prefiero “construcción abstracta”. (Aunque no cambia mucho el sentido)
    Cuando en “una tarde gris de domingo y decidimos inventar algo”, no se trata de algo real, sino abstracto.
    Respeto a los matemáticos, pero no, a quienes creen que la física, es matemática. La matemática es abstracta, y la física pretende ser real. Así en física, cuando pienso en un plano, pienso en un cuerpo con superficie plana, no existe un plano sin un cuerpo. El plano sin cuerpo, una construcción abstracta (matemática). Es más, no existe cuerpo sin tiempo, eso significa que todo cuerpo es tetradimensional, es cuerpo en cuatro dimensiones espaciales ortogonales (desde el átomo hasta la galaxia). Y pensar en tridimensión (como cuerpo “matemático”) es como querer entender la anatomía humana en un plano, donde las vértebras ocuparían el mismo espacio que el intestino. Así es el concepto tridimensional y concéntrico, del átomo de Bohr.
    Sobre: “desentrañar los secretos”
    Primeramente, lo que existe, son los fenómenos físicos, que Einstein los llama axiomas físicos, luego se crea una lógica, para explicar la relación, diferencia, o proporción entre fenómenos, a eso llamamos matemática en física, que le llamamos mecánica (cuántica, relativista, clásica, etc.). Pero la mecánica no explica los fenómenos, sino su relación. Porque la mecánica es una construcción lógica, que parte de axiomas matemáticos (no físicos). En matemática, los axiomas no pueden ser explicados (son puntos de partida).
    En tanto los axiomas físicos, son las observaciones, y son el objeto de la explicación. No de las minuciosidades comparativas, de la cual se ocupa la mecánica.
    Razón por la cual dice: “Pensamientos e ideas, no fórmulas, constituyen el principio de toda teoría física. Las ideas deben, después, adoptar la forma matemática…” EINSTEIN
    La mecánica, estudia la relación entre los fenómenos, si eres un ingeniero, o un estudiante; tendrás que estudiar la mecánica de Newton, dará las relaciones, igualdades y proporciones; imprescindibles para los cálculos, si es necesario mayor precisión, recurrirás a la mecánica relativista (entendiendo esta, sin los errores introducidos).
    En ningún momento la mecánica newtoniana, ha perdido valor para los cálculos generales, aunque podamos criticar “el reloj suizo” newtoniano, que toma la forma “látex” de Einstein.
    La relación relativa entre los fenómenos, no son una explicación del porqué, sino de como funciona (mecánica) el universo desde un observador.
    Cuando digo: “La matemática perjudica la comprensión del fenómeno físico”. Me refiero a que, creer que la explicación de los fenómenos son la mecánica, es un error de concepto, y al no explicar el fenómeno dando la razón, termina siendo una in-explicación, ya que es imposible dar una explicación matemática. Como no se explica, se parte de un axioma (no explicado), y un fenómeno no explicable, se llama magia.

  9. Hace ya tiempo que me fascina el tema de la relación entre las Matemáticas, el resto de las ciencias y el Universo real en el que vivimos. Mi opinión está reflejada en un post que escribí no hace mucho en mi página: http://revolucioncientifica.com/matematicas%20y%20realidad/que%20son%20las%20matematicas.asp
    Resumiendo mucho mi opinión es la siguiente: nuestro Universo posee unas regularidades, unas leyes fundamentales y esto puede ser debido a que un Universo basado en ciertos patrones o reglas es más estable y es más fácil que perdure en el tiempo que uno “caótico” o puramente aleatorio. Nosotros, a través de las matemáticas, como bien dice CC establecemos objetos y las relaciones entre esos objetos. Lo que sucede es que muchos de esos objetos son una imagen (están basados) en objetos reales (como los objetos de la geometría) y por ello, basandose en reglas lógicas y de coherencia interna somos capaces de establecer las relaciones entre objetos reales, captando asi esos patrones o regularidades del Universo. Las Matemáticas nos permiten descubrir relaciones entre objetos aparentemente desconectados permitiendonos estudiar patrones o estructuras ocultas de la realidad.
    Estoy de acuerdo con CC en que las Matemáticas no son una mera herramienta, quizás alguna rama como el cálculo pueda ser considerada una herramienta (eso sí de un poder increíble) pero en general las Matemáticas son mucho más que eso, son en mi opinión la disciplina intelectual del conocimiento humano por excelencia, hasta el punto de que disciplinas fundamentales como la Física no podrían existir sin la matemática mientras que ésta si podría existir sin la Física. De alguna forma las matemáticas son más generales, estudian todas las relaciones posibles mientras que la Física estudia las que suceden en la naturaleza. En mi opinión, la Física moderna está descubriendo que la relación entre Física y Matemáticas es más intrincada de lo que parecía, por ejemplo, la función de onda cuántica es un objeto matemático (un vector en un espacio de Hilbert) que posee toda la información física de un sistema concreto. En principio este objeto no tiene una existencia “real”, sin embargo, cuando medimos un observable en el sistema la función de onda “colapsa” y un valor concreto de entre los posibles “se hace real”. Esto es un ejemplo de la tenue frontera que separa los objetos matemáticos y los objetos reales.
    Las Matemáticas tienen un poder enorme, solo gracias a ellas unos organismos de efímera existencia como nosotros podemos acceder a las leyes más profundas del Universo. Nosotros somos mortales pero las relaciones que descubramos a través de las Matemáticas son y serán inmortales e inmutables para siempre. Termino con una cita (no recuerdo de quién): ” Ser Matemático es estar lo más cerca de la inmortalidad de lo que cualquier ser humano pueda aspirar a estar”
    Saludos

  10. Antonio Delgado Jiménez

    Lo que más me ha gustado es esto: “El paternalismo divulgativo, eso de no pongo fórmulas porque no las entendéis, no me gusta nada”

  11. Genial. Las matemáticas, a su manera, son como un ajedrez altamente sofisticado.

  12. Estoy de acuerdo en todos los puntos que has tocado, lo que me hace preguntarme, siendo físico de formación, si no será eso, el hecho de ser físicos y ver el mundo desde esa perspectiva y entrenamiento, lo que nos hace ver la matemática de esta manera.

    El tema que no has tocado es la matemática en el sistema educativo, el cual me parece un tema muy interesante y muy importante. Importante porque el desarrollo del pensamiento lógico-matemático es muy útil en la vida diaria para detectar falacias y engaños, para capturar la esencia de los argumentos y exponer los nuestros con propiedad. Sufro cada vez que alguien asocia la matemática con hacer cuentas. Los problemas de aritmética serán muy entretenidos, pero si la sociedad se cree que eso es la matemática moderna tenemos un problema de cultura general importante.

    Hay que romper estas barreras como se han roto otras.

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