¡Por dios, Carlos! ¡Trata de copiarlo!


Copiar es el arte de reproducir un original (texto, imagen, etc) manteniendo fielmente las características del mismo y sin alterarlo de modo alguno.

El concepto de copia no está falto de controversia estos días por motivos obvios. Pero no te preocupes, no vamos a hablar sobre copyrights o cosas por el estilo. En esta ocasión nos ocuparemos del conocido como Teorema de no copia en mecánica cuántica.

Para los sentimentales dejamos la siguiente imagen:

Yo también usé ‘papel de calca’. 🙂

En lo que sigue tomaremos dos posturas:

  1. Haremos una discusión pedestre del teorema y de su importancia.
  2. Daremos una demostración que para cualquiera que tenga unos mínimos conocimientos en cuántica debería de ser fácilmente asimilable.

¿Qué dice el teorema y por qué es importante?

En pocas palabras el teorema establece:

No se puede diseñar un dispositivo que copie de forma perfecta un estado cuántico arbitrario sin alterar el original de algún modo.

La clave de este asunto está en la palabra ‘abitrario’. Si alguien desea copiar un estado cuántico que es desconocido para él, la mecánica cuántica se empeña en que esto no sea posible. Y no es posible por varios motivos:

  • Se puede diseñar un método de ‘copia’. Pero este método alteraría el estado original. Por lo tanto, el que conociera el estado original se daría cuenta inmediatamente de que están intentando copiar dicho estado.
  • El copiador nunca estaría seguro de si lo que obtiene por el método de copia es igual al estado (arbitrario) original o no.

¿Cómo funciona esto?

La idea básica de la imposibilidad de clonar un estado arbitrario se basa en lo siguiente:

  1. Supongamos que tenemos una fuente de fotones. Como partículas de luz que son estos fotones pueden estar en distintos estados de polarización (para refrescar la polarización se recomienda leer la entrada de @guardiolajavi: Polarización ¡Qué sustos nos das!).  La polarización puede ser vertical, horizontal o un estado combinación (arbitraria) de los dos anteriores.
  2. Si nuestra máquina de copiar está diseñada (el cilintro violeta de la imagen) puede que nos de los siguientes resultados. Si le llega un fotón polarizado verticalmente nos devolverá dos fotones polarizados verticalmente. Si le llega un fotón polarizado horizontalmente nos devolverá dos fotones polarizados horizontalmente. Si le llega un fotón con una polarización arbitraria, o nos da fotones polarizados verticalmente o nos da fotones polarizados horizontalmente.

Es decir, esta máquina no puede copiar un estado arbitrario de polarización. Este ejemplo es muy pedestre pero aún así coniene la esencia de lo anteriormente expuesto. No hay forma de copiar un estado cuántico arbitrario. En la siguiente sección detallaremos este hecho de forma técnica.

Los beneficios

Aunque copiar información es algo útil, la cuántica se empeña y ponerlo difícil (imposible de forma perfecta y fiable). Esto no deja de ser una virtud para varias cosas. Por ejemplo, si yo concibo una clave criptográfica basada en estados cuánticos estaré seguro de que no podrán copiar mis mensajes y solo los poseedores de la clave podrán leer los mensajes. El teorema de no copiado es una de las bases de la criptografía cuántica.

Además, este hecho está intimamente relacionado con la imposibilidad de enviar instantáneamente información a través de procedimientos cuánticos. Para poder hacer eso deberíamos de ser capaces de teletransportar y copiar un estado cuántico cualquiera de un punto a otro. Sin embargo, esto no es posible por dos motivos relacionados con este teorema, la copia no sabemos si es fiable o no y al intentar copiar destruyo el estado original.

De hecho, estos teoremas de no copiado, que no se llegaron a ellos hasta el 1982 se obtuvieron al estudiar la posibilidad de la transmisión instantánea de la información.  Una explicación de esto está en este interesante artículo de Asher Peres del 2002:

How the No-Cloning Theorem got its Name

Demostración formal del teorema

  • Lo haremos de forma ordenada explicando todos los pasos:Supongamos que queremos copiar un estado cuántico arbitrario (no lo conocemos) |\phi\rangle.
  • Esto lo copiaremos en un estado |calca\rangle (un sistema que tengamos a nuestra disposición, un electrón, un fotón, etc, lo que queremos es pasar su estado al estado que queremos copiar).
  • Diseñaremos un dispositivo para hacer la copia. Desde el punto de vista matemático este dispositivo estará representado por un operador unitario U_{copiador}. Su actuación será:

U_{copiador}\left(|\phi\rangle|calca\rangle\right)=\left(|\phi\rangle|\phi\rangle\right)

  •  Dado que este procedimiento queremos que valga para cualquier estado también se debería de cumplir:

U_{copiador}\left(|\psi\rangle|calca\rangle\right)=\left(|\psi\rangle|\psi\rangle\right)

  •  Ahora tomemos el producto escalar de la parte izquierda de estas dos expresiones:

\langle\psi|\langle calca|U^{\dagger}_{copiador}U_{copiador}|\phi\rangle|calca\rangle

  •  Como el operador U_{copiador} es unitario se verifica que U^{\dagger}U = 1. Por tanto, tenemos:

(\langle\psi|\langle calca|)(|\phi\rangle|calca\rangle)

  • Ahora el producto escalar se toma, primero con primero y segundo con segundo:

(\langle\psi|\langle calca|)(|\phi\rangle|calca\rangle)=\langle\psi|\phi\rangle\langle calca|calca\rangle

  • Dado que los estados han de estar normalizados: \langle calca|calca\rangle=1. Por lo que nos queda:

\langle \psi|\phi\rangle

  •  Tomando el producto escalar de la parte derecha de las ecuaciones llegaríamos, siguiendo los pasos apropiados, a la expresión:

(\langle\psi|\langle\psi|)(|\phi\rangle|\phi\rangle)=(\langle\psi|\phi\rangle)^2

  • Igualando el resultado de la parte izquierda y el de la derecha:

\langle\psi|\phi\rangle=(\langle\psi|\phi\rangle)^2

Eso implica que los únicos resultados posibles para que esto se verifique es que el producto interno entre estos estados sea 0 o 1.

Es decir, solo podemos copiar de forma fiable estados originales que sean ortogonales (como en el caso de la imagen de la sección anterior). En cualquier otro caso la copia no es fiable. Esta derivación se basa en la unitariedad del operador que representa la copia y la unitariedad es esencial en mecánica cuántica. Se puede dar otro argumento basado en la linealidad del operador (otra característica esencial en cuántica) llegando a iguales conclusiones. Así que concluyendo:

No se puede diseñar un dispositivo que copie de forma perfecta un estado cuántico arbitrario sin alterar el original de algún modo.

¡Ups!, lo hemos copiado… ha sido sin querer.

Nos seguimos leyendo…

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10 Respuestas a “¡Por dios, Carlos! ¡Trata de copiarlo!

  1. En tu resultado final para el producto interno de los estados se ve que puede ser cero o uno. Analizas el cero cuando dices que deben ser ortogonales. Pero, ¿y el uno?

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  5. Muy ilustrativo e interesante

  6. ¡¡¡Me encantan tus entradas!!! Y sí, yo también usé papel de calcar y ponía el dibujo y el papel contra la ventana 😉

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