Cuántica y Garabatos I


feynman y yoHoy vamos a pasar un ratito hablando de dibujitos y teoría cuántica de campos. Hoy es un magnífico día para empezar a hablar de los diagramas de Feynman.

La teoría cuántica de campos (TCC) es un campo de la física en el que el formalismo matemático está presente en todas partes aunque no siempre de la mejor manera.  La propia existencia y coherencia matemática de la TCC es un problema matemático que no ha sido probado. Hay diversas formas de definir una teoría cuántica de campos, ninguna se puede considerar matemáticamente completa, o consistente, o coherente.  Sin embargo, da igual como definas la teoría que al final, en un determinado sector de la misma, acabas con que todo se reduce a unos simpáticos dibujitos, los diagramas del señor Feynman.

En esta entrada os quiero contar qué entiendo yo por diagramas de Feynman. Tal vez no sea la mejor manera de entender esos bichos, o no sea de vuestro gusto, o sea totalmente incoherente, tal vez incluso puede que sea errónea, pero es mi forma de pensar sobre estos interesantes garabatos de la física.

Iremos profundizando en el tema en una serie de entradas que se irán escribiendo a lo largo de esta semana.

¿Qué voy a encontrar en esta entrada?

En estas entradas vamos a encontrar las reglas básicas para “leer” un diagrama de Feynman.  Intentaré dejar claro que no son más que “representaciones” de formas en las que se puede dar un proceso cuántico sin sentido espaciotemporal.

No voy a deducir, con toda generalidad, estos diagramas en ningún formalismo de la teoría cuántica de campos.  Sin embargo si mostraré como se pueden extraer, en casos simples, estos diagramas del lagrangiano de una teoría.

Las entradas tendrá dos partes. La primera será más general, con la intención de que cualquiera pueda “intuir” que hay detrás de un diagrama de estos.  En la segunda tarde hablaré de cosas más formales (sin mucho afán) que pueden resultar interesantes a los estudiantes de física o aficionados.

¿De qué va eso de la teoría cuántica de campos?

Podríamos ponernos exquisitos y divagar sobre el sentido último de la teoría cuántica de campos, pero hoy me he levantado con el pragmatismo subido voy a decir que la teoría cuántica de campos no es más que la forma con la que calculamos como dadas unas cuantas partículas iniciales, que interactúan de algunas formas, se convierten en unas partículas finales.  (Nota: Las partículas iniciales y finales no tienen que ser las mismas en general).

Toda la gracia de la TCC consiste en darnos las probabilidades de que desde un estado inicial lleguemos a un estado final.

Al final de la película la TCC es la herramienta teórica con la que describimos las partículas y sus interacciones y sus resultados los hemos de comparar con experimentos. Dichos experimentos, en general consisten en disponer unos sistemas en en una configuración inicial, dejarlos evolucionar siguiendo las interacciones (que respetan leyes de conservación) y medir la situación final.  El ejemplo más espectacular es los que ocurre en los aceleradores de partículas, en las que lanzamos unas partículas contra otras (estado inicial) y en la colisión se generan energías que dan lugar a otras partículas (estado final).  En estos procesos se tienen que respetar varios aspectos:

1.-  La energía se ha de conservar en el proceso.

Para los aficionados, lo que se conserva es el momento en cuatro dimensiones, es decir, se impone la conservación de la energía y el momento a la vez.

2.-  Las cargas se conservan.

Esto es debido a que nuestros modelos se basan en simetrías físicas que imponen la conservación de distintas cantidades, el ejemplo más conocido es el de la carga eléctrica.  También hay conservaciones más sutiles como la del momento angular, espín total, etc.

La cosa es más complicada, un ejemplo de resultado final en el experimento CMS en el LHC es algo así:

Hagamos un diagrama para simplificar todo esto.

qft1

  • Partimos de una situación inicial. Aquí el estado de todas las partículas iniciales es conocido. Conocemos sus cargas, sus masas, sus espines, su energía y su momento  (su estado de movimiento).
  • Medimos la situación final. Somos capaces de determinar qué partículas emergen, qué energías y momentos tienen. También conocemos sus cargas, etc.

La TCC nos tiene que decir qué probabilidad existe de obtener el estado final a partir del estado inicial.  Para ello tenemos que conocer qué tipo de interacciones se dan entre las partículas y las leyes de conservación que satisfacen dichas interacciones.

En la figura hemos representado las interacciones y los modos de pasar de un estado inicial a un estado final como una caja negra. ¿Qué contiene dicha caja?

qft2La caja negra representa TODAS las formas en las que podemos pasar del estado inicial al estado final.  En general no hay una única forma de pasar de un estado inicial a un estado final, habrá tantas formas como sean permitidas por las interacciones que median el proceso y por las leyes de conservación físicas.

¿Dónde está la cuántica en todo esto?

La cuántica la podemos “ver” en dos aspectos.

  1. Lo que calculamos son probabilidades de transición entre el estado inicial y final.  Es decir, uno se plantea la probabilidad de pasar de un estado inicial conocido a un estado final fijado (el que vamos a medir en el laboratorio).  Pero también nos podemos plantear la pregunta de cuales son todos los estados finales compatibles con un estado inicial dado.  La cuántica nos tiene que decir cuales son todos esos estados finales y con qué probabilidad obtendremos cada uno de ellos en un experimento.
  2. En el otro aspecto donde “vemos” la cuántica es en que para calcular la probabilidad en cuestión tenemos que tener en cuenta todas las formas de pasar del estado inicial al estado final.  En la figura hemos remarcado TODAS en rojo para indicar que ahí está uno de los puntos “cuánticos” de todo este cuento.

El cálculo de estas probabilidades, y de todas las posibles formas de realizar el proceso, no es nada fácil.  Las expresiones matemáticas suelen ser bastante inquietantes y poco agradecidas y cometer un error no es algo que podamos descartar.

