Bienvenidos al Caos


Todos hemos oído hablar de la teoría del caos. No se puede negar que el nombre es sugerente. Entre mariposas que crean tormentas y la impotencia a la hora de hacer predicciones, pocas veces se pone uno a toquetear el caos de verdad.

En esta entrada vamos a intentar jugar con el caos con el ejemplo más simple en el que podemos encontrarlo. Os voy a presentar la aplicación logística, y vamos a manipularla para sacar de ella muchas cositas interesantes.

Advertencia: Sería genial que tuvierais una calculadora a mano 😉 (da igual que sea de primera o de última generación).

Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

El ingrediente principal: La aplicación logística

Esta aplicación no es más que una función iterativa. ¿Qué significa eso de ‘iterativa’?  Pues que introducimos un valor elegido para la incognita, hacemos las operaciones que nos diga la función, obtenemos un resultado, y ese resultado lo volvemos a meter en la incognita, volvemos a operar y obtenemos un nuevo resultado. Este proceso lo podemos repetir tantas veces como queramos. A cada paso de este procedimiento lo llamaremos, iteración.

La aplicación de marras, la logística, tiene esta forma:

x_{n+1}=rx_n(1-x_n)

  1. x_n Es la incógnita obtenida en el paso n de la iteración.
  2. n nos indica el número de la iteración y toma valores 0, 1, 2,..
  3. r es un valor real, puede tomar cualquier valor real positivo. Este coeficiente nos servirá para modular distintos comportamientos de la aplicación como veremos.
  4. x_{n+1} es la solución obtenida al introducir el valor x_n de la iteración previa.

Un ejemplo:

Elegimos r=2.

Elegimos el valor inicial de la variable, x_0=0.1

Comenzamos:

  1. n=1.  x_1=2\times 0.1(1-0.1)=0.18
  2. n=2. Introducimos el valor anterior x_2=2\times 0.18(1-0.18)=0.2952
  3. Repetimos el proceso

Veamos algunos casos:

Para r=2, x_0=0.1

x_0=0.1000000000

x_1=0.1800000000

x_2=0.2952000000

x_3=0.4161139200

x_4=0.4859262512

x_5=0.4996038592

x_6=0.4999996861

x_7=0.5000000000

x_8=0.5000000000

x_9=0.5000000000

x_{10}=0.5000000000

Esto lo podemos ver de forma gráfica. Disponemos en el eje vertical los valores de x_n y en el eje horizonta n (el orden de la iteración). Así en este caso podemos ver que el sistema se estabiliza para el valor 0.5.

recursividad1

Aprovecharemos este método gráfico para ver más claramente lo que pasa cuando jugamos con el factor r.

Para r=2.5 y x_0=0.1:

recursividad2

En este caso vemos como el sistema se estabiliza para el valor o.6. También es interesante observar que se llega a este punto estable en un número de iteraciones más alto.

Para r=3 y x_0=0.1

recursividad3

Aquí surge una cuestión interesante, ahora tenemos que el sistema oscila entre dos valores, 0.643 y 0.688.  El sistema pasa de tender a un punto estable a tener una oscilación entre dos valores. A cada paso en la oscilación salta entre uno de esos dos valores.

Para r=3.2 y x_0=0.1

recursividad4

El comportamiento se mantiene, estamos oscilando entre dos valores. En cierto sentido, hemos doblado el periodo, ahora en vez de caer en el mismo valor cada salto (iteración), tenemos que esperar dos saltos para llegar al mismo valor.

Pero la historia no acaba aquí, sigamos.

Para r=3.5 y x_0=0.1:

recursividad5Aquí el sistema pasa a oscilar entre 4 puntos diferentes, se queda saltando entre cuatro valores. Se puede decir que hemos vuelto a doblar el periodo.

Si vamos aumentando la r los periodos se irán duplicando y cada vez con mayor rapidez al aumentar el parámetro.  Al final llegamos un punto en el que el periodo es infinito, es decir, nunca volvemos a un valor previo, ¡hemos llegado al caos!. Mirad esto…

Para r=4 y x_0=0.1:

recursividad6

Bifurcación, el periodo se dobla

Los matemáticos se pusieron a estudiar esto como locos y miraron los puntos estables que se tenían en la aplicación logística cuando se va aumentando el valor del parámetro.  Lo que descubrieron es justamente lo que nosotros hemos visto aquí, que el periodo se va doblando en valores concretos del parámetro hasta que llega un momento en el que el periodo es infinito y se llega al caos:

Aquí tenemos los puntos estables finales en el eje vertical y los valores del parámetro r en el eje horizontal.

Para r entre 0 y 3 tenemos un único valor para punto final estable que va aumentando poco a poco.

Justo para r=3 el periodo se dobla y el sistema oscila entre dos valores estables.

Para valores de r entre 3 y 4 el periodo se va doblando una y otra vez y cada vez más rápido con la variación del parámetro.

Para r=4 entramos en el reino del caos, ya no hay ningún periodo, nunca se vuelve a un punto anterior.

¿Y la mariposa? ¿Qué pasa con la mariposa?

Cuando se habla de caos es difícil no hablar de mariposas, somos así de tiernos. Ya sabéis:

Una mariposa aletea en Nueva Zelanda y se produce una granizada en Murcia.

Una bonita forma de decir que una pequeña variación en las condiciones iniciales de un sistema hace que la evolución del mismo varíe muchísimo. En los casos que hemos visto anteriormente hemos pasado a un régimen caótico en r=4. ¿Podemos ver la sensibilidad a las condiciones iniciales?  La respuesta es afirmativa.

