Ciao, Tullio. El cálculo de Regge


Tullio-Regge_infinito-cercare-autobiografia-di-un-fisicoEl pasado 23 de octubre fallecía el físico italiano Tullio Regge.

Este hombre nos enseñó, entre otras muchas cosas,  a mirar la Relatividad General con otros ojos.  Unos ojos curiosos, atrevidos e insolentes.

Es un buen momento para rendirle un homenaje a este hombre.

Ciao, Tullio.

Curvatura, curvatura, curvatura

Antes de describir el trabajo de Regge es necesario que nos detengamos un momento en describir la curvatura de un espacio.

Supongamos que tenemos un trozo de espacio que podemos llamar plano. Supongamos además que dicho trozo es un círculo:

imagesSi nos ponemos en el centro y queremos medir el ángulo que describe ese círculo fácilmente encontraremos que es de 360º (2\pi).

Ahora, hagamos una pequeña travesura. Vamos a dividir el círculo en sectores angulares de igual ángulo.  Y vamos a aproximar el círculo por los triángulos definidos por dichos sectores:

triangulos1Como no nos podemos estar quietos, le arrancamos uno o dos sectores a dicha figura:

triangulos2Y para rematar, pegamos los lados de los triángulos que se han quedado sueltos:

triangulos3¿Qué pasa aquí?  La figura resultante ya nos es plana, de hecho es lo análogo a un cono construido con una aproximación de triángulos.

Esto nos da una idea de que, en este contexto, los ángulos deficitarios en las figuras nos informan de que hay curvatura presente.

Este mecanismo funciona también si añadimos más sectores al círculo de partida (espacio plano):

triangulos4Así que vemos como el exceso o déficit de ángulo en un círculo induce curvatura en los espacios resultantes.  Estos espacios están aproximando a través de triángulos espacios continuos y suaves, sin puntas ni esquinas.

La magia de Regge

Regge tuvo la feliz idea de pensar lo siguiente:

  • La Relatividad General nos habla de como cambia la geometría, (y la curvatura está relacionada con la geometría de un espacio), cuando hay presentes flujos y densidades de energía de otros campos físicos.
  • La Relatividad General considera que el espaciotiempo es un continuo.  Esto implica que entre dos puntos cualesquiera hay infinitos puntos intermedios en cualquier camino y que el espaciotiempo no tiene puntas, aristas o esquinas angulosas.

spacetime

  • Regge lo que hizo fue triangular el espaciotiempo y quedarse con esa estructura aproximada para intentar ver cómo era la Relatividad General en ese contexto.

triangulos5Así que el espacio no era nada suave a los ojos de Regge, podía tener vértices, esquinas, aristas, etc.

¿Cómo describimos el espaciotiempo a la Regge?

Pues tomemos un ejemplo más simple de espaciotiempo “discretizado”:

triangulos6

Para calcular la curvatura en cada punto en dicho espacio solo tenemos que ir a cada vértices y ver cuánto le sobra o le falta para llegar a los 360º.  Si le sobra o le falta algo entonces en ese punto hay curvatura.

Otra cuestión que podemos estudiar es la de como cambia el área de cada triángulo definido en el espacio con el tiempo.  Evidentemente eso es para espacios de dos dimensiones espaciales y una temporal, para estudiar la relatividad general nos tenemos que ir a discretizaciones más complejas pero al final lo que estudiaremos será como varía el volumen y la curvatura con el tiempo de los elementos que hemos utilizado para discretizar el espacio que en ese caso son análogos a los tetraedros.

La Relatividad General se describe a través de esta formulota:

einsteinhilbertEsa es la acción de Einstein-Hilbert y esconde toda la Relatividad General, esconde ahí dentro las ecuaciones de Einstein, las ecuaciones que describen la dinámica del espaciotiempo.  Lo interesante de esta fórmula es que es una integral y eso solo tiene sentido en espacios continuos.  La R y la g son la curvatura y la métrica (su determinante) del espacio continuo.

A los ojos de Regge esto se vería así:

reggeactionAhí está toda la dinámica de un espacio discretizado por triángulos (tetraedros).  No es más que el producto del volumen (área) de cada tetraedro (triángulo) por su defecto/exceso de ángulo.

La gracia de Regge

¿Para qué nos sirve tener aproximaciones a la Relatividad General si ya tenemos la Relatividad General?

Bueno, la Relatividad General no es una teoría fácil de manejar, no se conocen muchas soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.  Por no conocerse no se conoce ni la solución al problema de los dos cuerpos.  Así que las aproximaciones son necesarias.

Pero es que el punto de vista de Regge es bueno por dos cosas:

  1. Se produce una discretización del espaciotiempo. Por tanto este procedimiento es especialmente bueno, y todos los que se inspiran en él, para implementarlo en ordenadores y hacer Relatividad General numérica.
  2. Usando esta aproximación, o inspirándose en ella, se ha intentado llegar a teorías de gravedad cuántica.  Es mucho más fácil tratar con cosas discretas que con las ecuaciones en el continuo para intentar escribir la teoría en términos cuánticos.

Para vuestra tranquilidad os diré que hay demostraciones de que la visión de Regge converge, en condiciones muy genéricas, a la Relatividad General en el límite continuo.  Es decir, que la teoría de Regge es consistente y que si lo hacemos todo suave lo que acabamos teniendo es que las fórmulas y las soluciones a dichas fórmulas en la visión de Regge son iguales que las de la Relatividad General.

Y este es mi pequeño homenaje a Tullio Regge.  Vuelvo a repetir,

Ciao, Tullio

Referencias

Referencias sobre este tema hay miles, basta teclear “regge calculus” en tu buscador favorito para hacerse una idea.  Yo aquí solo voy a recomendar un texto de la profesora Ruth Williams que posiblemente sea la mayor experta en este tema:

DISCRETE QUANTUM GRAVITY:  THE REGGE CALCULUS APPROACH

Nos seguimos leyendo…

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4 Respuestas a “Ciao, Tullio. El cálculo de Regge

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  4. Ahí has dao. Tullio Grannnnde!

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