Aquí es donde entran en juego los diagramas de Feynman.

Opinión personal:  Los diagramas de Feynman no son más que representaciones de los cálculos matemáticos que nos permiten dar una probabilidad a una transición entre un estado inicial y un estado final en teoría cuántica de campos.  Es una forma simple y controlada de seguirle la pista a todos los términos que tenemos que emplear para calcular las consabidas probabilidades.

Supongamos que queremos estudiar la probabilidad de que dos electrones acercándose el uno al otro se repelan.  Voy a asumir aquí que todos conocemos que las interacciones cuánticas se consideran mediadas por partículas mensajeras, en el caso del electromagnetismo cuántico el mensajero es el fotón. (Aunque luego hablaremos de esas partículas mensajeras).  Por lo tanto, lo que hacemos es:

qft3Suponemos que el proceso está dado poque las partículas han intercambiado un fotón y eso ocasiona que su estado de movimiento cambie (hay cambios en los momentos de los electrones) y se produce la dispersión.  Eso que hay dentro de la caja es un diagrama de Feynman, que ya veremos qué significa con más detenimiento, pero por ahora nos bastará decir que eso representa un número. Sí, un número, simple y llanamente.  Al elevar al cuadrado dicho número obtendremos la probabilidad de pasar del estado inicial al estado final.

¿Es esa toda la historia?

Pues no, porque en la caja negra hay más cosas. Es decir, la teoría cuántica de campos nos dice que para calcular la probabilidad total de ese proceso hemos de considerar todas las formas posibles de realizarlo.

qft4En la figura he puesto solo un puñado de los muchísimos diagramas posibles para este proceso.  Cada uno de esos diagramas nos da un número.  Para obtener la probabilidad del proceso hemos de sumar dichos números y el resultado de esa suma elevarlo al cuadrado para obtener la probabilidad total del proceso.  Fácil, ¿no?

Ya veremos que hay diagramas que tienen mayor peso que otros en el cálculo de la probabilidad.  Esto posibilita que podamos decidir no considerar todos los diagramas sino solo unos cuantos, con esto calcularemos la probabilidad del proceso hasta cierto orden de aproximación.

¿Qué no es un diagrama de Feynman?

Un diagrama de Feynman no es más que un número. Un número asociado a  una de las posibilidades de llevar a cabo un proceso entre partículas. Nada más.

1.-  Un diagrama de Feynman no representa trayectorias de partículas.  En cuántica no tiene sentido hablar de trayectorias.

2.-  Un diagrama de Feynman no representa un proceso físico.  Solo representa una de las posibles formas de llevarlo a cabo y solo nos dice cuanto influye esa determinada forma en la probabilidad total del proceso real que observamos experimentalmente.

Así que dejaremos de pensar en esos dibujos como algo físico o como representación de cosas que pasan en el espaciotiempo de verdad.

Y aquí lo dejo por hoy, seguiremos mañana con la receta para calcular los número asociados a los diagramas de Feynman.

Nos seguimos leyendo…

 

12 Respuestas a “Cuántica y Garabatos I

  1. Yo en dos días resolví lo de la cuántica cual es su mecanismo, si no me creen escribeme al correo así se convencerían.

  2. Pingback: Cuántica y Garabatos IV | Cuentos Cuánticos

  3. Pingback: Cuántica y Garabatos III | Cuentos Cuánticos

  4. Me gustaria recibir en mi correo las entradas nuevas. Saludos

  5. Pingback: Cuántica y Garabatos II | Cuentos Cuánticos

  6. Muy interesante el artículo. Espero la próxima entrega. Ojalá hubiera tenido estas explicaciones cuando estudiaba física.
    Por cierto, creo haber descubierto una errata:

    “dadas unas cuantas partículas iniciales, que interactúan de algunas formas, se convierten en unas partículas >>>iniciales<<<"

    Supongo que debe ser "finales".

  7. Me produce un gran desasosiego eso de que la TCC tenga unos fundamentos matemáticos pobres o incoherentes. Supongo que habrá teóricos intentando arreglarlo, ¿no? ¿Recomiendas algún texto donde se discutan estos problemas?

    • No sé a qué fundamentos matemáticos pobres o incoherentes te refieres, ¿puedes precisar un poco más?

      • Me refiero a lo que dice el post:

        “La propia existencia y coherencia matemática de la TCC es un problema matemático que no ha sido probado. Hay diversas formas de definir una teoría cuántica de campos, ninguna se puede considerar matemáticamente completa, o consistente, o coherente.”

        ¿No es esto un problema? Igual lo he entendido mal…

        • La cuestión se puede ver desde varios puntos de vista. El formalismo matemático de la teoría cuántica de campos es extenso y bien fundamentado en su mayoría.

          Sin embargo, hay algunas cuestiones muy interesantes sobre la formalidad matemática de la teoría que aún están por resolver. Por ejemplo, cuestiones de renormalización, la fundamentación rigurosa de la teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones, las cuestiones acerca de la existencia de una medida bien definida en la teoría de integrales de camino en cuatro dimensiones, etc.

          Pero esto es desde el punto puramente matemático, teorema-demostración, es decir, son cuestiones puramente formales. Desde el punto de vista físico la cosa funciona bien, primero porque las teorías que se usan no son las más básicas (en general) sino teorías efectivas diseñadas para determinados rangos de energías.

          No hay de qué preocuparse, al final seguro que las cosas adquieren todo el formalismo que haga falta 🙂

          • Entiendo entonces que son problemas menores que afectan a “ramificaciones” de la QFT y no tanto al “núcleo”. Con esas tres cosas que has puesto ya tengo por dónde empezar a buscar.

            ¡Gracias!

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