Prohibido conmutar II


En la entrada anterior (Prohibido conmutar I) nos dedicamos a comentar el principio de indeterminación y su relación con la característica de que los observables físicos, expresados en términos matemáticos, no conmutan.

Luego dijimos que uno podría imponer que fueran las propias coordenadas del espacio las que no conmutasen entre si. En esta ocasión ahondaremos sobre el tema.  En un primer momento hablaremos de qué características tendría un espacio en el que asumamos que sus coordenadas no conmutan y, para finalizar, daremos un ejemplo muy simple donde estas ideas se presentan de forma natural.

Voy a intentar escribir esta entrada en dos niveles, la discusión general presentando ideas y resultados y alguna demostración matemática algo más formal que será indicada con el color azul y que espero se pueda saltar si no te interesa mucho el formalismo.

Un espacio donde las coordenadas no conmutan

Supongamos que estamos en un plano, para simplificar, e imponemos que sus coordenadas (x,y) no conmutan entre si.  Es decir, al imponemos que su conmutador no sea nulo:

\left[x,y\right]=i\theta

Este hecho tiene diversas impliaciones:

  • Dado que las coordenadas no conmutan verificaran un principio de indeterminación.
  • Esto significa que no podemos especificar la posición de una partícula en dicho espacio más allá de decir que está contenida en una región de area dada esencialmente por \theta.
  • En este tipo de espacios el concepto de punto deja de tener sentido, para fijar un punto hay que dar las dos coordenadas (x,y). Como esto no es posible el espacio se convierte en algo ‘borroso’.

¿Y esto que tiene que ver con la física de andar por casa?

Ciertamente, hay muchas paranoias matemáticas la mar de interesantes. Uno es libre de hacer lo que quiera en un espacio, imponer o no imponer que sus coordenadas conmuten es una elección. Uno puede probar qué pasaría si las coordenadas no conmutan y ver que geometría y que matemática salen de ahí.

Pero nos interesa la física y nos gustaría tener un ejemplo donde esto fuera lo que pasa. Ejemplos del uso de la geometría no conmutativa en física hay muchos, todo lo exóticos que queramos. ¿Pero hay algún sitio simple donde esto se pueda ‘ver’?

Y la respuesta, asombrosamente, es sí.

El ejemplo

Supongamos que tenemos una placa metálica a la que le aplicamos un campo magnético B uniforme perpendicularmente a la misma. ¿Cómo sería el movimiento de los electrones?  Esta es la base del conocido como problema de Landau que ha deparado muchas sopresas a pesar de ser un problema (de cuantización) de un sistema muy simple.  Entonces lo que pasa es lo siguiente (daré algunas anotaciones técnicas para el que quiera ver la expresiones, en las referencias encontraréis más detalles):

  • Los electrones en el metal sometido a un campo magnético perpendicular y uniforme comienzan a describir un movimiento circular.

  • Supongamos que aplicamos un campo magnético de magnitud B en el eje Z a lo largo de toda la placa metálica: \vec{B}=(0,0,B).
  • Este campo magnético puede ser derivado del potencial vector \vec{A}=(-yB,0,0). Esto puede cambiar al elegir un gauge distinto.
  • Podemos escribir el Hamiltoniano de cada electrón acoplado a este campo magnético del siguiente modo:

H=\dfrac{1}{2m}(p_x+yB)^2+\dfrac{1}{2m}p_y^2+V

Donde m es la masa de los electrones y V un posible potencial eléctrico o producto de las impurezas de la placa metálica.

  • Como sabemos que los electrones describirán movimientos circulares, podemos construir los objetos matemáticos que describen el centro de cada círculo y su velocidad:

v_x=\dfrac{1}{m}(p_x+By)

v_y=\dfrac{1}{m}p_y

X=x+\dfrac{1}{B}p_y

Y=-\dfrac{1}{B}p_x

  • Si ahora calculamos el conmutador entre X e Y obtendremos (sin más que aplicar las conmutaciones entre posiciones y momentos):

\left[X,Y\right]=-\dfrac{i}{B}

Esto es asombroso, no podemos localizar el centro de rotación del electrón en consideración. El espacio que este electrón “ve” es no conmutativo. Podríamos decir que a todos los efectos el electrón ocupa un área \Delta X \Delta Y \approx \dfrac{1}{B}.  No podemos sondear este espacio por debajo de este área.

Este hecho es importante ya que la presencia de esta no conmutatividad en el espacio en el que se define la dinámica del sistema introduce mucha de sus características. Esto está en la base del efecto Hall cuántico y de las sorpresas que depara, tema que trataremos más adelante.

Conclusión

Es fascinante, por lo menos para mí, como las ideas matemáticas más ‘descabelladas’ y ‘abstractas’ se realizan en sistemas muy simples en física.  El estudio de la geometría no conmutativa ha sido desarrollado enormemente por la interrelación entre matemáticas y física.

En teorías como las supercuerdas, loop quantum gravity, modelos matriciales, etc, el espacio en el que definimos la física adquiere características no-conmutativas.

Un argumento heurístico nos dice que dado que no es posible, según la cuántica, sondear el espacio por debajo de la longitud de Planck, el espaciotiempo a esas escalas sería no-conmutativo. De hecho, hay argumentos que nos dicen que esta no-conmutatividad podría librar a la teoría cuántica de campos de los infinitos que la plagan que en muchas ocasiones están asociados a que en dicha teoría se permiten longitudes tan pequeñas como queramos (o momentos tan grandes como queramos). En otra ocasión trataremos de los diferentes argumentos en las diferentes teorías que nos llevan a hablar de un espaciotiempo no conmutativo.

Lo que sí que tiene que quedar claro es que la naturaleza y la matemática son asombrosas. A mí, desde que tuve conocimiento de su existencia, este hecho me parece brutal desde todos los puntos de vista, y como habéis comprobado no hay nada exótico en el sistema, son cosas de andar por casa.

Referencias

A Beginner’s Guide to Noncommutative Geometry

Un trabajo donde se habla del origen y de los usos de la geometría no-conmutativa así como de su relación con otros campos de la matemática y de la física. Es un buen punto de partida para curiosos.

Nos seguimos leyendo…

 

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5 Respuestas a “Prohibido conmutar II

  1. Genial: la física permite dar valores ‘precisos’ al objeto 0\times \infty.
    Gracias. Saludos.

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