Cuántica y Garabatos III


alpeh_4tau_diagramContinuamos con la serie Cuántica y Garabatos sobre los diagramas de Feynman.

Hoy vamos analizar la contribución de los vértices en el cálculo de los números asociados a los diagramas.

Esta entrada es la continuación de:

Cuántica y Garabatos I

Cuántica y Garabatos II

enmarcadas en el minicurso:  Diagramas de Feyman. Cuántica y Garabatos.

Los vértices del diagrama

En un diagrama de Feynman los vértices representan los puntos donde se producen las interacciones entre los campos/partículas involucrados en el proceso.  En la teoría cuántica de campos, las interacciones se realizan, literalmente, destruyendo y/o creando las partículas que toman parte en el proceso que describe el diagrama.  Y esto no es un ejemplo o una metáfora divulgativa, es justamente así como nos dice la teoría que pasan las cosas.

En general, en teoría cuántica de campos se trabaja con campos que siguen las reglas cuánticas.  Estas reglas nos dicen que a cada campo se le asocia una o varias partículas que se pueden considerar como excitaciones locales del campo. Estas excitaciones se denominan partículas porque tienen asociadas ciertas características como masas, cargas, espines, etc.  No es bueno pensar, aunque es inevitable, en las partículas como canicas que siguen trayectorias.  Recordemos que los diagramas de Feynman nos dan una visión pictórica de la forma en la que pasamos de un estado inicial a un estado final sin que tengan una interpretación directa en términos espaciotemporales.

Supongamos que estamos estudiando un proceso en el que una partícula del campo V y una partícula del campo A generan una partícula del campo L (por ejemplo, electrón y un neutrino electrónico generan un bosón W⁺).

Ejemplo:

Un electrón y un neutrino electrónico dan lugar a un bosón W⁺ y este da lugar a un muón y un neutrino muónico.

Un electrón y un neutrino electrónico dan lugar a un bosón W⁺ y este da lugar a un muón y un neutrino muónico.

Si nos fijamos en la primera parte del diagrama, tenemos un campo/partícula A y un campo/partícula V que van a un vértice donde desaparecen y aparece una partícula/campo L.  Las palabras desaparecen y aparecen no son accidentales, insisto en esto, es justo así como funciona la teoría cuántica de campos, es parte de su belleza y de su dificultad.

vertices1

La información del vértice

Como discutimos en las entradas anteriores un único diagrama de Feynman solo es un número \mathcal{M}, usualmente complejo, cuyo cuadrado nos informa sobre la probabilidad de que un determinado proceso que nos lleva de una situación inicial a una final en términos de campos o partículas se de de la forma representada en el diagrama.

Ese número \mathcal{M} se calculaba siguiendo esta regla:

qft21

Ahora nos vamos a centrar en la información que hay que introducir en los vértices.

Intensidad de la interacción

Sabemos que hay tres interacciones relevantes en el mundo de la partículas elementales,  el electromagnetismo, la interacción débil y la interacción fuerte. Cada una de estas interacciones tiene una intensidad que nos dice lo fuerte o débilmente que se acoplan los campos/partículas que pueden sentirlas a través de ellas.  Esta información está codificada en un término constante denominado constante de acoplo.  Representaremos a las constantes de acoplo por la letra g.

Cuando nos presentan un diagrama,  lo primero que tenemos que hacer es identificar los vértices.  Un vértice es el punto donde se unen tres líneas del diagrama y representa el punto donde la interacción tiene lugar.  A estos puntos les asignaremos los valores ig.

vertices2

En la imagen de la figura tenemos dos vértices y por lo tanto tendremos dos términos ig.  Así pues, cuando calculemos el número asociado al diagrama de Feynman tendremos una contribución de los vértices debida a la constante de acoplo de la forma:

(ig)^2

Si consideramos esta otra forma de llevar a cabo el proceso:

vertices3

Tendríamos que considerar que hay cuatro vértices de interacción y por lo tanto hay cuatro factores ig involucrados.  Así el número \mathcal{M} asociado a este diagrama contendría un factor (ig)^4.

Podemos definir muchas formas de llevar a cabo el proceso, por ejemplo:

vertices3

vertices6vertices4vertices5

Esto es importante porque nos ayuda a catalogar las contribuciones de cada tipo de diagrama a la probabilidad total del proceso que nos lleva de la situación inicial a la situación final.  Podríamos decir que la probabilidad total dependería de un número que tiene información del siguiente tipo:

diagramas de orden (ig)^2+diagramas de orden (ig)^4 + +diagramas de orden (ig)^6 + …

¿Qué pasa si g es menor que 1?  Pues pasaría que en cada potencia de cada término el número obtenido sería menor y menor.  Eso quiere decir que la contribución a la probabilidad total del proceso sería menor cuanto mayor sea el número de vértices de los diagramas involucrados.  Así pues, para interacciones que verifican esto, por ejemplo el electromagnetismo, podemos dar una buena aproximación a la probabilidad del proceso con pocos términos diagramáticos.

Si g es mayor que uno resulta que las contribuciones a la probabilidad aumentan con el número de vértices lo cual puede ser desastroso porque pueden acabar dando un número infinito al sumar todos los términos.

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4 Respuestas a “Cuántica y Garabatos III

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  2. Genial que continúes con esta serie!! La esperaba como agua de mayo!
    Por cierto, que en la primera figura que pones no coincide con su pie de figura.

    Saludos!!!

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