Vamos a graficar de forma superpuesta la evolución para una aplicación logística con r=4. Pero las condiciones iniciales las tomaremos x_0=0.1 y x_0=0.101. Y lo que obtenemos es:

sensibilidad¡Impresionante! ¿qué no?

Vemos como al principio las curvas se superponen pero rápidamente las gráficas se hacen muy distintas. Esto es la sensibilidad a las condiciones iniciales en estado puro. Bienvenidos al caos.

Concluyendo

Es evidente que la teoría del caos es muy amplia y con muchos detalles matemáticos, muchos de ellos de una gran profundidad y no carentes de dificultad. Sin embargo, es posible para todo el mundo jugar con el caos porque la propia matemática nos regala sistemas muy simples en los que el caos se pone de manifiesto.

Con esta entrada lo único que pretendíamos era picar la curiosidad de los lectores, la red está llena de aplicaciones online para jugar con la aplicación logistica y hay multitud de lecciones que servirán para profundizar en el tema. Solo hay que buscar en tu buscador favorito.

Pienso que es posible entender por lo menos los fundamentos de teorías matemáticas como el caos. Espero que esta entrada os haya resultado interesante.

Nos seguimos leyendo…

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26 Respuestas a “Bienvenidos al Caos

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  5. En la próxima entrada que hables de caos, explica lo del “diagrama de Feingembaun” y su relación con los fractales, que son muy interesantes también, y están muy relacionados con el caos.
    Saludos

  6. Pingback: Bienvenidos al Caos | Mates_mv | Scoop.it

  7. Si (X,f) es sensible respecto a las condiciones iniciales, pequeños errores en la estimación de valores de la función se pueden ampliar considerablemente al iterarla. Si (X,f) es topológicamente transitivo no puede descomponerse en dos subconjuntos disjuntos invariantes con interior no vacío. (Si f posee una órbita densa entonces (X,f) es topológicamente transitivo). Por tanto, si un sistema dinámico es caótico, tiene una componente de impredicibilidad, una componente de irreducibilidad pero aun así tiene una tercera componente de regularidad.

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  10. Que sepáis que el Efecto Mariposa… es un timo.

  11. Bobbie S. Mullins

    Un punto particularmente interesante sobre un sistema caótico es que, para un valor dado de k por encima de 1.5, un cambio muy pequeño en el valor inicial de x va a originar con rapidez un gráfico totalmente diferente. Utilizando la misma ecuación un cambio muy pequeño en la condición inicial puede llevar a resultados radicalmente diferentes después de unas pocas iteraciones. Esto tiene importantes implicaciones para la predicción del tiempo: a saber, sensibilidad a las condiciones iniciales, o cómo ha llegado a ser denominado, el efecto mariposa. Esto se trata en detalle en el módulo sobre Predecibilidad en problemas de valores iniciales.

    • Me ha gustado mucho el video de .La coscarnevif3n sobre .Que una teneda fredo por ..El otro quereda que le llevara la Pero la camarera estaba ocupada con ..a1Muy bueno el veddeo!

  12. Pingback: Bienvenidos al Caos | Universo y Física ...

  13. Interesante y muy didáctica. El tema del caos es bastante atractivo, y no sólo en sentido matemático.

    Si lo entiendo bien, las teorías del caos matemáticas en realidad nos hablan de un caos predecible, en el sentido de que dentro de ese caos (r mayor o igual que 4), aunque no se vuelva nunca al mismo punto, puedo saber qué valor adopta la función en cualquier punto que elija. Es capacidad de procesamiento.
    ¿e o no e?
    Si es, me he decepcionado un poco porque para mí el caos tiene que ser impredecible. Si no es, me lo explique 🙂

    Como siempre un gustazo leerte y aprender contigo.
    Besotes

    • La gracia de esto está en que al régimen caótico se llega jugando con los parámetros del problema. En este caso simple es el valor de r.

      Y sobre la predictibilidad, o como se diga eso, está justamente en la combinación de que tienes un periodo infinito, nunca pasas por el mismo sitio y en que nunca tienes condiciones iniciales “perfectas”, así que en realidad no sabes por dónde te va a salir la cosa.

      Es bonito esto del caos determinista, parece que sí pero es un no 😉

      Un placer que te haya gustado.

      Besos a borbotones.

      • entonces ¿hemos quedao en que el caos físico es impredecible, pero el caos matemático, en estos casos concretos de la función logística, es predecible?

        • Desde el punto de vista matemático todo es determinista. Si las condiciones iniciales son “perfectas” idealmente yo puedo saber toda la evolución en cualquier paso del sistema.

          Pero en la vida real nunca podemos determinar las condiciones iniciales de forma perfecta. Así es la vida 😉

          • Me ha gustado mucho, es muy grcaoiso. Como dicen mis compaf1eros refleja un ejemplo a la comunicacif3n no verbal, y eso es importante.El blog este1 muy bien, ha tenido una buena idea.

  14. Pingback: Física | Annotary

  15. Pingback: Bienvenidos al Caos | Ciencia-Física | S...

  16. Hola, tras leer esta entrada me ha surgido una duda, ¿qué código en matlab mostraría una gráfica como la de xn vs. n para r=4, x0=0.1, x0’=0.101?.

    • Pues es que yo soy de mathematica. Lo único que hice fue definir la función y luego graficar ambas opciones a la vez. Creo que en matlab sería igual pero no conozco los comandos.

      A ver si alguien te contesta con más conocimiento como yo.

  17. Pingback: Enlaces | Artir contra el mundo

  18. Excelente; más claro imposible.

  19. Pingback: Bienvenidos al Caos | Cuentos Cuánticos | Ciencia y Arte

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